4 Spojitost pravděpodobnosti, limitní jevy

Question 1

Věta o spojitosti pravděpodobnosti

Answer 1

Pokud An /> A nebo An > A, potom lim P(An) = P(A)
(Pokud v jistém smyslu konverguje posloupnost jevů, konverguje i číselná posloupnost pravděpodobnosti)

Question 2

Limitní jevy

Answer 2

Pro jevy A1, A2, … in A v pravděpodobnostním prostoru (Omega, A, P) definujeme limitní jevy:
- An infinitely often: lim sup An = {w in Omega: v nekonečně mnoha jevech An} = Průnik_n U_k=n Ak
- An almost always: lim inf An = {w in Omega: ve všech kromě konečně mnoha An} = U_n Průnik_k=n Ak

Question 3

Vztahy lim sup a lim inf

Answer 3

lim sup An a lim inf An jsou v sigma algebře
!(lim sup An) = lim inf !An
!(lim inf An) = lim sup !An
P(lim inf An) <= lim inf P(An) <= lim sup P(An) <= P(lim sup An)

Question 4

Borelovo-Cantelliho lemma

Answer 4

Nechť A1, A2, … ze sigma algebry A.
Pokud Suma P(An) < nekonečno, potom P(lim sup An) = 0
Pokud Suma P(An) = nekonečno, P(lim sup An) = 1
Pro stochasticky nezávislé jevy je P(lim sup An) buď 0 nebo 1