10 Absolutní spojitost, R-N věta, Lebesgueova dekompozice

Question 1

Absolutní spojitost měr

Answer 1

Nechť mi, v jsou sigma-konečné míry na měřitelném prostoru (Omega, A). Míra mi je absolutně spojitá vzhledem k míře v, mi«v, pokud pro všechny A z A platí v(A) = 0 => mi(A) = 0

Question 2

Radonova-Nikodymova věta

Answer 2

Nechť mi, v jsou sigma-konečné míry na měřitelném prostoru (Omega, A). Potom mi &laquo_space;v právě když existuje nezáporná měřitelná funkce f: Omega -> R, že mi(A) = I_A(f(w) dv(w)) pro všechna A z A. Tato funkce f(w) je přitom určena jednoznačně až na množinu míry nula.

Question 3

Radonova-Nikodymova derivace

Answer 3

Funkce f(w) = dmi/dv (w). Je náhodnou veličinou. Pro každou X a každou A platí I_A(X(w) dmi(w)) = I_A(X(w) dmi/dv (w) dv(w))

Question 4

Klasifikace rozdělení

Answer 4

• Diskrétní: Pokud Px(R) = Suma_x Px({x})
• Absolutně spojité vzhledem k lambda: pokud existuje nezáporná b.m. funkce f taková, že pro každou B platí Px(B) = I_B(f(x) dlambda(x))
• Singulárně spojité vzhledem k lambda: Pokud Px({x}) = 0 pro všechna x, ale přitom existuje množina M: lambda(M) = 0, Px(!M) = 0

Question 5

Dekompozice rozdělení a měr

Answer 5

Px = Pac + Pd + Psc
mi = mi_ac + mi_sc

Question 6

Absolutně spojitá funkce

Answer 6

Nechť I je interval. Funkce h: I -> R je absolutně spojitá na I, pokud pro všechna e>0 existuje d>0, pro všechna n, (ak, bk) in I, vzájemně disjunktní, platí Suma (bk - ak) < delta => Suma |h(bk) - h(ak)| < e

Konečná míra mi je absolutně spojitá vzhledem k lambda, právě když funkce F(x) = mi((-nekonečno, x]) je absolutně spojitá.