7 - Modelli di CreditVaR Flashcards
Obiettivi di un modello CreditVaR
- Costruire una funzione di densità (non normale ma fortemente asimmetrica) di probabilità delle perdite future su (o dei valori futuri di) un portafoglio di crediti
- Su questa distribuzione individuare
– la media (perdita attesa)
– un certo percentile (massima perdita probabile)
– la differenza tra i due (perdita inattesa o VaR)
Cosa considera un modello Credimetrics?
- Considera tutti gli eventi suscettibili di modificare stabilmente il valore di un credito: non solo quindi la PD ma anche il delta del rating
- Il più significativo tra gli eventi è il default (insolvenza):
– Nuovo valore del credito = valore presumibilmente recuperabile (RR, ad es. il 30%) - Sono eventi creditizi tutte le variazioni nel grado di affidabilità del prenditore
– Crediti meno affidabili vanno scontati con tassi più elevati, e il loro valore attuale si riduce
– Se esiste un mercato secondario, questa minusvalenza è tangibile (nel prezzo)
– Se (più spesso) il secondario non c’è, va calcolata con un modello di valutazione (si parla di mark-to-model)(non mark-to-market proprio perché non c’è un mercato)
Qual è il ruolo dei rating nei modelli multinomiali?
- E’ un “voto” all’affidabilità dei prenditori, emesso da agenzie specializzate o costruito in casa dalla banca
- Si articola su una scala con un numero finito di gradini, ad es. da AAA (massima affidabilità) a CCC (prossimo al default)
- Nella documentazione di Creditmetrics si usa la scala di Standard & Poors.
- E’ possibile usare scale diverse
Probabilità sulla transizione da una fascia ad un’altra
Se chi classifica le imprese lo fa bene, è improbabile che un debitore di classe A fallisca, o passi in classe C entro un anno
Per qualunque stato classe iniziale (righe) è possibile archiviare nel tempo le frequenze di transizione a un anno (colonne) e usarle come stime delle relative probabilità.
Con quali tassi attualizzo i flussi futuri?
Con i tassi basati sui rating, sconto i flussi e assogno un valore corrente al credito (mark-to-model)
Ma come calcolo il valore del credito tra (ad esempio) un anno?
Ricavando la curva dei tassi forwad da quella spot. Buon metodo ma basato sulla teoria delle aspettative che ha alcuni limiti.
- Ricavo le curve di tasso che il mercato dovrebbe associare tra un anno, alle diverse classi di rating
- Posso usare questi tassi per calcolare il valore di un credito tra un anno, come valore scontato in t+1 dei flussi da t+1 in poi
Come consideriamo il rischio di un cambiamento di rating nel calcolo del nostro valore del credito tra un anno?
Il valore del credito non è certo ma probabile al 95% (nel nostro caso, siccome la probabilità che resti nella sua fascia è il 95%)
Per ogni stato futuro (classe di rating)
– la matrice di transizione mi dà la probabilità che si verifichi
– la curva forward ricavata dagli spot mi dice quanto vale il credito se questo stato si verifica
Posso quindi:
1. costruire la distribuzione dei valori futuri, ordinando gli scenari dal peggiore al migliore
2. calcolare un valore atteso, pesando i valori del credito in ogni rating class per la loro probabilità di esserci dentro
3. calcolare la varianza e la standard deviation
Come estendo il modello ad un portafoglio di due crediti?
Credimetrics
- Mi serve una distribuzione delle probabilità congiunte:
– qual è ad esempio la probabilità che il primo credito rimanga B e il secondo credito rimanga A? è il prodotto delle due probabilità individuali? (95% x 96,5%=91,675%) - La risposta è giusta solo se i due crediti non sono correlati. Ma in generale, le probabilità congiunte saranno diverse da tale prodotto, infatti i debitori sono correlati perché risentono dell’andamento generale dell’economia, di un Paese, di un settore.
- La soluzione quindi è una matrice delle probabilità congiunte di transizione ad un anno
Una volta trovata la matrice delle probabilità congiunte dei due crediti, come proseguo per estendere il modello?
Calcolo la distribuzione dei possibili valori futuri
- Riporto i 16 valori della matrice in colonna
- Ad ognuno associo la probabilità
- Li riordino in senso crescente
- Calcolo valore atteso, errore standard e percentili
La probabilità cumulata serve per individuare i percentili
Calcolo il VaR (perdita inattesa) come perdita attesa (valore medio) meno il valore al percentile del VaR (es. VaR al 98%, calcolo il valore al secondo percentile).
Perché c’è un effetto di diversificazione nel valore calcolato tramite VaR?
Solo il valore atteso è additivo. Le misure di rischio sono subadditive, grazie all’effetto della diversificazione.
Passaggi logici per derivare le probabilità congiunte
- Le probabilità dei possibili stati futuri dipendono dal valore degli attivi delle due imprese
– Estensione multinomiale del modello di Merton
– Derivazione delle “soglie” (asset value return thresholds) che collegano valore dell’attivo e eventi creditizi - La distribuzione di probabilità congiunta degli attivi di due imprese è rappresentabile con una normale bivariata
- Per caratterizzarla, ci basta un parametro: la correlazione
– Per ogni coppia di imprese, questo r è calcolabile per grandi blocchi
Estensione multinomiale del modello di Merton
- Se il valore degli attivi dell’impresa aumenta, è più probabile che possa rimborsare il prestito
- In caso contrario, anche se non va in default, si avvicina alla soglia in cui le conviene fare default
- Dalla variazione del valore degli attivi dipende quindi la probabilità di rimborso (quindi il rating stesso)
Asset Value Return Thresholds
Come si distribuiscono le variazioni del valore di due imprese?
Con una normale bivariata standard, ma per scegliere quella giusta dobbiamo conoscere il livello di correlazione p. In questo modo possiamo passare dalle AVRT alle probabilità marginali di ciascuna azienda e poi fonderle per passare alle probabilità congiunte
Come stimo il p (correlazione) tra AVRT tra due imprese debitrici?
Creditmetrics adotta un approccio per grandi blocchi:
* Stima le correlazioni tra un ampio numero di settori e di paesi (fattori di rischio): calcola la correlazione fra vari settori e pasi anziché fra singole aziende
– Come proxy del valore degli attivi, usa gli indici di borsa settoriali. è un’approssimazione perché l’indice di borsa è il valore dell’equity, non il valore dell’attivo. La stima però è poco distorta se la leva è costante. Si utilizzano quindi orizzonti temporali brevi.
* Per ogni impresa è necessario specificare la sua sensibilità a uno o più fattori
* Combinando le sensibilità e le correlazioni dei fattori si ottiene una stima delle correlazioni tra singole imprese
E’ possibile, attraverso il calcolo matriciale, produrre un grande volume di correlazioni con poche operazioni
La procedura però è assai data demanding, specialmente se si aggiungono anche più di due imprese.
Creditrisk+: analogia assicurativa
- Banche e assicurazioni sono simili perché scambiano prestazioni immediate con prestazioni future
- Il credito può essere visto in chiave assicurativa, con una piccola rivoluzione concettuale:
– il mark-up (spread) è un premio assicurativo
– l’insolvenza è un “diritto” contrattuale del debitore (polizza)
– franchigia = garanzia - Possibile utilizzare quindi tecniche di dimensionamento delle riserve e di pricing tipiche della matematica attuariale assicurativa
- Attenzione alla correlazione degli eventi:
– non significativa nelle assicurazioni più semplici (es. vita, in mancanza di epidemie)
– tuttavia presente, e trattata, nei modelli per assicurazioni su eventi come incendi ecc.
Variabile casuale di Poisson: formula e a cosa serve
Creditrisk+
- Dato un numero atteso di default mu (ad esempio, 4 su un portafoglio di 100 controparti con PD 4%) la probabilità di osservare n default (n default vuol dire n debitori insolventi) può essere approssimata con (vedi foto)
- L’approssimazione richiede che i default siano indipendenti (irrealistico) e funziona bene se le PD sono piccole.
Una volta trovato con Poisson il numero di debitori insolventi, possiamo trovare anche la previsione della distribuzione delle perdite future, necessaria per il calcolo del Credit VaR?
Creditrisk+
Sì, tramite una tecnica chiamata banding, che divide i crediti in fasce
Come funziona il banding?
Creditrisk+
- Stabilire un’unità di misura L (es. 10.000 €)
- Dividere gli importi L(i) per L e arrotondare, ottenendo i valori standardizzati v(i) (es. 11.000/10.000=1,1 -> v(i) = 1)
- Raggruppare nella stessa banda tutti i crediti con uguale dimensione v(i)
- Posso calcolare il numero di insolvenze attese, mu(j) ed applicare la distribuzione di Poisson per trovare le probabilità associate ad un certo numero di default
- Tale numero equivale a perdite di ammontare v(j) * L. (es. tre perdite in banda v(j)=2 equivalgono a perdite per tre volte 20.000, cioè a perdite per 60.000 euro).
- Per ottenere la distribuzione delle perdite devo combinare queste p di ogni banda, per ottenere la probabilità di perdita di x.mila euro non in una singola banda, ma nell’intero portafoglio
- Ciò viene fatto derivando, per ogni banda, una funzione simile alla poissoniana già vista, e combinando tra loro le funzioni delle singole bande
- Dalla funzione complessiva (che non è più una poissoniana, ma è comunque trattabile) si derivano le probabilità
Per trovare la distribuzione delle perdite future abbiamo ipotizzato crediti incorrelati, ma come introduciamo la correlazione?
Creditrisk+
E che non sia una variabile discreta come nella formula di Poisson di prima
Quali sono gli effetti sul rischio complessivo quando usiamo un tasso di insolvenza (o numero medio di insolvenze) stocastico anziché costante?
Nella distribuzione finale (con mu aleatorio) il rischio è maggiore:
* Rispetto al caso in cui le probabilità di default sono note a priori (tasso di insolvenza costante) ora le fonti di rischio sono due:
– Rossi & C. andranno davvero in default?
– E prima ancora, che probabilità hanno di andarci?
– Quindi gli eventi estremi sono più probabili
* Vista in un altro modo:
– Ora c’è correlazione tra Rossi, Bianchi, Verdi & C.
– Quindi la diversificazione di portafoglio funziona meno
