5b - Modelli di stima della PD Flashcards
Modelli per la stima della PD
- I modelli basati sui mercati dei capitali: generalità
- I modelli basati sugli spread obbligazionari
- I modelli basati sulle quotazioni azionarie
– Il modello di Merton
– Il modello di Moody’s KMV
Perché usare i dati di mercato nella stima?
- Per le controparti più grandi, esistono fonti informative specifiche, oltre a quelle trattabili con modelli di scoring
– Il mercato obbligazionario (spreads)
– Il mercato azionario (prezzi) - Perché simili fonti informative:
– Possono essere trattate con modelli quantitativi anche se incorporano l’opinione del mercato su tutti gli aspetti (anche qualitativi) della gestione aziendale
– Sono “forward looking” (cosa non vera per gli indici basati sui bilanci, e nemmeno per gli indicatori tratti dalle Centrali dei Rischi)
– Sono soggetti alle stesse “illusioni” e “bolle” di cui soffrono I mercati dei capitali
Approccio basato sugli spread dei corporate bonds
- Utilizza i credit spread = maggiorazione di rendimento richiesta dal mercato ai titoli obbligazionari “rischiosi” (corporate) rispetto ai titoli di pari scadenza equivalente privi di rischio (Treasury)
- Può risentire di altri effetti: liquidità, opzioni, domanda e offerta. Ma noi fingiamo che non ci siano per semplicità
- Ma principalmente riflette le aspettative del mercato circa la probabilità di insolvenza degli emittenti dei titoli rischiosi
Dati input necessari per approccio basato sugli spread dei corporate bonds
– Curva dei tassi zero-coupon risk-free
– Curva dei tassi di rendimento zero-coupon dei bond rischiosi
– Tassi di recupero attesi in caso di insolvenza
Logica di fondo dell’approccio con spread. Formula con R = 0
La logica è l’equivalenza dei montanti attesi. Siccome il rendimento dei corporate è più elevato di quello dei govies, ci deve essere una probabilità di default per avere una equivalenza. In questo modo possiamo risolvere per p trovando la probability of default.
Formula di fondo dell’approccio con spread con R > 0
Riscrittura della formula per ricavare d invece che p. Pricing con tassi continui
Approccio con spread
Riscrittura della formula per ricavare d invece che p. Pricing con tassi semplici o composti annui
Devo conoscere il livello del risk free, altrimenti non posso.
Formula per trovare la probabilità cumulata su periodi per più di un anno
Formula per trovare la probabilità marginale di ogni anno su periodi per più di un anno
Formula legame tra tassi forward e spot
Formula per probabilità cumulata e marginale di default su orizzonti temporali più lunghi, tramite tassi spot e forward
Pregi e limiti dell’approccio con spread dei corporate bonds
- Pregi:
– utilizzo di dati di mercato, dunque oggettivi
– modello “forward looking” - Limiti
– ipotesi validità della teoria delle aspettative: problema per scadenze lunghe
– presenza di premi di liquidità non direttamente connessi alle aspettative di insolvenza degli emittenti
– l’ipotesi di neutralità al rischio
– applicabile solo a imprese che emettono titoli sul mercato dei capitali
Rappresentazione del Modello di Merton
La probabilità che l’evoluzione del logaritmo del valore degli attiva vada al di sotto del logaritmp del livello del debito rappresenta la probabilità di default
Formula del valore degli attivi del debitore
Formula e logica PD tramite Merton (opzione put)
Troviamo la PD come se fosse la probabilità di esercitare un’opzione put, in quanto attiviamo la put quando il prezzo di qualcosa scende sotto il valore di uno strike price X. Nel nostro caso la put è sugli attivi e lo strike price X è il valore del debito. Quando gli attivi scendono sotto il debito andiamo in default, che corrisponde alla stessa probabilità di quando esercitiamo la put.
Cosa rappresenta l’equity nel modello di Merton? Cosa ricaviamo da ciò?
Rappresenta una call sul valore dell’attivo con uno strike price pari al valore futuro del debito. Infatti se il valore dell’attivo sarà inferiore al valore X del debito, allora l’equity varrà zero perché la società sarà fallita, proprio in mod analogo a come una call vale zero se il valore del sottostante è sotto allo strike price, perché quella call diventa inutile. Allo stesso modo se il valore dell’attivo è sopra il valore futuro X del debito, allora il valore dell’equity sarà la differenza tra i due, così come il valore della call in the money è data dalla differenza tra il sottostante e lo strike price.
Osservando il livello e la volatilità dell’equity nel mercato (quindi vale solo per società quotate) possiamo fare reverse engeneering e trovare il valore e la volatilità dell’attivo
Come ricaviamo matematicamente il valore e la volatilità dell’attivo con Merton?
Con Black e Scholes (1) e il Lemma di Ito (2) formiamo un sistema di equazioni a due incognite per trovare alla “rovescia” il valore e la volatilità dell’attivo.
Formula di Black e Scholes per valore equity
Lemma di Ito per volatilità equity
Implicazioni per il princing del modello di Merton
Implicazioni matematiche per il princing del modello di Merton
è un metodo tramite formule per vedere che il valore del debito della banca equivale ad un finanziamento più una posizione corta (quindi, in realtà, meno) su una put. Quindi ad un finanziamento al risk free + un premio al rischio (?)
Reciproco dell’indice di leverage
Modello di Merton
1/L
Formula del premio al rischio di equilibrio
Modello di Merton
