5b - Modelli di stima della PD

Question 1

Modelli per la stima della PD

Answer 1

• I modelli basati sui mercati dei capitali: generalità
• I modelli basati sugli spread obbligazionari
• I modelli basati sulle quotazioni azionarie
  – Il modello di Merton
  – Il modello di Moody’s KMV

Question 2

Perché usare i dati di mercato nella stima?

Answer 2

• Per le controparti più grandi, esistono fonti informative specifiche, oltre a quelle trattabili con modelli di scoring
  – Il mercato obbligazionario (spreads)
  – Il mercato azionario (prezzi)
• Perché simili fonti informative:
  – Possono essere trattate con modelli quantitativi anche se incorporano l’opinione del mercato su tutti gli aspetti (anche qualitativi) della gestione aziendale
  – Sono “forward looking” (cosa non vera per gli indici basati sui bilanci, e nemmeno per gli indicatori tratti dalle Centrali dei Rischi)
  – Sono soggetti alle stesse “illusioni” e “bolle” di cui soffrono I mercati dei capitali

Question 3

Approccio basato sugli spread dei corporate bonds

Answer 3

• Utilizza i credit spread = maggiorazione di rendimento richiesta dal mercato ai titoli obbligazionari “rischiosi” (corporate) rispetto ai titoli di pari scadenza equivalente privi di rischio (Treasury)
• Può risentire di altri effetti: liquidità, opzioni, domanda e offerta. Ma noi fingiamo che non ci siano per semplicità
• Ma principalmente riflette le aspettative del mercato circa la probabilità di insolvenza degli emittenti dei titoli rischiosi

Question 4

Dati input necessari per approccio basato sugli spread dei corporate bonds

Answer 4

– Curva dei tassi zero-coupon risk-free
– Curva dei tassi di rendimento zero-coupon dei bond rischiosi
– Tassi di recupero attesi in caso di insolvenza

Question 5

Logica di fondo dell’approccio con spread. Formula con R = 0

Answer 5

La logica è l’equivalenza dei montanti attesi. Siccome il rendimento dei corporate è più elevato di quello dei govies, ci deve essere una probabilità di default per avere una equivalenza. In questo modo possiamo risolvere per p trovando la probability of default.

Question 6

Formula di fondo dell’approccio con spread con R > 0

Answer 6

Question 7

Riscrittura della formula per ricavare d invece che p. Pricing con tassi continui

Approccio con spread

Answer 7

Question 8

Riscrittura della formula per ricavare d invece che p. Pricing con tassi semplici o composti annui

Answer 8

Devo conoscere il livello del risk free, altrimenti non posso.

Question 9

Formula per trovare la probabilità cumulata su periodi per più di un anno

Answer 9

Question 10

Formula per trovare la probabilità marginale di ogni anno su periodi per più di un anno

Answer 10

Question 11

Formula legame tra tassi forward e spot

Answer 11

Question 12

Formula per probabilità cumulata e marginale di default su orizzonti temporali più lunghi, tramite tassi spot e forward

Answer 12

Question 13

Pregi e limiti dell’approccio con spread dei corporate bonds

Answer 13

• Pregi:
  – utilizzo di dati di mercato, dunque oggettivi
  – modello “forward looking”
• Limiti
  – ipotesi validità della teoria delle aspettative: problema per scadenze lunghe
  – presenza di premi di liquidità non direttamente connessi alle aspettative di insolvenza degli emittenti
  – l’ipotesi di neutralità al rischio
  – applicabile solo a imprese che emettono titoli sul mercato dei capitali

Question 14

Rappresentazione del Modello di Merton

Answer 14

La probabilità che l’evoluzione del logaritmo del valore degli attiva vada al di sotto del logaritmp del livello del debito rappresenta la probabilità di default

Question 15

Formula del valore degli attivi del debitore

Answer 15

Question 16

Formula e logica PD tramite Merton (opzione put)

Answer 16

Troviamo la PD come se fosse la probabilità di esercitare un’opzione put, in quanto attiviamo la put quando il prezzo di qualcosa scende sotto il valore di uno strike price X. Nel nostro caso la put è sugli attivi e lo strike price X è il valore del debito. Quando gli attivi scendono sotto il debito andiamo in default, che corrisponde alla stessa probabilità di quando esercitiamo la put.

Question 17

Cosa rappresenta l’equity nel modello di Merton? Cosa ricaviamo da ciò?

Answer 17

Rappresenta una call sul valore dell’attivo con uno strike price pari al valore futuro del debito. Infatti se il valore dell’attivo sarà inferiore al valore X del debito, allora l’equity varrà zero perché la società sarà fallita, proprio in mod analogo a come una call vale zero se il valore del sottostante è sotto allo strike price, perché quella call diventa inutile. Allo stesso modo se il valore dell’attivo è sopra il valore futuro X del debito, allora il valore dell’equity sarà la differenza tra i due, così come il valore della call in the money è data dalla differenza tra il sottostante e lo strike price.

Osservando il livello e la volatilità dell’equity nel mercato (quindi vale solo per società quotate) possiamo fare reverse engeneering e trovare il valore e la volatilità dell’attivo

Question 18

Come ricaviamo matematicamente il valore e la volatilità dell’attivo con Merton?

Answer 18

Con Black e Scholes (1) e il Lemma di Ito (2) formiamo un sistema di equazioni a due incognite per trovare alla “rovescia” il valore e la volatilità dell’attivo.

Question 19

Formula di Black e Scholes per valore equity

Answer 19

Question 20

Lemma di Ito per volatilità equity

Answer 20

Question 21

Implicazioni per il princing del modello di Merton

Answer 21

Question 22

Implicazioni matematiche per il princing del modello di Merton

Answer 22

è un metodo tramite formule per vedere che il valore del debito della banca equivale ad un finanziamento più una posizione corta (quindi, in realtà, meno) su una put. Quindi ad un finanziamento al risk free + un premio al rischio (?)

Question 23

Reciproco dell’indice di leverage

Modello di Merton

Answer 23

1/L

Question 24

Formula del premio al rischio di equilibrio

Modello di Merton

Answer 24

Question 25

Cosa succede ai premi al rischio per classi di rating rischiose col tempo? E per le classi di rating migliori?

Answer 25

Per le peggiori si riducono riflettendo:
a) l’elevata probabilità di non “sopravvivere” al primo anno
b) la più ridotta probabilità di divenire insolventi negli anni successivi

Per le migliori, aumentano i premi al rischio.

Merton trova risultati che rispecchiano la realta.

Question 26

A cosa serve il modello KMV CreditMonitor?

Answer 26

Interviene principalmente su tre aspetti per migliorare Merton
1. Non tutto il debito è esigibile entro un anno: Xt viene sostituito con il default point DP (stima del debito in scadenza entro 12 mesi)
2. La distribuzione normale è empiricamente insoddisfacente (ad es. ha code troppo “magre”), viene quindi sostituita con una distribuzione empirica
3. L’ipotesi di neutralità al rischio porta a PD sovrastimate, e quindi va corretta

Question 27

Visualizzazione del modello KMV CreditMonitor

Answer 27

Question 28

Logica del modello KMV Credit Monitor

Answer 28

La probabilità che il log del valore degli attivi vada sotto il log del default point indica la probabilità di default.

La distanza tra il valore atteso degli attivi e il defaul point viene chiamata Distance to Default e viene espressa come multiplo della deviazione standard per riflettere la volatilità dell’attivo

Question 29

Formule della Distance to Default

Answer 29

Question 30

Cosa è p in KMV model?

Answer 30

Non è la probability of default ma la expected default frequency, ed è una probabilità empirica e non teorica.

Question 31

Perché KMV è più facile da interpretare di Merton?

Answer 31

Perché ottengo una relazione lineare tra EDF e DD, rispetto al valore della put di Merton

Question 32

Applicazione del KMV con le aziende non quotate (Private Firm model)

Answer 32

Si basa anche sul fatto che:
- ci sia una relazione lineare tra Ebitda e Asset Value (Va)
- ci sia una relazione lineare inversa tra Size (come fatturato o totale attivo) e Asset Volatility (Sigmaa)
E noi l’Ebitda e la SIze possiamo ricavarli tramite l’analisi di dati di altre aziende (comparables), mentre il Default Point possiamo prenderlo dai dati contabili

Perciò è utilizzabile anche per aziende non quotate

Question 33

Pregi del modello di KMV

Answer 33

• Diversamente dai modelli logit/discriminanti basati su bilanci e centrale dei rischi è un modello forward-looking
• Diversamente dai modelli spread-based, non richiede l’esistenza di debito quotato
• Diversamente dalle tavole attuariali, misura l’affidabilità della singola impresa, non di un’intera classe come le società di rating.
• E’ un rating point-in-time, più vicino alla logica delle banche che a quella delle agenzie di rating. Infatti guarda l’intero ciclo economico, quindi il tasso di default rimane stabile, mentre il rating delle agenzie segue il ciclo economico (chiamto invece metodo Through the Cycle TTC).
  – Tassi di default relativamente stabili
  – Migrazioni relativamente intense
  – Forte prociclicalità

Question 34

Limiti del modello KMV per l’Italia

Answer 34

• Richiede dati di mercato abbondanti:
  – Anche il private firm model richiede stime su campioni omogenei di società quotate
• Non potrà mai coprire grappoli di imprese che non hanno un equivalente quotato:
  – Media impresa e small business
• Risente del nervosismo e dell’irrazionalità dei mercati:
  – Ma forse il limite è dei mercati, non del modello
  – La reattività è comunque un’arma a doppio taglio