3 - Rischio di mercato Flashcards
Cosa sono i rischi di mercato?
Possiamo vederli come i rischi connessi all’attività di negoziazione di valori mobiliari (trading)
Più precisamente, è il rischio di variazioni del valore di mercato di uno strumento o di un portafoglio di strumenti finanziari connesse a variazioni inattese dei fattori di mercato (prezzi azionari, tassi di interesse, tassi di cambio e volatilità di tali variabili)
Distinzione tra portafoglio di trading (che ha il rischio di mercato) e portafoglio immobilizzato
La distinzione deriva dalla normativa contabile e di vigilanza. Quello di trading è detenuto al fine di ottenere un profito nel breve termine tramite la negoziazione, quindi contiene strumenti che hanno un mercato. A differenza del portafoglio immobilizzato che non è detenuto per la negoziazione
Perché i rischi di mercato acquisiscono rilevanza crescente?
A seguito di:
– processo di cartolarizzazione dei rischi, che li rende liquidi grazie ai derivati
– diffusione delle prassi di “mark-to-market”, cioè la valutazione a valori di mercato
– episodi di crisi
– normativa sui requisiti patrimoniali (Basilea, a partire dal 1996)
Come articoliamo i rischi di mercato?
Possiamo articolarli in:
– Rischio di interesse
– Rischio di cambio
– Rischio azionario
– Rischio merci
– Rischio volatilità
Approcci per la misura del rischio di mercato
- Approccio tradizionale: valori nominali
- Approccio basato sul mark to market e su misure di sensibilità
- Approcci con Risk Metrics
Problemi dell’approccio tradizionale
Problemi:
1. Non considera il diverso valore di mercato delle posizioni
2. Non coglie la diversa sensibilità di posizioni differenti a variazioni dei fattori di mercato
3. Non considera le condizioni di volatilità correnti e la correlazione tra prezzi/tassi
Problemi rilevanti, ad es., per le opzioni
1. Diversa sensibilità in funzione del prezzo di esercizio
Vantaggi e limiti dell’approccio basato su mkt to mkt e su misure di sensibilità
Vantaggi:
1. Considera il diverso valore di mercato delle posizioni
2. Con coglie la diversa sensibilità di posizioni differenti a variazioni dei fattori di mercato
Limiti:
1. Usa misure diverse per posizioni diverse:
– ciò ostacola la comunicazione orizzontale e verticale
– impossibile ottenere una misura di rischio complessiva
2. Non considera volatilità e correlazione dei differenti fattori di mercato (uguale all’approccio nominale)
Caratteristiche dell’approccio Risk Metrics
Basati su una misura di rischio unificata che:
* Riflette il diverso valore di mercato delle posizioni
* Riflette il diverso grado di sensibilità delle posizioni alle variazioni dei fattori di mercato
* Riflette il diverso grado di volatilità dei fattori di mercato e la loro correlazione
* Consente di aggregare i rischi di posizioni diverse
* Agevola la comunicazione verticale e orizzontale
Visione di insieme Risk Metrics
Definizione dei principali fattori di rischio
Su azioni e futures, posizioni in valuta, currency swaps, swaps, materie prime, titoli a reddito fisso
- Azioni e futures su azioni
– Prezzo della singola azione, o indice di riferimento moltiplicato per il beta - Posizioni in valuta, currency futures e swaps
– Cambi (prezzo della valuta estera in valuta locale)
– Cambi forward ricavati dalla parità a termine implicita nei tassi di interesse - Posizioni su materie prime
– Prezzi spot e futures delle materie prime - Posizioni in titoli a reddito fisso
– Prezzi degli zero coupon bond. Utili anche per titoli con cedola, scomposti in flussi elementari
– Tassi zero coupon: dai tassi seguono i prezzi, e viceversa
Da cosa provengono i possibili valori futuri dei fattori di rischio? E come può essere?
Provengono da una certa distribuzione di probabilità.
– Si ipotizza per comodità che sia normale: è l’ipotesi di lavoro più comoda e utilizzata
– In alternativa esistono altre distribuzioni teoriche:
1. t di Student
2. Mistura di normali
– Ancora, è possibile utilizzare una distribuzione storica (empirica)
Variazione nel discreto di un fattore di rischio P
Modello multinormale
Con mu e sigma da stimare
Stima di mu
Modello multinormale
Su orizzonti (T-t) sufficientemente brevi, nessuna stima di mu performa in modo più affidabile rispetto al valore zero, o a un altro valore molto piccolo
Qual è il giusto orizzone temporale T-t?
Modello multinormale
Dipende
– da un fattore soggettivo, cioè l’holding period dell’investitore. Per un “cassettista” deciso a tenere la posizione per un anno, ha poco senso guardare alle possibili perdite nei prossimi dieci giorni
– da un fattore oggettivo, cioè la liquidità della posizione. Se il mercato secondario è liquido e la dimensione della posizione è tale da non influenzare troppo i prezzi, è possibile guardare all’orizzonte temporale necessario per liquidare la posizione come a quell’orizzonte temporale necessario per “bloccare” le perdite, sopportando le minusvalenze da t a T e cedendo i titoli
Stima di sigma
Modello multinormale
Utilizziamo una stima empirica della varianza di r basata su m+1 rendimenti passati (rt, rt-1, …, rt-m) e su una media mobile esponenziale.
Logica di lambda (decay factor)
lambda (< 1) va scelto empiricamente (valori comuni sono 0,94 e 0,97) e fa tendere verso zero il peso assegnato alle osservazioni più lontane, che dunque escono “a poco a poco” dal calcolo. Maggiore è lambda, minore è il decay (rapidità con cui le osservazioni passate escono di scena). Se lambda = 1 si ha una media mobile semplice (nessun decay), quindi la varianza classica.
Cosa succede alla stima della varianza per un numero di osservazioni m sufficientemente elevato o infinito?
Modello multinormale
Stima di sigma con EWMA
In pratica, la varianza viene ricalcolata ogni giorno prendendo quella del giorno prima e aggiustandola (per una piccola quota, 1-lambda) con il quadrato del rendimento appena registrato.
Qual è il vantaggio di usare la varianza “mobile” modellata con EWMA rispetto alla varianza costante?
Modello multinormale
Questo approccio riesce a utilizzare la distribuzione normale e nel contempo a generare serie storiche di rendimenti che hanno testa e code più grasse della normale (leptocurtici), cioè più coerenti con quanto accade davvero sui mercati.
Metodi alternativi per la stima della volatilità
Modello multinormale
- Medie mobili semplici
– sono affette dall’effetto eco, dovuto all’uscita improvvisa dal campione di vecchi valori anomali - Volatilità implicite
– misure forward looking, incorporano le aspettative per il futuro, non il comportamento recente - Modelli GARCH
– sono una generalizzazione dell’EWMA
Cosa è la volatilià implicita e come si ricava
Modello multinormale
- Si ricava dal valore di mercato delle opzioni. Se sale la volatilità sale il valore, e viceversa
- Rappresenta la volatilità “attesa” dal mercato
Tipicamente si utilizzano i prezzi delle opzioni at the money e si segue un processo iterativo
1. scelta di un modello di pricing
2. calcolo del valore teorico
3. modifica del valore della volatilità fino a quando il prezzo teorico non coincide con quello di mercato
Pro e contro del metodo della volatilità implicita
Modello multinormale
Pro
* Basato su aspettative, quindi fwd looking
Contro:
* Non esistono opzioni quotate per tutti i fattori di rischio
* Anche quando esistono
– il mercato può essere poco liquido
– il prezzo può comprendere un premio per il rischio di controparte, che va eliminato
– il modello teorico di pricing usato per ricavare sigma può essere diverso da quello adottato dagli operatori
La volatilità implicita è dunque poco utilizzata nel risk management
Descrizione modelli GARCH(p,q)
Modello multinormale
- Riconoscono che la varianza “varia” nel tempo e quindi modellano la volatilità in modo autoregressivo
- La varianza al tempo t è infatti stimata sulla base di 2 componenti:
1. la varianza nei periodi t-1, …, t-q
2. gli shock di mercato relativi ai periodi t-1, …, t-p
Estensione del modello multinormale a più fattori
Modello multinormale
Il rendimento r sarà determinato anche dalla covarianza tra i fattori, quindi invece del sigma dobbiamo stimare tutta la matrice di varianza/covarianza
Limiti dell’approccio multinormale
Modello multinormale
Possibile soluzione ai limiti dell’approccio multinormale nella scelta della distribuzione dei fattori di rischio. E limiti
Utilizzare la t di Student.
E’ una distribuzione interamente definita da media, deviazione standard e gradi di libertà (v)
– Parametro (il numero di gradi di libertà) che controlla il grado di curtosi
– Un minor v implica code più spesse
– Quindi un maggior numero di gradi di libertà implica che la t di Student possa essere approssimata con una normale, perdendo il suo senso di essere la soluzione
Problema:
- Una combinazione lineare di t di Student non è una t di Student. Mentre nella Normale è così.
Altra possibile soluzione ai limiti dell’approccio multinormale nella scelta della distribuzione dei fattori di rischio
Utilizzare una mistura di normali.
I rendimenti sono estratti da due distribuzioni normali con media uguale ma diversa varianza. La prima distribuzione ha probabilità > e varianza <. La seconda il contrario.
Giustificazione empirica
– le due distribuzioni possono essere associate, rispettivamente ai giorni “tranquilli” e ai giorni “frenetici”
Limiti
– Approccio relativamente semplice in chiave univariata, più difficile da generalizzare a n fattori di rischio
Rappresentare la distribuzione dei valori futuri del portafogli
Data la distribuzione dei fattori di rischio, dobbiamo rappresentarne gli effetti sul nostro portafoglio titoli.
Per rappresentare i possibili valori futuri del portafoglio esistono diversi metodi:
– Metodi basati su distribuzioni teoriche (di solito, la distribuzione normale multipla). Ad esempio le simulazioni Montecarlo e la stima parametrica
– Metodi basati su distribuzioni empiriche, come la simulazione storica
Formula di r in Simulazione di Montecarlo. Inoltre perché r si distribuisce come una N(0;SIGMA(T-t))?
r si può ricavare dalla formula di r nel multinormale a più fattori sostituendo C’C a SIGMA e tirandolo fuori
Step per simulazione di Montecarlo
La nuova equazione di r implica una strategia pratica per generare scenari che rappresentano possibili variazioni future degli n fattori di rischio:
1. Estrai n valori z (z1, z2, …, zn) da altrettante normali standard indipendenti. Siccome z nella formula di r è distribuita come una normale.
Step Montecarlo in modo più informale
Infine riordino i 200 scenari dal meno al più favorevole. Mi concentrerò poi sugli eventi peggiori per avere idea dei rischi possibili.
Come costruiamo C (matrice fattorizzata) in Montecarlo?
Esistono diverse tecniche per costruire C a partire da SIGMA.
– Fattorizzazione di Cholesky
* E’ la più usata, disponibile anche in software di base come Excel
* Richiede che S sia definita positiva, cioè che tutti i fattori di rischio siano stati, nel periodo di osservazione, linearmente indipendenti. Nella realtà può non essere così, se il periodo di osservazione è breve
– Altri metodi
* Ad es. SVD, singular value decomposition, calcolabile anche quando S non è definita positiva
Limiti delle simulazioni di Montecarlo
Comportano un ingente volume di lavoro per:
– generare n fattori per N scenari
– per ogni scenario, rivalutare il portafoglio della banca “come se” i fattori di rischio avessero effettivamente assunto un certo valore
La scorciatoia è utilizzare i metodi parametrici, ma dobbiamo essere disposti ad accettare di perdere un po’ di precisione e accettare qualche ulteriore ipotesi
Da cosa dipende il valore del portafoglio di una banca (V)?
Dipende da un certo numero di fattori di rischio P.
V = V(P)
Formula approssimazione del valore V con formula di Taylor fermandosi alla derivata prima
Può per non essere soddisfacente per funzioni V(P) non lineari e per variazioi marcate dei fattori di rischio.
Formula del Delta(V)
Con cosa possiamo approssimare la variazione del valore del portafoglio?
Possiamo approssimarla con una funzione lineare dei rendimenti logaritmici dei fattori di rischio. Infatti Delta(V) può essere riscritto come un vettore di numeri detto “delta equivalents” moltiplicato per i rendimenti logaritmici dei fattori di rischio.
Formula approssimazione lineare del Delta(V) e distribuzione dei fattori di rischio
Dalla formula dell’approssimazione lineare del Delta(V) e dalla distribuzione dei fattori di rischio, cosa ricaviamo sulla distribuzione delle variazioni di valore del portafoglio
Se le nostre ipotesi sono corrette (i fattori di rischio sono distribuiti secondo una normale di cui l’EWMA stima correttamente i parametri, l’approssimazione lineare è soddisfacente) conosciamo l’intera distribuzione di probabilità delle possibili variazioni di valore future del portafoglio della banca
Confronto tra approccio Montecarlo e Approccio parametrico
La simulazione Montecarlo è preferibile se V(P) non è lineare. Occorre però un N alto (che aumenta i tempi di calcolo) perché assuma una forma “naturale”
L’approccio parametrico è rapido e preciso, se le ipotesi su cui fa perno sono corrette!
Delta per approccio con fattori di sconti e delta per approccio direttamente con tassi
Con i fattori di sconto io sto utilizzando i prezzi e quindi sono lungo rispetto ai prezzi.
Con direttamente i tassi ribalto la mia sprospettiva e quindi dovendo essere lungo verso i prezzi, devo diventare corto verso i tassi. Infatti per usare direttamente i tassi devo fare la derivata successiva a quella sul fattore di sconto e quindi il segno si inverte.
In che caso e in che modo utilizziamo l’approccio delta-gamma?
In presenza di relazioni non lineari tra valore della posizione e fattori di rischio P(i), il metodo basato sul delta è poco accurato.
Possiamo migliorare l’approssimazione includendo il secondo termine di un’espansione in serie di Taylor. Usando quindi la derivata seconda.
Nella formula vediamo r * r’ perché sarebbe come fare il quadato per un vettore, infatti stiamo semplicemente aggiungendo il “pezzo” della derivata seconda che va appunto elevata al quadrato.
Formula variazione valore del portafolgio approccio d-g in caso di obbligazione long term, con YTM come fattore di rischio
Formula variazione valore del portafolgio approccio d-g in caso di opzione call, con prezzo del sottostante come fattore di rischio
Strategia pratica per valorizzare il portafoglio partendo dalla distribuzione empirica/simulazione storica
- La strategia pratica per rappresentare le possibili variazioni future del portafoglio è la seguente:
1. Per ogni sottoperiodo passato (es. settimana) calcola la variazione avvenuta nei fattori di rischio r (r1, r2, …, rn)
2. Applica questa variazione ai valori correnti dei fattori di
rischio, ottenendo un set di possibili valori futuri (es. tra
una settimana): vedi foto
3. Dato questo set di valori, rivaluta il portafoglio V(P). - La procedura 1-3 viene ripetuta per un numero di volte pari a quello dei sottoperiodi osservati in passato, registrando gli effetti dei fattori di rischio sul valore del portafoglio della banca. Sarà poi possibile isolare gli scenari peggiori per quantificare le possibili perdite estreme
Confronto tra metodo parametrico e simulazione storica per la valutazione di un portafoglio
La simulazione storica segnala che variazioni estreme (e in particolare, crolli) di valore sono molto più probabili di quanto suggerisca il metodo parametrico (il campione contiene settimane di alta volatilità – che la EWMA pesava poco - e di borsa depressa - che erano neutralizzate dall’ipotesi di r medi pari a zero).
Che approcci possiamo utilizzare nell’approccio storico per scelgliere quali variazioni storiche utilizzare?
- Spesso, nella pratica, si usano variazioni storiche giornaliere (più numerose) per poi moltiplicarle per la radice di T (lunghezza del sottoperiodo, es. 5 per una settimana lavorativa)
– Approccio impreciso, ma accettabile - In alternativa, si calcolano variazioni a T giorni su finestre mobili (es. 26 marzo-2 aprile, 27 marzo-3 aprile, ecc.)
– Questo metodo non aggiunge informazione, e la sovrapposizione tra finestre introduce una distorsione. Infatti, una variazione ampia “resta” nel campione per T giorni, ma anche il numero di osservazioni nel campione è di T volte più grande. Inoltre, i rendimenti settimanali risultano autocorrelati anche se non lo sono
Esempio scenari storici
Processo per scenari predittivi
Consideriamo i nostri fattori di rischio r e dividiamoli in due gruppi:
- r2 cioè i fattori core
- r1 cioè i fattori periferici
Poi calcoliamo i valori dei fattori periferici r1.
Esempio scenari predittivi
Tecniche di mapping: obbligazioni con flussi irregolari
- I fattori di rischio relativi alle obbligazioni (fattori di sconto) coprono un numero finito di “nodi” o “vertici” della term structure (es. 0,5, 1 e 2 anni).
- Le obbligazioni in portafoglio però prevedono flussi anche su scadenze diverse
– Es. titolo a due anni con cedola del 2,5% semestrale - Dobbiamo operare un clumping dei flussi su un titolo identico a quello reale per segno, valore attuale e rischiosità
Tecniche di mapping: portafogli azionari diversificati
- Abbiamo visto un portafoglio con due titoli azionari
– Il prezzo di ogni azione veniva modellato come un singolo fattore di rischio - Per portafogli più complessi e diversificati conviene cambiare tattica :
– I fattori di rischio da stimare sarebbero troppi
– Inoltre, il rischio specifico può essere ragionevolmente ignorato - Si adotta allora una tecnica di mapping all’indice di mercato, basata sul beta
Applicazione della tecnica di mapping al solito portafoglio azionario
Come r nella formula della variazione del portafoglio V, tramite metodo di approssimazione lineare, utilizzo Beta * r
Mapping di azioni e obbligazioni in valuta
Corrisponde all’approccio delta-normal perché in questo caso esso sottintende un mapping.
Quindi in caso di:
- azioni in valuta: mapping corrisponde a investimento di importo V in un’azione senza rischio di cambio + investimetno di un importo V in un deposito a vista in valuta
- obbligazioni in valuta: mapping è a un obbligazione senza rischio di cambio + un deposito a vista in sterline
Tecniche di mapping: futures su cambi a termine
- Una posizione lunga in valuta (es. USD) a termine dà diritto a comprare dollari in futuro (es., tra D = 6 mesi) a un prezzo F prefissato
- E’ equiparabile a un portafoglio equivalente (operazione di cash and carry) composto da:
– un debito a sei mesi in EUR al tasso rd, con cui fare
– un acquisto a pronti di USD al cambio S, con cui fare
– un deposito a sei mesi in USD al tasso rf - Per ragioni di non arbitraggio, il cambio a termine F coincide con il costo di questa operazione di cash and carry
Confronto tra cambio a termine e operazione di cash and carry
Mi indebito in EUR a 6 mesi -> con questi soldi compro USD a pronti (cambio di ora) -> investo i dollari appena cambiati a 6 mesi -> tra 6 mesi avrò tanti USD investi quanti sarebbero stati se li avessi cambiati direttamente dopo 6 mesi.
Tecniche di mapping: opzioni europee
Il valore di una opzione può essere mappato tramite la consueta formula di Black e Scholes
Tecniche di mapping: Forward Rate Agreement
Contratto che obbliga a un investimento a tasso predeterminato a decorrere da una certa data futura. Lo mappiamo con un portafoglio equivalente che consiste nel prendere a prestito oggi per (ad esempio) tre mesi il valore attuale del capitale (ad esempio 1 milione) (quindi non 1 milione ma di meno, perché attualizzato) e investissimo il ricavato per 6 mesi, in cambio di un montante finale di un milione capitalizzato per 6 mesi al tasso del FRA.
In questo modo da subito abbiamo 1 milione attualizzato (quindi un po’ meno), dopo 3 mesi abbiamo 1 milione e dope 6 mesi il milione capitalizzato che corrisponde all’importo che avremmo ricevuto tramite il FRA.
In termini matematici come definiamo il VaR?
In termini matematici il VaR dipende dal p-esimo percentile (DeltaVp) della distribuzione delle DeltaV.
– J.P. Morgan lo definisce semplicemente come tale percentile
– Più spesso, si definisce VaR la distanza tra tale percentile e la media della distribuzione
– Nel metodo parametrico, DeltaVp poiché le variazioni dei
fattori di rischio hanno media nulla e DeltaV è una loro combinazione lineare, mu di DeltaV è per definizione 0, e le due definizioni coincidono
Calcolo del VaR con metodo parametrico e vantaggi
Il percentile xp di qualunque distribuzione normale a media nulla si ottiene moltiplicando la sua deviazione standard sigmax per il corrispondente percentile zp della distribuzione normale standard.
Se adottiamo l’approccio parametrico, dunque:
– il VaR può essere calcolato rapidamente, nota la deviazione standard delle variazioni di valore. Infatti i valori di zp si trovano sui libri di statistica e sono calcolabili con moltissimi software
– il VaR può essere scomposto facilmente, perché tutte le scomposizioni della deviazione standard si applicano al VaR, a meno di una costante zp
Cosa è l’Expected Shortfall?
E’ definito come la media delle perdite inattese
(cioè in più oltre il valore atteso mu) superiori al VaR.
Dal punto di vista economico, posso vederlo come:
– Il VaR, più il costo che le autorità di vigilanza dovrebbero sostenere per salvare la banca (ripianando le sue perdite) se il suo capitale (fissato pari al VaR) non fosse sufficiente
– Il VaR, più il costo (risk neutral) che la banca dovrebbe sostenere se volesse assicurarsi contro perdite superiori al VaR
Coerenza delle misure di rischio
- Invarianza alle traslazioni
– l’aggiunta al portafoglio di una quantità di risk free riduce il rischio del medesimo ammontare - Omogeneità positiva di grado uno
– Se raddoppiamo la dimensione di ogni posizione, raddoppia anche il rischio del portafoglio. - Monotonicità
– Se le perdite sul portafoglio A sono maggiori di quelle sul portafoglio B in ogni possibile scenario futuro, allora il rischio del portafoglio A deve essere maggiore di quello del portafoglio B - Subadditività
– Il rischio di una somma di più sottoportafogli è minore o uguale della somma dei rischi dei singoli sottoportafogli
Vantaggio 2 del VaR (limiti di rischio sensibili al mercato e omogenei)
Ci permette di calcolare un limite di esposizione dato un limite di VaR, sensibile alla volatilità di mercato o alla duration o ad altri fattori
VaR come misura delle risk-adjusted performance
Può trattarsi di:
– previsioni, cioè utili attesi, CaR (VaR) stimato in base alla composizione di portafoglio iniziale
– rendicontazioni, cioè utili effettivi, CaR (VaR) calcolato in base alla composizione di portafoglio tenuta nel corso dell’esercizio passato
