Билет 46

Question 1

46 билет

Теорема о вычислении длины кривой с помощью опр. интеграла

Формулировка теоремы

Answer 1

Пусть на плоскости XOY задана кривая l своими параметрическими уравнениями. Пусть эта кривая l-гладкая, т-е ф-ии φ(x), ψ(x), φ’(x), ψ’(x) - непрерывные ф-ии на [a;b]. Тогда длину кривой l обозначают |l| и вычисляют так:
|l| = a∫b √((φ’(t))² + (ψ’(t))²)dt

Question 2

46 билет

Следствия из теоремы вычисления длины кривой с помощью опр. интеграла

Формулировка

Answer 2

1) Явное задание кривой
Пусть кривая l на плоскости XOY задана явным лекартовым уравнением y = f(x) a ≤ x ≤ b. Тогда длина |l|этой кривой l может быть вычислена по формуле:
|l| = a∫b √(1 - (f’(x))²dx

2)Задание кривой полярным уравнением
(x;y) - декартовые координаты точки на плоскости XOY (r;φ) - полярные координаты точки на плоскости XOY. Если кривая l на плоскости XOY задана счвоим полярным уравнением r = r(φ), φ0 ≤ φ ≤ φ1, то её длину можно вычислить так:
|l| = φ0∫φ1 √((r’(φ))² + (r(φ))²)dx