20 Litt abstrakt algebra Flashcards
20.1 Invers relasjon
Hvis R er en relasjon fra A til B, er den inverse relasjonen til R relasjonen {〈y, x〉 | 〈x, y〉 ∈ R} fra B til A. Vi skriver R-1 for inversen til R.
20.2 Invers funksjon
La f være en en-til-en korrespondanse (bijeksjon) fra mengden A til mengden B. Den inverse funksjonen til f er funksjonen fra B til A som er slik at f-1(b) = a hvis f(a) = b. Vi skriver f-1 for den inverse funksjonen til f.
20.3 Kommutativ
En binær operasjon * på en mengde S er kommutativ hvis det for alle x, y ∈ S er slik at x * y = y * x.
20.4 Assosiativ
En binær operasjon * på en mengde S er assosiativ hvis det for alle x, y, z ∈ S er slik at x * (y * z) = (x * y) * z.
20.5 Idempotent
En unær operasjon f på en mengde S er idempotent hvis det for alle x ∈ S er slik at f(f(x)) = f(x). En binær operasjon * på en mengde S er idempotent hvis det for alle x ∈ S er slik at x * x = x.
20.6 Identitetselement
La en binær operasjon * på en mengde S være gitt. Hvis x * e = e * x = x for alle x ∈ S, sier vi at e er et identitetselement eller et nøytralt element for operasjonen *.
20.7 Inverse elementer
La en binær operasjon * på en mengde S være gitt, og anta at e er et identitetselement for *. Hvis a * a-1 = a-1 * a = e, sier vi at a og a-1 er inverse elementer, og at de er inversene til hverandre.
20.8 Gruppe
La en binær operasjon ● på en mengde G være gitt. Da er 〈G, ●〉 en gruppe hvis følgende betingelser, kalt gruppeaksimoene, er oppfylt.
- Operasjonen ● er assosiativ.
- Det finnes et identitetselement for ●.
- Alle elementer har en invers.
Hvis vi i tillegg har at ● er kommutativ, kalles gruppen abelsk.
