01 Grunnleggende mengdelære

Question 1

1.1 Mengde

Answer 1

En mengde er en endelig eller uendelig samling av objekter der innbyrdes rekkefølge og antall forekomster av hvert objekt ignoreres. Objektene i en mengde kalles elementer. Hvis x er et element i mengden A, skriver vi x ∈ A. Hvis a ikke er et element i A, skriver vi a ∉ A. To mengder A og B er like hvis de inneholder nøyaktig de samme elementene, og i så fall skriver vi A = B. Vi skriver A ≠ B hvis de ikke er like. En mengde kan angis ved å skrive opp elementene mellom symbolene { }, som ofte kalles krøllparanteser.

Question 2

1.2 Den tomme mengden

Answer 2

Den tomme mengden er mengden som ikke inneholder noen elementer. Den tomme mengden skrives som {} eller ∅.

Question 3

1.3 Mengdebygger

Answer 3

En mengde kan defineres som mengden av alle elementer som har en gitt egenskap. En slik konstruksjon kalles en mengdebygger. En definisjon på formen «mengden av alle elementer x slik/gitt at x har egenskapen P» skrives {x | x har egenskapen P}. Det som er til venstre for streken, kan også være et sammensatt uttrykk.

Question 4

1.4 Union

Answer 4

Unionen av to mengder A og B er den mengden som inneholder nøyaktig de elementer som er element i A eller B; dette inkluderer elementene som er med i begge. Det betyr at alle elementer i A og alle elementer i B, men ingen andre elementer, er med i unionen. Unionen av A og B skrives (A ∪ B). Vi tillater oss å droppe parantesene og skrive A ∪ B, så lenge det ikke blir tvetydig.

Question 5

1.5 Snitt

Answer 5

Hvis A og B er mengder, er snittet mellom A og B, eller A snittet med B, mengden som inneholder nøyaktig de objekter som er element i både A og B. Snittet mellom A og B skrives (A ∩ B). Vi tillater oss å droppe parentesene og skrive A ∩ B, så lenge det ikke blir tvetydig.

Question 6

1.6 Mengdebygger

Answer 6

Hvis A og B er mengder, er mengedifferansen mellom A og B, eller A minus B, mengden som inneholder nøyaktig de objekter som er element i A, men ikke element i B. Mengdedifferansen mellom A og B skrives (A \ B). Vi tillater oss å droppe parentesene og skrive A \ B, så lenge det ikke blir tvetydig.

Question 7

1.7 Delmengde

Answer 7

En mengde A er en delmengde av en mengde B hvis alle elementer i A også er elementer i B. Vi skriver A ⊆ B når A er en delmengde av B, og A ⊈ B ellers. Vi leser ofte A ⊆ B som «A er inneholdt i B».

Question 8

1.8 Tupler

Answer 8

Et tuppel med n elementer, et n-tuppel, er en samling med n objekter der både innbyrdes rekkefølge og antall forekomster av hvert objekt teller. Et 2-tuppel med to elementer x og y kalles et ordnet par, eller bare et par, og skrives 〈x, y〉. Et 0-tuppel, det tomme tuppelet, skrives 〈〉. Et 1-tuppel med ett element x identifiseres med x. To n-tupler 〈a₁, …, a_n〉 og 〈b₁, …, b_n〉 er like hvis de er komponentvis like. Det vil si at a_i = b_i for i ∈ {1, 2, …, n}.

Question 9

1.8 Kartesisk produkt

Answer 9

Det kartesiske produktet, også kalt kryssproduktet, av n mengder, X₁, X₂, …, X_n, skrives X₁ ⨯ … ⨯ X_n og er definert som mengden av alle n-tupler

{〈x₁, …, x_n〉 | x_i ∈ X_i for i = 1, …, n}

hvor hvert element x_i kommer fra mengden X_i. Skrivemåten Xⁿ er en forkortelse for X ⨯ X ⨯ … ⨯ X (n ganger). Vi lar X⁰ være mengden av det tomme tuppelet, {〈〉}.

Question 10

1.10 Multimengde

Answer 10

En multimengde er en samling objekter der rekkefølgen, men ikke antall forekomster av hvert element, ignoreres. En multimengde kan angis ved å skrive opp elementene mellom symbolene [].