07 Funksjoner Flashcards
7.1 Funksjon
En funksjon fra A til B er en binær relasjon f fra A til B slik at for enhver x ∈ A, er det nøyaktig ett element y ∈ B slik at 〈x, y〉 ∈ f. Vi skriver f(x) = y når 〈x, y〉 ∈ f. I dette tilfellet kaller vi x for argumentet og f(x) for verdien til funksjonen. Vi skriver f : A → B for funksjonen f når den er en funksjon fra A til B.
7.2 Definisjons- og verdiområde
La f være en funksjon fra A til B. Mengden A kalles definisjonsområdet til f, og mengden B kalles verdiområdet til f.
7.3 Identitetsfunksjonen
Hvis A er en mengde, er identitetsfunksjonen på A funksjonen idA som er slik at idA(x) = x for alle x ∈ A.
7.4 Injektiv
En funksjon f : A → B er injektiv hvis det for alle elementer x og y i A er slik at hvis x ≠ y, så f(x) ≠ f(y). Vi sier i så fall at f er en injeksjon og en-til-en.
7.5 Bildemengden
La f være en funksjon fra A til B, og la X være en delmengde av A. Mengden {f(x) | x ∈ X} kalles bildet av X under f, og skrives f[X]. Bildet av hele A under f, f[A], kalles bildemengden til f.
7.6 Surjektiv
En funksjon f : A → B er surjektiv hvis det for alle y ∈ B, finnes en x ∈ A slik at f(x) = y. Vi sier i så fall at f er en surjeksjon og på.
7.7 Bijektiv
En funksjon er bijektiv hvis den er injektiv og surjektiv. Vi sier også at funksjonen er en bijeksjon og en en-til-en korrespondanse.
7.8 Sammensetning av funksjoner
Hvis f : A → B og g : B → C er funksjoner, er funksjonen
g ○ f : A → C
definert som funksjonen vi får ved å først anvende f, deretter anvende g på verdien av dette, det vil si
(g ○ f)(a) = g(f(a)).
Denne nye funksjonen kalles sammensetningen av f og g.
7.9 Operasjon
En unær operasjon på en mengde A er en funksjon fra A til A. En binær operasjon på en mengde A er en funksjon fra A ⨯ A til A. Mer generelt, en n-ær operasjon på en mengde A er en funksjon fra An til A.
