08 Statisch unbestimmte Fachwerke

Question 1

Wann ist ein Fachwerk bestimmt und wann nicht?

Answer 1

bestimmt:
f = s + b - 2k
(s = Stäbe ; b = Wertigkeiten ; k = Knoten)

überbestimmt: s + b − 2k > 0
unterbestimmt: s + b − 2k < 0
ebenfalls unbestimmt:
s + b − 2k = 0 mit ungünstiger Geometrie!

Question 2

Lagerwertigkeiten

Answer 2

Loslager: einwertig (nur Senkrechte auf Lagerfläche)

Festlager: zweiwertig (in 2 Richtungen unbeweglich)

Feste Einspannung: dreiwertig

Gelenke: zweiwertig
Gelenkstäbe: einwertig (Zug, Druck)

Question 3

Annahmen (für Knotenverschiebung)

in statisch unbestimmten Fachwerken

Answer 3

• alle Stabkräfte positiv ansetzen ⟹ von der Schnittfläche weg
• Winkelmessung von der x-Achse in positive Richtung ⟹ imaginäres KOS jeweils in das LAGER legen!!!
• Additionstheoreme und Kompatibilitätsgleichungen nutzen

Question 4

Vorgehen zur Berechnung der Stabkräfte und Verschiebung im statisch unbestimmten Fachwerk

Answer 4

Freischnitt

GGW- Bedingungen ΣF.x/y(/z)
(Momentengleichungen oft unnütz, daher)

Kombinieren der Gleichungen der Festigkeitslehre:
⟹ Δl = Fₛl /EA

in GGW einsetzen und umformen
dann wieder in Δl = Fₛl /EA einsetzen

Allgemeine Kompatibilitätsgleichungen bzw/oder Verschiebeformel anwenden
(ggf auch ineinander einsetzen)

Question 5

Kompatibilitätsgleichungen der Ebene

Formänderungsaussagen

Answer 5

(aus Additionstheoremen und geometrischen Grundgleichungen für Verformung u)

Δlₙ = uₓ cos(αₙ) + u.y sin(αₙ)

(mit n = 1,2,3)
(mit u = (uₓ | u.y)
= Verschiebung des Knotenpunktes als Vektor)

Question 6

Eine Formänderungsaussage beschreibt in diesem Kontext …

Answer 6

… das Verhältnis der Längenänderung (eines Stabes):

Δl > 0: Verlängerung
Δl < 0: Verkürzung

(bzw. die Verschiebung eines Knotens im Fachwerk.)

Question 7

Formänderungsaussage bei Temperaturänderung

Answer 7

Δlₙ = Δlₘₑ + Δlₜₕ 
Δlₙ = Sₙlₙ /EA + αₙΔT*lₙ

(mit αₙ Temperaturdehnungskoeffizient des Stabes n)

Question 8

aus den Gleichungen der Festigkeitslehre folgt:

Answer 8

aus: σ = ε*E ; ε = Δl/l ; σ = Fₙ/A
mit Fₙ= Stabkraft S bzw. Fₛ

⟹ Δl = Fₛl /EA

Question 9

(Teil der Herleitung Kompatibilitätsgleichungen):

die relevanten Additionstheoreme allgemein

Answer 9

kurz:
sin(x±y) = sin(x)cos(y) ± sin(x)cos(y)
cos(x±y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)

entspricht:

sin(x+y) = sin(x)cos(y) + sin(x)cos(y)

cos(x+y) = cos(x)cos(y) − sin(x)sin(y)

sin(x−y) = sin(x)cos(y) − sin(x)cos(y)

cos(x−y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)

Question 10

(Teil der Herleitung Kompatibilitätsgleichungen):

Geometrische Grundgleichungen für die Verformung u

Answer 10

cos(αₙ−φ) = Δlₙ/u

mit n = 1,2,3

Question 11

(Herleitung Kompatibilitätsgleichungen):

Additionstheoreme angewendet auf die geometrischen Gleichungen

Answer 11

aus Additionstheoremen:
sin(x±y) = sin(x)cos(y) ∓ sin(y)cos(x)
cos(x±y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(y)sin(x)
und geometrischen Gleichungen:
cos(αₙ−φ) = Δlₙ/u

⟹
Δlₙ/u = cos(αₙ)cos(φ) ∓ sin(αₙ)sin(φ)

mit cos(αₙ−φ) = Δlₙ/u
⟹ Kompatibilitätsgl. der Ebene
Δlₙ = uₓ cos(αₙ) + u.y sin(αₙ)