01b Festigkeitslehre: Dehnung und Gleitung

Question 1

Nenne und beschreibe die zwei Komponenten eines Deformationszustandes

Answer 1

Starrkörper-Verschiebung:

• Verschiebungen aller Punkte gleich groß,
• keine Änderung von Größe und Gestalt

Deformation:

• Verschiebung der Punkte verschieden groß,
• Änderung von Größe und Gestalt,
• Örtliche Verzerrungen

Question 2

Definiere:
Dehnung ε
Gleitung γ
Verzerrungs- und Deformationszustand

Answer 2

Dehnung ε:
Verlängerung einer Körperlinie bzgl. der ursprünglichen Länge

Gleitung γ:
Winkelveränderung eines ursprünglich rechten Winkels

Verzerrungs- und Deformationszustand:
Gestamtheit der drei Dehnungen und der drei Gleitungen in Punkt P einer Körpers

Question 3

Zugversuch (⟹ vgl. σ-ε-Diagramm)

Answer 3

grdl. Materialkennwerte werden am genormten Zugstab ermittelt:
Zugstab A₀, d₀, L₀ (festgelegte Messlänge)
wird eingesetzt in beweglichen Spannkopf
Kurz vor dem Bruch entsteht eine Einschnürung in der Zugprobe

⟹ vgl. σ-ε-Diagramm

Question 4

Spannungs-Dehnungs-Giagramm
σ-ε-Diagramm

Bezeichne:
σ ; ε ; E
F ; A₀
l₀ ; Δl
σₚ ; σₑ
Rₑ ; Rₘ
σ.z ; ε.z

Answer 4

Nennspannung: σ = F/A₀ [N/mm²], [MPa]
Dehnung: ε = Δl/l₀ [μm/m], [-], [%], [%₀]
E = tan(α)

F :    Zugkraft
A₀ :  Ausgangsfläche
l₀ :    Messlänge
Δl :   Verlängerung der Messlänge
σₚ :   Proportionalitätsgrenze
σₑ :   Elastizitätsgrenze
Rₑ :   Streckgrenze       (auch: σₛ oder σ.F)
Rₘ :   Zugfestigkeit       (auch σ.B)
σ.z :  Bruchnennspannung (Nennsp. = auf A₀ bezogen)
ε.z :  Dehnung beim Bruch

Question 5

Nenne die Formel für das Hooke’sche Gesetz

Worauf bezieht es sich?

Answer 5

Hooke: σ = ε * E

Bis zur Proportionalitätsgrenze σₚ ist der Verlauf der σ-ε-Kurve linear.
Das Elastizitätsmodul E (= tan(α)) ist hierbei der Proportionalitätsfaktor.
E*A = Dehnsteifigkeit

Question 6

Querdehnung:

Berechnung
Querkontraktionszahl
Poisson’sche Zahl

Answer 6

Für die Querdehnung ε.q gilt 
...bis zur Proportionalitätsgrenze σₚ: 
| ε.q/ε | = ν = konst.
...und allgemein:
ε.q = d₀-d / d₀ = Δd/d₀

Querkontraktionszahl: ν = konst. (Materialeigenschaft)
Poisson’sche Zahl: m = 1/ν

Question 7

Elastizitätsgesetz für die Gleitung:

Welche Spannung verursacht welche Veränderung?

Zusammenhang zwischen γ und τ (analog zu Hooke)

Gleitmodul G: Formel

Answer 7

Normalspannung σ ⟹Dehnung ε
Schubspannung τ ⟹ Gleitung γ (= Schubverzerrung)

Analogie zu Hooke: Linearer Zusammenhang zw. Gleitung und Schubspannung:
τ = G * γ

Gleitmodul G = E / 2(1+ν)
(Querkontraktionszahl ν=konst.)

Question 8

Widerstandsberechnung eines Drahtes:

Formel für Widerstand R

R ist abh. von…

Answer 8

Widerstand R ist abhängig von Länge, Querschnitt, sprezifischem Widerstand:

R = ρL /A = ρL² /V

Question 9

Temperaturdehnung ε

Bezeichne:
Tₐ ; Tₑ ; ΔT
α ; ε

Answer 9

Ausgangs- und End-Temperatur Tₐ und Tₑ [K]
T-Differenz ΔT = Tₐ - Tₑ [K]
Wärmeausdehnungskoeffizient α = konst. [1/K]
Temperaturdehnung ε = α * ΔT [-]

ΔT > 0 für Ausdehnung
ΔT < 0 für Tₑ < Tₐ

Question 10

Temperaturdehnung:

Warmschrumpfen
Kaltdehnen
- Verfahren und Beispiele
- Anwendung zu welchem Zweck?

Answer 10

Warmschrumpfen:
- Aufschrumpfen
von zB Zahnrad auf eine Welle oder Verzahnungsbandage auf einen Radlörper
durch Erwärmen, Fügen und anschließendens Abkühlen.
- Einschrumpfen
zB Wälzlageraußenring in den Boden von Bandtrommel

Kaltdehnen:
- Einschrumpfen
zB einer Rotgussbuchse in einen Fahrwerksträger
oder von Gewindebolzen in Kreuzgelenkköpfe von Lenkspindeln

⇒ Herstelllen kraftschlüssiger Verbindungen

Question 11

Vollständige Formeln für
Spannung
Dehnung
Verschiebung

Answer 11

σₓ(x) = Fₙ(x) / A(x)

εₓ = σₓ(x)/E + αΔT = Fₙ(x) / E*A(x) + αΔT

w(x) = ∫[ Fₙ(x)/E*A(x) + αΔT ] dx + c

Question 12

Was ist die Formänderung/Deformation?

Answer 12

Änderung von Gestalt und Größe eines Körpers infolge einer äußeren Belastung (auch Temperaturänderung).