06 Zusammengesetzte Beanspruchungen

Question 1

Gleichartige und ungleichartige Spannungen:

Umgang mit gleichartigen Spannungen

Welche Grundbeanspruchungen (und zugehörige Spannungen) zählen untereinander als gleichartig?

Answer 1

Gleichartige Spannungen in gleichen Schnittflächen lassen sich in einem Punkt wie Kräfte zu Resultierenden addieren.

Zug/Druck (F.L ; σ.z) 
und Biegung (M.bx, M.by ; σ.z)

Querkraft (F.Qx, F.Qy ; τ.zx, τ.zy) 
und Torsion (Mₜ ; τ⇒ τ.zx, τ.zy) 
und Scherung (F.S ; τ⇒ τ.zx, τ.zy)

Question 2

Was bedeutet “mehrachsiger” Spannungszustand?

Answer 2

mehrachsiger Spannungszustand:

• Normalspannungen in mehreren Richtungen
• gleichzeitige Normal- und Schubspannungen

Question 3

Gleichartige und ungleichartige Spannungen:

Welche Probleme stellen mehrachsige Spannungszustände?

Answer 3

Ergebnis der Spannungsanalyse mit Werkstoffkenngrößen NICHT direkt VERGLEICHBAR

Denn: Materialparameter σ.zul, τ.zul gelten NUR FÜR reinen, einachsigen Zug-/Torsionslastfall (aus Zugversuch, Torsionsversuch)
⇓
Mehrachsige Spannungzustände können Versagen bewirken,
auch wenn vorhandene kleiner als zulässige Einzelspannungen sind.

Question 4

Gleichartige und ungleichartige Spannungen:

⇒ Umgang mit mehrachsigen Spannungszustände

Answer 4

Vergleichsspannung σ.v berechnen
(aus mehrachs. Sp.Zust. und Spannungshypothesen)

diese mit der im Versuch ermittelten zulässigen Spannung vergleichen:
σ.v ≤ σ.zul

Question 5

Vergleichsspannung

Answer 5

Die Vergleichsspannung σ.v dient
zum Vergleich mit der im Zugversuch ermittelten zulässigen Spannung

Die Vergleichsspannung σ.v erzeugt
als einachsige Spannung dieselbe Wirkung, wie sie bei einem mehrachsigen Spannungszustand auftritt

Vergleichsspannungen σ.v werden ermittelt
durch “Spannungs-“ bzw. “Festigkeitshypothesen”

τ ≠ 0: σ.v(Hauptn.) ≤ σ.v(Gestaltänd.) ≤ σ.v(Schub.)
τ = 0: σ.v(Hauptn.) = σ.v(Gestaltänd.) = σ.v(Schub.)

Question 6

Definition Vergleichsspannung

Answer 6

Die Vergleichsspannung σ.v:

• ist eine fiktive, einachsige Spannung
• stellt die dieselbe Materialbeanspruchung dar wie ein realer, mehrachsiger Spannungszustand

Question 7

Bezeichne und formuliere die drei Vergleichsspannungshypothesen

Answer 7

Hauptspannungshypothese:
σ.v = | (σ.x+σ.y)/2 ± √[ ((σ.x+σ.y)/2)² +τ.xy² ] | ≤ σ.zul

Schubspannungshypothese:
σ.v = √[ (σ.x−σ.y)² +4τ.xy² ] ≤ σ.zul

Gestaltänderungshypothese:
σ.v = √[ σ.x² + σ.y² − σ.x*σ.y +3τ.xy² ] ≤ σ.zul
(bei Balken & Trägern oft reduziert: σ.v = √[ σ² +3τ.xy² ] ≤ σ.zul)

Question 8

Wann wird welche Vergleichsspannungshypothese verwendet?

Wieso nicht für andere Situationen?

Answer 8

Hauptspannungshypothese:
für spröde Werkstoffe (Trennbruch)
[für zähe Werkstoffe oft zu kleine Werte]

Schubspannungshypothese:
für spröde Werkstoffe unter Druck; für sehr zähe metallische Werkstoffe (Gleitbruch)
[in anderen Fällen unwirtschaftlich]

Gestaltänderungshypothese:
für zähe Werkstoffe, Nichteisenmetalle
und bei dynamischer bzw. wechselnder Beanspruchung

τ ≠ 0: σ.v(Hauptn.) ≤ σ.v(Gestaltänd.) ≤ σ.v(Schub.)
τ = 0: σ.v(Hauptn.) = σ.v(Gestaltänd.) = σ.v(Schub.)

Question 9

Wonach werden duktile / hochfeste / spröde Werkstoffe voneinander unterschieden?

Answer 9

duktil:
unstetiger Übergang elastischer⇒plastischer Bereich
ausgeprägte Streckgrenze Rₑ

hochfest:
stetiger Übergang elastischer⇒plastischer Bereich
Ersatzstreckgrenze Rₚ₀,₂

spröde:
kaum/keine plastische Verformung
kaum Dehnung zwischen Rₑ und Rₘ

Question 10

Gestaltänderungs(energie)hypothese nach MISES:

Annahme
Anwendungsbereich
Feststellung

Answer 10

Annahme: Der Bruch ist abh. von
der Größe der Gestaltänderungsenergie

Anwendungsbereich:

• zähe Werkstoffe
• Nichteisenmetalle
• bei dynamischer bzw. wechselnder Beanspruchung
• (in der Plastizitätslehre)

Feststellung:
liefert für die im Maschinenbau gebräuchlichsten Materialien i.d.R. die besten Ergebnisse.
(oft zwischen Ergebnissen der Haupt- und Schubspannungshypothese)

Question 11

Gestaltänderungs(energie)hypothese nach MISES:

Formeln

Answer 11

σ.v = √[ σ.x² + σ.y² − σ.x*σ.y + 3τ.xy² ] ≤ σ.zul

für Hauptspannungen:
σ.v = √[ σ.x² + σ.y² − σ.x*σ.y +0] ≤ σ.zul

Spezialfall: nur eine Normalspannung
(zB σ.x=σ, σ.y=0, τ.xy=τ ; i.d.R. für Träger und Balken)
(zB falls “Querkraftschubspannungen zu vernachlässigen”)
σ.v = √[ σ² + 3τ² ] ≤ σ.zul

Question 12

Haupt-/Normalspannungshypothese nach Rankine

Annahme
Anwendungsbereich
Nachteil

Answer 12

Annahme: Materialbruch, wenn
max(|σ₁|, |σ₂|) > σ.zul

Anwendungsbereich:

• spröde Werkstoffe
• (Trennbruch senkrecht zur Hauptzugspannung)

Nachteil:
für zähe Werkstoffe zu kleine Werte (nicht sicher)

Question 13

Haupt-/Normalspannungshypothese nach Rankine:

Formeln

Answer 13

σ.v = | (σ.x+σ.y)/2 ± √[ ((σ.x+σ.y)/2)² +τ.xy² ] | ≤ σ.zul

Question 14

Schubspannungshypothese nach Tresca:

Annahme
Anwendungsbereich
Nachteil

Answer 14

Annahme:
für den Bruch verantwortlich ist τ.max

Anwendungsbereich:

• spröde Werkstoffe unter Druck (Bodenmechanik)
• sehr zähe metallische Werkstoffe (Gleitbruch)

Nachteil:
oft zu große Werte (unwirtschaftlich)

Question 15

Schubspannungshypothese nach Tresca:

Formeln

Answer 15

(τₘₐₓ = √[ ((σ.x−σ.y) /2)² +τ.xy² ] = (σ₁−σ₂) /2)
⇓
σ.v = √[ (σ.x−σ.y)² +4τ.xy² ] = σ₁ − σ₂ ≤ σ.zul