03 Biegung Flashcards
Flächenmomente 2.Grd. ; Gerade Biegung (Bernoulli, Widerstandsmomente) ; Schiefe Biegung
Flächenträgheitsmomente 2. Grades (FTM2)
- allgemein: was/wozu/wovon abh. ?
- Einheit
FTM2
- sind Integrale über Querschnittsflächen ∫A
- benötigt zur Berechnung von Spannungen und Verformungen
- abh. von Querschnitts- Form & Größe sowie der Lage des Bezugs-KOS
- [mm⁴]
Flächenträgheitsmomente 2. Grades (FTM2)
Nenne & beschreibe die drei Typen
Axiale bzw. Äquatoriale FTM : Iₓₓ und I.yy
- Maß für Widerstand eines ebenen Querschnitts gegen Biegung
- immer >0 (Richtungssinn der KOS hat KEINEN Einfluss auf VZ)
Polares FTM: Iₚ
- Maß für Widerstand eines ebenen Querschnitts gegen Torsion
- immer >0
Zentrifugal- oder Deviationsmoment: I.xy
- Maß für Bestreben eines rotierenden Körpers,
seine Rotationsachse zu verändern
- für Symmetrieachsen = 0
- Richtungssinn der KOS-Achsen hat Einfluss auf VZ des I.xy
Formeln für FTM2:
Iₓₓ und I.yy
Iₚ
Zentrifugal- oder Deviationsmoment: I.xy
Iₓₓ = ∫ y² dA
I.yy = ∫ x² dA
Iₚ = ∫ r² dA = I.yy + I.xx
(r² = x²+y² für Ausdruck durch axiale FTM2)
I.xy = − ∫ x*y dA
Satz von Steiner:
Transformationsgleichungen für FTM2
I.x̄x̄ = Iₓₓ + ȳₛ² *A
I.ȳȳ = I.yy + x̄ ₛ² *A
I.x̄ȳ = I.xy − x̄ ₛȳₛA
zugehörige FTM2 für:
Kreis
Kreisring
Rechteck
Dreieck
Kreis: (KOS mittig)
Iₓₓ = I.yy = πd⁴ /64
I.xy = 0
Kreisring: (KOS mittig)
Iₓₓ = I.yy = π(D⁴-d⁴) /64
I.xy = 0
Rechteck: (KOS mittig)
Iₓₓ = bh³ /12
I.yy = b³h /12
I.xy = 0
Dreieck: (KOS liegt von 90°-Winkel aus bei a/3, b/3)
Iₓₓ = ba³ /36
I.yy = b³a /36
I.xy = a²*b² /72
(Gerade Biegung)
- Definition Gerader Biegung
- was bewirken M.bx?
- was gilt für die Neutrale Faser?
GERADE BIEGUNG reine Biegung um x-Achse M.bx = konst. Biegeverformung in (y,z)-Ebene (M.by = 0 ; Querkraftbiegung F.Qy = 0 ; F.N = 0)
M.bx ⟹ σₓ
- positive Zugspannungen in einem Teil des Querschnitts
negative Druckspannungen im anderen
- keine resultierenden F.z
σₓ ⟹ Dehnungen εₓ und Krümmungen (Biegeverformung) der Balkenachse
(auch die verformte) Balkenachse ≡ neutrale Faser bzw. Schicht
σₓ = εₓ = 0
(Spannungen bei Gerader Biegung)
BERNOULLI-Hypothese für reine Biegeverformung
(Voraussetzung: Schlankheit eines Balkens)
- Bernoulli’sche Hypothese: Senkrechtbleiben der Querschnitte = Winkelerhalt
vor Verbiegung ⊥ Balkenachse ⟹ auch ⊥ deformierter Balkenachse - Bernoulli’sche Hypothese: Ebenbleiben der Querschnitte
(Schubstarrheit, keine Verwölbung)
(auch die verformte) Balkenachse ≡ neutrale Faser bzw. Schicht
σₓ = εₓ = 0
σₓ < 0 ; εₓ < 0 ≙ negative Druckspannungen
σₓ > 0 ; εₓ > 0 ≙ positive Zugspannungen
(Spannungen bei Gerader Biegung)
HOOKE für einachsigen Spannungszustand
- Voraussetzungen
- Formel (inf. M.bx)
Voraussetzungen:
- nur M.bx -Einwirkung ( M.by(z) = F.N(z) = 0 )
- Spannungen σ und Dehnungen ε unabh. von x
- z-Achse in neutraler Faser
- Querdehnungen sind unbehindert (σₓ = σ.y = 0)
- keine Temperaturdehnungen ΔT = 0
(- Hauptachsen des Querschnitts (x,y) & neutrale Faser liegen im Flächenschwerpunkt S)
σ.z(y,z) = ε.z(y,z) * E = Ey /ρ(z) = M.bx(z)y /Iₓₓ
(mit ρ(z) = Krümmungsradius)
(Spannungen bei Gerader Biegung)
- Formel (inf. M.bx)
- (Biege-)Widerstandsmomente
σ.z(y,z) = ε.z(y,z) * E = Ey /ρ(z) = M.bx(z)y /Iₓₓ
(mit ρ(z) = Krümmungsradius)
(für Neutrale Faser (y=0) gilt: σ.z(y,z) = 0 )
Für Randspannungen gilt: y.i,max ⇒ σ.z(y,z).i,max
- kleinste W.bx,i
- größte M.bx(z)
⟹ (Biege-)Widerstandsmomente: W.bx,i, = Iₓₓ/y.i
σ.zi (z) = M.bx(z) /W.bx,i
mit W.bx,i,min = Iₓₓ/y.i,max
(Verformungen bei Gerader Biegung)
Annahmen/Voraussetzungen
Was bezeichnen
- v(z)
- v’(z)
- κ
- EIₓₓ
Annahmen/Voraussetzungen:
- Hooke’sches Gesetz
- Bernoulli-Hypothese
- reine Biegung um Hauptzentralachse des Querschnitts
Biegeverformung/Biegelinie: v(z)
= Verformung der Neutralen Faser in y-Richtung inf. des
Biegemomentes M.bx(z)
≙ Verformung eines diff. Elements dz der Neutralen Faser inf.
Biegebelastung
v’(z) = tan(φ)(z)
- Neigung/Biegewinkel φ(z) = ∢ von z-Achse zur Tangente an v(z)
- kleine Verformungen ⟹ kleine φ ⟹ tan(φ) ≈ φ
Krümmung: κ = 1/ρ(z)
- Kehrwert des Krümmungsradius
- mathem. positiv: κ ≅ − M.bx(z) /EIₓₓ(z) = v’‘(z)
Biegesteifigkeit E*Iₓₓ(z)
(Verformungen bei Gerader Biegung)
DGL der Biegelinie 2. Ordnung (DGL der BgL2)
DGL der Biegelinie 4. Ordnung (DGL der BgL4)
- Formeln
- wann welche?
- wieviele Integrationskonstanten?
DGL der BgL2:
- Biegemomentenverlauf bekannt
- n Bereiche ⟹ 2*n Integrationskonstanten
v''(z) = − M.bx(z) /EIₓₓ(z) ⟺ E*Iₓₓ(z) * v''(z) = − M.bx(z)
DGL der BgL4:
- Biegemomentenverlauf schwierig zu berechnen
- n Bereiche ⟹ 4*n Integrationskonstanten
M.bx''(z) = F'.Qy(z) = − q.y(z) ⟹ [E*Iₓₓ(z) * v''(z) ] '' = − M.bx''(z) = q.y(z) - falls EIₓₓ = konst. ⟹ EIₓₓ* v’’’‘(z) = q.y(z)
(Schiefe Biegung)
- Definition Schiefer Biegung
- Formel für: σ.z(x,y,z)
- Benenne: σ.z = 0
SCHIEFE BIEGUNG
resultierender M.b-Vektor fällt nicht mit einer Hauptzentralachse
des Querschnits zusammen
kann als Überlagerung zweier gerader Biegungen
um die Hauptzentralachsen (x, y) behandelt werden
σ.z(x,y,z) = M.bx(z)y/Iₓₓ(z) + M.by(z)x/I.yy(z)
Spannungsnullinie: σ.z = 0
(Schiefe Biegung)
Welche Verformung bildet eine
- Biegung um die x-Achse
- Biegung um die y-Achse
(Formeln DGL2 und DGL4)
Verschiebefunktion f(z)
Biegung um die x-Achse ⟹ Verformung v(z) in der yz-Ebene:
DGL2: E*Iₓₓ(z)*v''(z) = − M.bx(z) DGL4: [E*Iₓₓ(z) * v''(z) ] '' = q.y(z)
Biegung um die y-Achse ⟹ Verformung u(z) in der xz-Ebene:
DGL2: E* I.yy(z) * u''(z) = − M.by(z) DGL4: [E * Iyy(z) * u''(z) ] '' = qₓ(z)
Verschiebungen
f(z) = √[ u²(z) + v²(z) ]
(Schiefe Biegung) Kreis- und Kreisringquerschnitt: Besonderheiten Formeln - M.b,res - σ.z(y,z) - Iₓₓ und I.x̄ x̄ - |σ.z,max| - W.bx und W.bx̄ - v(quer) ''(z)
Besonderheiten:
- Jede Achse duch Flächenschwerpunkt S ≙ Hauptzentralachse
- Widerstandsmomente W.b,i sind gleich groß
M.b,res = √[ M.bx² + M.by² ]
σ.z(y,z) = M.b,res /I.x̄ x̄ *ȳ
I.x̄ x̄ = Iₓₓ = πd⁴ /64
|σ.z,max| = σ.z( ȳ=(d/2), z ) = M.b,res /W.bx̄
W.bx̄ = W.bx = πd³ /32
v(quer)’‘(z) = − M.b,res(z)
DGL der Biegelinie:
v'''' (z) v''' (z) v'' (z) v' (z) v (z)
DGL der Biegelinie:
E*Iₓₓ(z) * v’’’‘(z) = q₀(z) =
E*Iₓₓ(z) * v’’’ (z) = − F.Q(z) = Querkraftverlauf
E*Iₓₓ(z) * v’’ (z) = − M.bₓ(z) = Momentenverlauf
E*Iₓₓ(z) * v’ (z) = φ(z) = Biegewinkel
E*Iₓₓ(z) * v (z) = Durchbiegung bzw. Verschiebung
