07 Stabilität

Question 1

Können Stäbe knicken, obwohl σ < σ.zul?

Wovon ist die Knickanfälligleit abhängig?

Answer 1

Ja, bei hoher Schlankheit eines Bauteils.

Die Knickanfälligleit ist abhängig von:

• Schlankheit λ (bzw Bauteil-Geometrie)
• Grenzschlankheit λₚ (Materialparameter)
• Einspannungskriterien nach Euler (sofern elastische Knickung)

Question 2

Was ist der Grenzschlankheitsgrad?

zugehörige Formel

Answer 2

Der Grenzschlankheitsgrad λₚ ist ein Materialparameter und ist häufig in Werkstofftabellen verfügbar.

λₚ = π*√[ E / |σₚ| ]

mit σₚ = Bruchspannung
(gegeben in Formelsammlung:
Formel für geometrischen Schlankheitsgrad 
λ = Lₖ/i = Lₖ* √[A/Iₘₙ] 
mit Trägheitsradius i = √[A/Iₘₙ] )

Question 3

Eulerfälle:

Welche Bedingung muss vorliegen?

Beschreibe die vier Eulerfälle und gib zugehörige Knicklängen an.

Answer 3

Es muss elastische Knickung vorliegen.

1) Feste Einspannung + loses/freies Ende
⟹ Lₖ = 2*L

2) Festlager + Loslager
(an beiden ist Auslenkung möglich)
⟹ Lₖ = L

3) Feste Einspannung + Loslager
(Auslenkung am Loslager möglich)
⟹ Lₖ ≅ 0,6992*L

4) beidseitig Feste Einspannung
(an einem Ende darf Verschiebung entlang der Stabachse auftreten)
⟹ Lₖ = 1/2 *L

Question 4

Wann liegt elastisches Knicken vor?

Was passiert andernfalls?

Answer 4

Prüfung auf elastisches Knicken:

λ ≥ λₚ
(geometrische Schlankheit größer als Grenzschlankheitsgrad)

(Falls λ < λₚ liegt plastisches Knicken vor; dann Tetmajer-Gerade)

Question 5

Was ist die kritische Kraft?

Formel

Answer 5

Fₖ ist diejenige Kraft, bei der die GGW-Lage mit vertikaler Stabachse in eine um φ ausgelenkte Stabachse übergeht.

Fₖ = π²EI /L²
(in Formelsammlung gegeben)

Question 6

Was passiert bei F = Fₖ an einem Festlager (gelenkartig)?

Answer 6

Kritische Kraft Fₖ ⟹ Auslenkung der Stabachse um den Winkel φ

Question 7

Um welche Achse knicken Stäbe (mit nicht-kreisförmiger Querschnittsfläche)?

Answer 7

immer um diejenige Achse der größten gemoetrischen Schlankheit λ

⟹ um diejenige mit dem kleinsten FTM Iₘₙ, da:
λ = Lₖ* √[A/Iₘₙ]

Question 8

Was beschreibt der Sicherheitsfaktor?

Wie setzt er sich zusammen?

Answer 8

Toleranz oberhalb der zulässigen Druckkraft Fₘₐₓ:

S = Fₖ / F.zul

Question 9

Beispiel:

• Eulerfall 1)
• starrer Stab vertikal, c gegeben
• F greift in Richtung der Stabachse an
• gesucht Fₖ

Answer 9

GGW-Lage bei ausgelenkter Stabachse!
GGW der Momente in der Einspannung: 
M.imLager = c*φ
- mit c = Federkonstante
M.umdasLager = F*v
- mit v = L*sin(φ) = Verschiebung (bzw Durchbiegung)
- mit sin(φ)≅ φ

⟹ ΣM = 0 = Fv − cφ = FLφ − cφ
(⟹ φ = 0 —-oder—- FL − c = 0 )

⟹ Fₖ = c/L

(⟹ GGW für: y(φ) = FL/c = φ/sin(φ) )
vom Verzweigungspunkt FL/c = 1 bzw F = Fₖ an
- labil, wenn φ = 0
- stabil, kleine Auslenkung für φ ≠ 0

⟹ immer STABILES GGW für:
F*L/c < 1 —bzw— F < Fₖ

Question 10

Beispiel:

• Eulerfall 2)
• starrer Stab horizontal
• F greift am verschieblichen Lager in Richtung der Stabachse an
• gesucht Fₖ

Answer 10

Schnitt durch Stab
M.b = Fv(z)
- mit v = Lsin(φ) = Verschiebung (bzw Durchbiegung)
- mit sin(φ)≅ φ

Momentenverlauf EIₓₓ(z) v’‘(z) = − M.bₓ(z) = 0
⟹ v’‘(z) = + (F/EI)²v(z) = 0

⟹ Verschiebung bzw Durchbiegung
v(z) = c₁*cos(√[F/EI] z) + c₂sin(√[F/EI] *z)

mit c₁=0 (z=0) ⟹ gerade Stabachse
mit c₂≠0 und sin(√[F/EI] L) = 0 (z=L) ⟹ gekrümmte Stabachse
sin(√[F/EI] L) = 0 ist erfüllt für die Eigenwerte
√[F/EI] *L = 0, π, 2π, 3π,…
⇓
Der kleinste von Null verschiedene Eigenwert (√[F/EI] *L = π) liefert die kleinste kritische Kraft Fₖ = π²EI /L²

⟹ Biegelinine des ausgeknickten Stabes:
v(z) = c₂*sin(π/L *z)