04 Querkraftschub (Scherbeanspruchung)

Question 1

Welche Annahmen werden für den Querkraftschub getroffen?

Answer 1

• Querkraftschub F in Richtung einer Hauptzentralachse
• Querschnittsfläche konstant
• Schubspannungen τ parallel zu F
• Über die Breite des Querschnitts sind die Schubspannungen konstant

Question 2

Gesetz der zugeordneten Schubspannungen

Answer 2

τ.xy (x,y) = τ.yx (x,y)

τ.zy (y,z) = τ.yz (y,z)

Question 3

Wie werden Schubverformungen bei langen Trägern gegenüber den Biegeverformungen behandelt?

Bsp. Kragträger mit fester Einspannung:

Fall 1: Belastung F greift an bei Δz = L (oder auch zB F = L/2)
Fall 2: Belastung F greift an bei Δz ⟶ 0

Answer 3

Fall 1: Belastung F greift an bei Δz = L (oder auch zB F = L/2)
System mit vorrangiger Biege- und Querkraftschubbeanspruchung
Biegeeinfluss&raquo_space; Querkrafteinfluss
Querkrafteinfluss meist vernachlässigbar
(M.A = F*L)

Fall 2: Belastung F greift an bei Δz ⟶ 0
System mit vorrangiger Scherbeanspruchung
Schereinfluss >> Biegeeinfluss 
Biegeeinfluss meist vernachlässigbar
(M.A = F*Δz ⟹ M.A⟶ 0)

Question 4

näherungsweise Berechnung der Scherschub- bzw. Abscherspannungen τₐ)

Annahmen

Formel

Answer 4

• i.d.R. keine Verformungsberechnungen
• reine Scherbeanspruchung: Abstand der Scherkräfte Δz = 0
• falls Δz ≠ 0, aber ⟶ 0, wird Biegeeinfluss vernachlässigt
• die über eine Scherfläche Aₛ übertragene Scherkraft Fₛ verursacht konstante Scherspannungen τₐ:

τₐ = Fₛ/Aₛ ≤ τₐ.zul

Question 5

Berechnung der Schubspannungen:

Formel τ.zy(y,z)

Answer 5

τ.zy(y,z) = F.Qy(z) * Sₓ(y) / Iₓₓ*b(y)

Question 6

Berechnung der Schubspannungen:

Formel Statisches Moment Sₓ(y)

Answer 6

Statisches Moment:

Sₓ(y) = yₛ.Ay(y) * A.y

mit “yₛ.Ay(y)” = y-Koordinate vom Schwerpunkt von A bis zum Schwerpunkt der Fläche A.y, die an der Koordinate “y” abgeschnintten wurde

Question 7

Abschätzung der Verformung infolge von Querkraftschub:

Gleitung γ.zy (Winkeländerung) für einen auf Querkraftschub (Schubspannung τ.zy) beanspruchten Balken

Formel

Answer 7

γ = τ/G

τ = Gγ ⟹ γ(z,y) = τ.zy(y,z) /G = F.Qy(z)Sₓ(y) / GIₓₓb(y)

Annahme: mittlere γ,τ für jeden Querschnitt z:
v’(z) = γₘ(z) = τₘ(z) /G

Question 8

Abschätzung der Verformung infolge von Querkraftschub:

Näherungslösung für die Verschiebung v(z) infolge der Querkraftschubbelastung

Answer 8

aus v’(z) = κ *F.Qy(z) /GA
mit
Schubverteilungszahl κ = A/Iₓₓ² * ∫ [Sₓ(y) /b(y)]² dA

⟹ v(z) = ∫ [ κ*F.Qy(z) /GA ] dz + c

Question 9

Wo treten die maximalen und minimalen Schubspannungen auf?

Answer 9

τₘₐₓ in der Mitte des Querschnitts (bei Rechtecken, Ellipsen)
(für Rechtecke gilt: τₘₐₓ = 3F.Q /2bh = 3F.Q/2A = 3/2 F.Q/A)

τ = 0 an den Bauteilrändern (bei y=h/2)

Question 10

FTM:

• allgemein
• 0. Grades
• 1. Grades
• 2. Grades

Answer 10

FTM allgemein: ∫ yⁿzⁿ dA

FTM 0. Grades beschreiben eine Fläche A[mm²]: ∫ … dA

FTM 1. Grades 
- beschreiben das Kippverhalten einer Fläche um eine Achse
- dienen zur Schwerpunktberechnung
⟹ Statistisches Moment S[mm³]
S.y = ∫ z dA 
S.z = ∫ y dA

FTM 2. Grades sind Maß für Biegesteifigkeit: Iₓₓ, I.yy, I.zz, I.xy, Iₚ [mm⁴]
I.zz = ∫ y² dA
I.yy = ∫ z² dA

Answer 11

Sₓ(y) = yₛ.Ay(y) * A.y

⟹ Statistisches Moment S[mm³]
S.y = ∫ z dA
S.z = ∫ y dA

τ.zy(y,z) = F.Qy(z) * Sₓ(y) / Iₓₓ*b(y)