vzorčne porazdelitve Flashcards
kaj je vzorčna statistika
Vzročna statistika u je poljubna funkcija vzorčnih vrednosti:
u = f (x1, x2, …, xn)
vzorčne statistike za številske spremenljivke
vzorčna aritmetična sredina
vzorčna varianca
z-statistika
t-statistika
kako dobimo porazdelitev vzorčne statistike
Porazdelitev vzorčne statistike u = f (x1, x2, …, xn) dobimo takole:
1. zamislimo si populacijo vseh vzorcev določene velikosti n
2. na vsakem od teh vzorcev ima vzorčna statistika
u = f (x1, x2, …, xn) svojo vrednost
3. vzorčni statistiki u priredimo slučajno spremenljivko U
4. iščemo verjetnostno porazdelitev slučajne spremenljivke U
izrek1; kaj velja za vzorčno aritmetično sredino
Izrek 1: za vzorčno aritmetično sredino X velja E(X) = µ
Vzorčna aritmetična sredina je nepristranska ocena
populacijskega povprečja.
izrek2
Izrek 2: če je slučajna spremenljivka X na osnovni populaciji
porazdeljena N(µ, σ), potem je slučajna spremenljivka X na
populaciji vseh vzorcev velikosti n porazdeljena N(µ, √σ/n).
Izrek 3: Centralni limitni izrek (CLI)
X se pri velikih vzorcih porazdeljuje pribliˇzno normalno tudi tedaj,
ko verjetnostna porazdelitev slučajne spremenljivke X na osnovni
populaciji ni normalna. Velja:
…
CLI je izjemno pomemben izrek za statistiko. zakaj?
- CLI pravi, da je vsota neodvisnih vrednosti poljubno
porazdeljene slučajne spremenljivke približno normalno
porazdeljena: čim več vrednosti seštejemo, tem bolj se
porazdelitev vsote približuje normalni. - Posledica: to velja tudi za povprečje.
- Ta izrek pojasnjuje, zakaj v praksi tako pogosto srečamo
(skoraj) normalno porazdeljene slučajne spremenljivke -
spremenljivka, na katero vpliva večje število neodvisnih
slučajnih dejavnikov, bo skoraj normalno porazdeljena.
izrek 4
Izrek 4: na populaciji vzorcev velikosti n je slučajna spremenljivka
T: T = (X − µ)/(S/√n)
porazdeljena po Studentovi porazdelitvi z n − 1 stopinjami
prostosti, SP:
T ∼ t(SP = n − 1)
Lastnosti Studentove porazdelitve
- gostota verjetnosti za t-porazdelitev je podobna kot pri
N(0, 1) - ko se SP poveˇcujejo, postaja t-porazdelitev ˇcedalje bolj
podobna N(0, 1) - v limiti je Studentova porazdelitev enaka standardizirani
normalni porazdelitvi: t(SP = ∞) = N(0, 1)
izrek 6
Izrek 6: če je slučajna spremenljivka X ∼ N(µ, σ), je na populaciji
vzorcev velikosti n verjetnostna porazdelitev za S2 podana s χ2
-porazdelitvijo z n − 1 stopinjami prostosti, SP = n − 1
Lastnosti χ2 -porazdelitve:
- je zvezna porazdelitev, definirana na pozitivnem delu realne osi
- parameter χ2-porazdelitve imenujemo stopinje prostosti, SP = 1, 2, …, ∞
- SP doloˇcajo obliko porazdelitve
- E(X) = SP, Var(X) = 2 · SP
- ko je SP majhno število, je porazdelitev asimetrična v desno;
ko se število SP povečuje, se asimetrija zmanjšuje - s povečevanjem SP → ∞, postaja χ2-porazdelitev čedalje bolj
podobna normalni porazdelitvi N(SP,√2SP)
izrek 7
če lahko X ∼ b(n, p) aproksimiramo z normalno porazdelitvijo N(np,√npq), je porazdelitev slučajne spremenljivke X/n približno normalna:
X/n ≈ N (p,koren pq/n)