Vektori Flashcards
Vektorski prostori (definicija)
Vektorski prostor (takođe nazivan i linearni prostor) je matematička struktura koja se sastoji od skupa elemenata, nazvanih vektorima, zajedno sa određenim operacijama koje omogućavaju kombinovanje vektora i množenje vektora skalarnim brojevima. Ovaj skup elemenata (vektora) mora zadovoljavati sledeće četiri osnovne aksiome ili postulate vektorskog prostora:
- Zatvorenost u sabiranju: Za svaka dva vektora u vektorskom prostoru, rezultat njihovog sabiranja takođe je vektor u istom prostoru.
- Zatvorenost u množenju skalarnim brojem: Svaki vektor pomnožen skalarnim brojem takođe je vektor u istom prostoru.
- Postojanje nul-vektora: Vektorski prostor mora sadržavati poseban vektor, nazvan nul-vektor (označen obično sa 0 ili O), koji je rezultat sabiranja bilo kog vektora sa samim sobom i ne menja vektor kada se množi skalarnim brojem.
- Postojanje suprotnog elementa: Za svaki vektor u vektorskom prostoru, postoji suprotan vektor takav da je njihova suma nul-vektor.
Pored ovih osnovnih aksioma, vektorski prostor može imati i dodatne svojstva, kao što su asocijativnost i komutativnost sabiranja, distributivnost množenja skalarnim brojem u odnosu na sabiranje vektora itd. Ovi dodatni uslovi čine vektorski prostor konkretnijim i omogućavaju razmatranje specifičnih svojstava u okviru tog prostora.
Linearna zavisnost i nezavisnost vektora. Baza i dimenzija vektorskog prostora.
Skup vektora je skup međusobno linearno zavisnih vektora ako i samo ako je u njemu neki od vektora linearna kombinacija preostalih, u suprotnom oni su linearno nezavisni.
Maksimalni broj vektora koji čine skup međusobno linearno nezavisnih
vektora u nekom vektorskom prostoru naziva se dimenzija prostora.
Skup ovih vektora čini njegovu bazu.
Linearni operator (definicija, transformacija vektorskih prostora, matrica linearnog operatora).
Linearni operator predstavlja preslikavanje jednog vektorskog prostora u drugi koji poseduje osobine aditivnosti i homogenosti.
Primenom vektorskog operatora može se m dimenzionalni vektorski
prostor preslikati u n dimenzionalni vektorski prostor, pri čemu se baza prvog prostora preslikava u bazu drugog.
Transformacije jednog vektorskog prostora u drugi se izvršava
primenom matrice linearnog operatora. Zapravo, ova matrica
predstavlja taj linearni operator.
Unitarni vektorski prostor. Normiran vektorski prostor. Metrika.
Vektorski prostor u kojem je definisan skalarni proizvod naziva se
unitarni vektorski prostor.
Norma vektora predstavlja kvadratni koren iz skalarnog proizvoda
vektora sa samim sobom.
Metrika je indukovana normom, odnosno skalarnim proizvodom.
Vektorski prostor u kome je moguće indukovati metriku naziva se
metrički prostor.
Vektorski prostor ℝ^3. Skalarni proizvod, norma i metrika u ℝ3. Operacije i relacije s vektorima u ℝ^3.
Vektori u prostoru (R3 , +, ⋅) su uređene trojke nad kojima se izvršavaju operacije njihovog sabiranja i množenja skalarom. Tri vektora neke baze u prostoru R3 određuju koordinatni sistem. Ako
su ti vektori jedinični i uzajamno ortogonalni onda oni čine Dekartov
pravougli koordinatni sistem u R3.
Prostor R3 zajedno sa uvedenim operacijama sabiranja vektora i
množenja vektora skalarom jeste vektorski prostor.
Prostor R3 u koji je uveden skalarni proizvod e naziva Euklidski
trodimenzionalni vektorski prostor i označava sa E3. Skalarni proizvod je komutativna operacija i važi osobina distributni
zakon nje prema sabiranju vektora.
Skalarni proizvod je komutativna operacija i važi osobina distributni
zakon nje prema sabiranju vektora.
Vektorski proizvod dva vektora u R3 - definicija, osobine, primene.
Vektorski proizvod dva vektora je vektor.
On se definise tako sto u neku matricu ubacimo koordinate dva vektora i iznad njih u red dodamo koeficijente i, j i k. Ti koeficijenti su vektori.
Osobina vektorskog proizvoda dva vektora koja se često primenjuje
jeste da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma konstruisanog nad njima.
Mešoviti proizvod vektora u ℝ3– definicija, osobine, primene.
Mešoviti proizvod tri vektora je skalar. Njegovom primenom se proverava komplanarnost vektora.
Ako su tri vektora zadata koordinatama onda racunamo matricu sa tim koordinatama.
