Sistemi jednačina

Question 1

Gausov metod eliminacije

Answer 1

Gausov metod eliminacije se sastoji iz toga da se iz polaznog sistema, na tacno odredjeni nacin vrsi eliminacija promenljivih. Eliminacija se izvrsava u konacnom broju koraka i njihov broj je uslovljen brojem promenljivih u sistemu.

Question 2

Gaus-Zordanova shema za resavanje sistema linearnih jednacina

Answer 2

Gaus-Zordanova shema za resavanje sistema linearnih jednacina se vrsi tako sto jednu od jednacina u sistemu pomnozimo nekim brojem i potom tu istu jednacinu dodamo nekoj drugoj jednacini da bismo eliminisali neki od elemenata iz nje. Ova shema se koristi i kada pri resavanju sistema Kramerovim stavom, Kramer ne daje resenje.

Question 3

Kroneker-Kapelijev stav i njegova primena na resavanje sistema linearnih jednacina

Answer 3

Kroneker-Kapelijev stav se primenjuje kod resavanja sistema jednacina matricom. Baziran je na poredjenju rangova matrice sistema i prosirene matrice sistema. Jednakost ovih rangova je ekvivalentna cinjenici da sistem ima resenja.

Question 4

Matricni metod za resavanje sistema linearnih jednacina

Answer 4

Matrični metod rešavanja sistema linearnih jednačina je matematička tehnika koja se koristi za rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću matrica i algebre matrica. Ovaj metod je posebno efikasan za sisteme sa mnogo promenljivih.

Sistem linearnih jednačina obično se zapisuje u obliku:

Ax = b

Gde je:

• A kvadratna matrica koja sadrži koeficijente promenljivih u sistemima linearnih jednačina.
• x je vektor nepoznatih promenljivih koje treba pronaći.
  -b je vektor poznatih konstanti s desne strane jednačina.

Matrični metod rešavanja sistema linearnih jednačina obuhvata sledeće korake:

• Izračunavanje inverzne matrice (A^(-1)) matrice A, pod uslovom da je A regularna (determinanta A nije nula).
• Množenje obe strane sistema Ax = b sa inverznom matricom A^(-1) sa leve strane. Ovo rezultira sledećim izrazom:

A^(-1) * Ax = A^(-1) * b

-Pošto A^(-1) * A je identitetna matrica, preostaje:

x = A^(-1) * b

Sada možete izračunati vektor x, koji predstavlja rešenje sistema linearnih jednačina.

Ovaj metod je posebno koristan za sisteme sa mnogo promenljivih jer omogućava brzo i efikasno rešavanje sistema. Međutim, treba napomenuti da računanje inverzne matrice može biti računski zahtevno i nije uvek moguće (npr. ako je matrica A singularna ili blizu singularnosti). U takvim slučajevima, koriste se alternativni metodi, kao što su Gausova eliminacija ili LU dekompozicija.

Question 5

Kramerovo pravilo

Answer 5

Kramerovo pravilo za resavanje sistema linearnih jednacina se radi tako sto prvo odredimo determinantu matrice koja za elemente ima konstante ispred x, y i z (ili bilo koje druge promenljive). Potom odredjujemo Dx, Dy i Dz sto radi tako sto u Dx umesto prve kolone ubacimo resenja koja su sa desne strane jednacine, u Dy to ubacujemo u drugu kolonu a u Dz u trecu. Potom izracunamo te determinante i diskutujemo. U diskusiji diskutujemo dva slucaja, kad je D razlicito od 0 i kad je D jednako nuli. Pritom odredimo nule iz resenja D i koristimo ih pri diskusiji, sto nam je bitnije kod slucaja D=0.