Matrice

Question 1

Osobine determinanti. Minor i algebarski kofaktor. Laplasov stav i njegova posledica.

Answer 1

Minor determinante D, reda n koji odgovara nekom njenom elementu je determinanta n-1 reda. Det. D ima n^2 minora, po jedan za svaki element.

Algebarski kofaktor se odredjuje na osnovu minora gde biramo element a gde i i j predstavljaju njegovu poziciju u matrici: a(ij) = (-1)^i+j * M(ij).

Laplasov stav: Vrednost determinante je jednaka zbiru proizvoda elemenata neke vrste ili kolone i odgovarajucih algebarskih kofaktora.

Question 2

Operacija sa matricama (mnozenje matrice skalarom, sabiranje i oduzimanje, transponovanje matrice, mnozenje matrica)

Answer 2

Kod mnozenja matrice skalarom, svaki element te matrice se mnozi skalarom koji je mnozi i to je slucaj kod bilo koje matrice. Sabiranje i oduzimanje matrica se vrsi tako sto svaki element na odgovarajucoj poziciji jedne matrice saberemo ili oduzmemo sa elementom druge matrice na istoj toj poziciji. Matrice moraju imati isti broj redova i kolona da bi mogle da se sabiraju i oduzimaju. Transponovanje matrice je menjanje mesta njenim redovima i kolonama, redovi postaju kolone a kolone postaju redovi. Mnozenje matrica nije komultativno tako da mora ispuniti odredjene uslove da bi se izvrsilo, red jedne od matrica mora imati isti broj elemenata kao kolona druge. Potom mnozenje vrsimo tako sto mnozimo odgovarajuce elemente iz reda sa elementom iz kolone.

Question 3

Inverzna matrica (adj. matrica, odredjivanje inverzne, jedinstvenost inverzne i njene osobine)

Answer 3

Inverzna matrica se racuna po formuli: A^-1 = 1/detA * adjA.

Ne moze svaka matrica imati inverznu matricu, za to postoje uslovi:

1. Matrica mora biti kvadratna: Inverzna matrica se može odrediti samo za kvadratne matrice, što znači da broj redova mora biti jednak broju kolona.

2. Determinanta matrice mora biti različita od nule: Da biste našli inverznu matricu za kvadratnu matricu A, determinanta matrice A mora biti različita od nule (det(A) ≠ 0). Ako je determinanta nula, matrica se naziva singularnom, i nema inverznu matricu.

3. Matrica mora biti "regularna" ili "nenularna": To znači da svi njeni redovi (ili kolone) ne smeju biti linearno zavisni. U suprotnom, matrica se takođe smatra singularnom i nema inverznu matricu.

Question 4

Rang matrice (definicija, osobine)

Answer 4

Prirodan broj k naziva se rangom matrice ako u njoj postoji bar jedan minor k-tog reda razlicit od nule, dok su svi minori veceg reda od k jednaki nuli.

Osobine:
1. Ako se matrica transponuje, rang se ne menja.
2. Rang se ne menja ako dve vrste ili dve kolone zamene mesta.
3. Rang se ne menja ako se svi elementi vrste ili kolone pomnoze brojem razlicitim od nule.
4. Rang se ne menja ako se jednoj vrsti, odnosno koloni dodaju odgovarajuci elementi neke druge vrste ili kolone pomnozeni jednim brojem.
5. Rang se ne menja ako se iz matrice izostavi red ili kolona ciji su svi elementi nule.
6. Rang se ne menja ako se izostavi vrsta ili kolona koja je linearna kombinacija drugih vrsta, odnosno kolona.

Question 5

Elementarne transformacije

Answer 5

Odredjene operacije nad matricama nazivaju se elementarnim transformacijama. Ekvivalentne matrice su one koje se ovim transformacijama mogu prevesti jedna na drugu i imaju jednake rangove.

Elementarne transformacije su:
1. Zamena mesta dvema proizvoljnim vrstama ili kolonama.
2. Dodavanje elemenata jedne vrste ili kolone drugoj vrsti ili koloni, prethodno pomnozena nekim brojem.
3. Mnozenje elemenata iz jedne vrste ili kolone brojem razlicitim od nule.