Limesi Flashcards
Pojam granične vrednosti funkcije (definicija granične vrednosti i definicija granične vrednosti u beskonačnosti).
Granična vrednost funkcije je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize kojim se ispituje ponašanja funkcije u okolini neke vrednosti nezavisno od promenljive.
Definicija granične vrednosti funkcije u beskonačnosti se uvodi
analogno onoj u konačnoj vrednosti.
Leva i desna granična vrednosti funkcije. Navesti teoremu koja se odnosi na vezu leve i desne granične vrednosti funkcije sa graničnom vrednosti funkcije u tački.
Funkcija ima graničnu vrednost u nekoj tački ako i samo ako postoji
leva i desna granična vrednost funkcije u toj tački i jednake su.
Funkcija f ima graničnu vrednost A u tački x0 ako i samo ako je leva granična vrednost jednaka desnoj graničnoj vrednosti funkcije f u tački x0.
Osobine granične vrednosti funkcije.
Limes zbira, razlika, proizvoda i količnika dve funkcije koje imaju
graničnu vrednost u posmatranoj tački, jednak je zbiru, razlici,
proizvodu i količniku limesa tih funkcija.
Beskonačno male i beskonačno velike veličine.
Funkcija f predstavlja beskonačno malu veličinu u okolini tačke x0 ako važi da je lim (x→x0) f(x) = 0.
Funkcija f predstavlja beskonačno veliku veličinu u okolini tačke x0 ako važi da je lim(x→x0) f(x) = ±∞.
Definicija neprekidnosti funkcije u tački.
Funkcije koje mogu da zamene mesta sa graničnim procesom
pripadaju klasi neprekidnih funkcija.
Zbir, razlika, proizvod i količnik dve neprekidne funkcije je neprekidna
funkcija. Kompozicija dve neprekidne funkcije je neprekidna funkcija.
Tačke prekida funkcije prve vrste. Tačke prekida funkcije druge vrste.
Ako leva i desna granična vrednost funkcije u tački prekida postoje (i
realni su brojevi), tada ona predstavlja tačku prekida prve vrste za tu
funkciju.
Ako bar jedna od leve ili desne granična vrednost funkcije u tački
prekida ne postoje ili je jednaka beskonačnosti, tada ona predstavlja
tačku prekida druge vrste za tu funkciju.
Stavovi o neprekidnosti funkcije u tački (neprekidnost zbira, razlike, proizvoda i količnika dve neprekidne funkcije).
Za funkciju f : R ↦ R definisanu u nekoj okolini tačke x0 ∈ R, tj. definisanu na intervalu (x0 − ε, x0 + ε), (ε > 0) kažemo da je neprekidna u tački x0 ako je: lim(x→x0) f(x) = f(x0 ).
Neprekidnost funkcije na intervalu. Neprekidnosti funkcije na segmentu (Bolcano-Košijeve teoreme i Vajerštrasove teoreme).
Ako je funkcija neprekidna u svim tačkama intervala (a, b) koji je podskup
njenog domena, tada za nju kažemo da je neprekidna na intervalu (a, b).
Stav (Prvi Bolcano-Košijev stav). Neka je data realna funkcija f neprekidna na segmentu
[a, b] i neka je f(a) ⋅ f(b) < 0 (tj. vrednosti f(a) i f(b) su suprotnog znaka). Tada postoji tačka c ∈ (a, b) takva da važi f(c) = 0.
Stav (Drugi Bolcano-Košijev stav). Ako je data realna funkcija f neprekidna na segmentu [a, b] i neka je f(a) ⋅ f(b) < 0 Tada, za svako C ∈ (f(a), f(b)) postoji c ∈ (a, b) tako da je f(c) = C.
Stav(Prvi Vajerštrasov stav). Ako je realna funkcija f neprekidna na segmentu [a, b], onda je f ograničena na tom segmentu.
Stav (Drugi Vajerštrasov stav). Ako je realna funkcija f neprekidna na segmentu [a, b], onda f dostiže svoju najveću i svoju najmanju vrednost na tom segmentu.
