V10: Wahrscheinlichkeitstheorien Flashcards
Was ist der subjektive Wahrscheinlichkeitsbegriff?
Für jedes Ereignis Wahrscheinlichkeitseinschätzung
- z.B. Wahrscheinlich werde ich die Klausur bestehen
Subjektive Wahrscheinlichkeitsangaben
- basieren auf Intution und Hintergrundwissen
- varrieren stark zwischen Personen
Was ist der Klassische Wahrscheinlichkeitsbegriffe?
Leitet Wahrscheinlichkeit eines Ereignisse aus den Eigenschaften der beteiligten Gegenstäde ab
- p(A) = Anzahl der interessierenden Fälle / Anzahl der möglichen Fälle
- Bsp. Würfel eine 6 zu Würfeln p(6) = 1 / 6
Was ist der statistische Wahrscheinlichkeitsbegriff?
Statistische Wahrscheinlichkeit p eines Ereignis A aus der relativen Häufigkeit von f von A
- p(A) = f(A) = n(A) / n = Anzahl der passendene Beobachtungen / Anzahl aller Beobachtung
- Bsp. Wieviele Männer sind Depressive. Zufallstichprobe n = 20. 6 Depressiv: p (Depression) 6 /20 = 0,3
- Genauigkeit nimmt mit n zu (Je gößer die Stichprobe, je genauer)
Im prinzip genau das selbe wie klassische
Was ist ein Zufallsexperiment und zufällige Ereignisse?
Zufallsexperiment: ein beliebig oft wiederholbarer Vorgang, dessen Ergebnis vom Zufall abhängt.
- Bsp: Würfeln, Münzwurf, Lottospielen
Elementarereignis: Ergebnis eines Zufallsexperiments
Ereignisraum: Menge aller Elemntarereignisse(möglichkeiten) eines Zufallsexperiments
- Bsp. Würfel: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Addition von Wahrscheinlichkeiten: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A oder B auftritt?
Wichtige Regeln derr Wahrscheinlichkietsrechnung
Unvereinbarer Ereignisse:
- p(A u B) = p(A) + p(B)
- Bsp. Wahrscheinlichkiet entweder eine 1 oder 2 zu würfeln: 1/6 + 1/6 = 2/6
- Ereignisse haben gleiche Wahrscheinlichkeit (z.B. Würfel)
Vereinbarer Ereignisse:
- p(A u B) = p(A) + p(B) - p(A n B)
- Bsp. Wahrscheinlichkeit Pik oder As ziehen (Deck 32): 1/4 (Pik) + 1/8 (As) - 1/32 (Gesamte Wahrscheinlichkeit aus beiden) = 11/32
- Ereignisse haben verschiedene Wahrscheinlichkeit (z.B. Kartendeck)
Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für A unter der Bedingung B?
Wichtige Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung:
p(A / B) = p(A n B) / p(B)
Bsp.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein „As“ zu ziehen unter der Bedingung, dass es sich um ein „Herz“ handelt?
- p (As / Herz) = p (Herz - As) / p (Herz)
- 1/32 / 1/4 = 1/32 x 4/1 = 1/8
So denken, 2 Wahrscheinlichkeiten. Die dann dividieren (Kehrbruch, multiplizieren)
Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und B auftreten?
Wichtige Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Multiplikation der Wahrscheinlichkeit abhängiger Ereignisse
p(B / A) = p(A n B) / p (A) oder umgeschrieben p (A n B) = p(A) x p (B / A)
Bsp. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Kartenspiel nacheinander zwei Asse zu ziehen, wenn die erste Karte nicht zurückgelegt wird.
- p(A n B) = p(A) x p(B|A)
- 1/8 x 3 /31 = 3/248 = 1,21
- Einfach erste Wahrscheinlichkeit und dann 1 abziehen und die 2te Wahrscheinlichkeit und dann zusammenmultiplizieren
Multiplikation der Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse
p(AnB) =p(A) x p(B)
Bsp. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Kartenspiel nacheinander zwei Asse zu ziehen, wenn die erste Karte zurückgelegt wird?
- p(AnB) = p(A) x p(B)
- 1/8 x 1/8 = 1/64
Was ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion / Verteilungsfunktion für diskrete Variablen?
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
- Wie wahrscheinlich das Ereignis X auftritt
- z.B. Summe der Augenzahl beim Werfen von 2 Würfeln -> 7 am häufigsten
Verteilungsfunktion:
- Ergebnisse werden kumuliert
- z.B. Wie wahrscheinlich das Ereignis höchstens die Augenzahl X gewürfelt wird -> höchstens 12 ist 100%
Was ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung / Verteilungsfunktion für stetige Variablen?
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
- Wahrscheinlichkeit eines Ereigniss innerhalb eines Intervalls
- Normalsverteilt / Standnormalverteilt
Verteilungsfunktion:
- Hier werden die Ergebnisse auch kumuliert aber nur ein ein integral von -undendlich bis höchstens a
- Intergral der Dichtefunktion
Was ist die Normalverteilung und welche Bedeutsamkeit hat sie?
Normalverteilung:
- Glockenförmig
- Modalwet, Median und Erwartungswert fallen zusammen
- Symtrisch (asymptotisch der x - achse)
- Erwartungswert μ und Streeung σ eindeutig definiert
Beduetsamkeit:
- Psychologische Merkmale normal verteilt
- Statistische Kennwerte normal verteilt
- Mathematik (normal verteilung weiter abgeleitet)
- Statistische Fehlertheorie: Messfehler sind um den Erwartungswert 0 normal verteilt
Was ist die Z transformation
Jede Normalverteilung kann durch z-Transformation in die Standardnormalverteilung überführt werden.
Die Standardnormalverteilung hat den Erwartungswert 0 und die Streuung 1
