Topologia e funzioni di più variabili Flashcards
Def intorno sferico
Dato un punto x0 app Rn si dice intorno sferico di x0 un insieme del tipo
Ur(x0) = { x app Rn : | x-x0 | < r }
per un fissato r, detto raggio dell’intorno sferico
Tipologia punti per un insieme E c Rn
Sia E c Rn. Un punto x0 app Rn si dice:
- Interno ad E: se esiste un intorno sferico di x0 contenuto in E
- Esterno ad E: se x0 è interno a Ec = Rn - E
- Di frontiera per E: se non è né interno né esterno, ovvero se
Ur(x0) inters E != vuoto, Ur(x0) inters Ec != vuoto, Vr > 0
Def insieme aperto e chiuso
Un insieme E c Rn si dice
aperto se ogni punto x0 app E è interno ad E
chiuso se Ec è aperto
Def intorno generico di un punto
Dato x0 app Rn, si dice intorno di x0 un qualsiasi insieme aperto U c Rn che contiene x0
Def parte interna, frontiera, chiusura di un insieme E c Rn
Dato un insieme E c Rn, si dicono:
E° : interno di E, cioè l’insieme di tutti i punti interni ad E
deltaE : frontiera (bordo) di E, l’insieme di tutti i punti di frontiera di E
E- = chiusura di E, cioè l’unione di E e deltaE
Def successione di punti di Rn
Si dice successione di punti di Rn un qualsiasi sottoinsieme numerabile di Rn, e si indica con { xk } k app N
Def limite di successione
Data una successione {xk} e un punto x0 app Rn, diciamo che {xk} converge a x0 e si indica con {xk} - > x0 se
lim(k - > inf ) xk = x0, ovvero
lim( k - > inf ) | xk - x0 | = 0
Caratterizzazione degli insiemi chiusi tramite le successioni convergenti
Un insieme E c Rn è chiuso se e solo se ogni successione { xk } c E convergente, converge a x0 app E, ovvero
{xk} - > x0 implica x0 app E
Def sottosuccessione
Data una successione { xk } c E , si dice sottosuccessione di { xk } un qualsiasi sottoinsieme di { xk }, e si indica con { x ki } , dove { ki } c N
Def insieme limitato
Un insieme E c Rn si dice limitato se E M > 0 : | x | < M V x app E
Def insieme compatto
Un insieme K c Rn si dice compatto se è chiuso e limitato
Teorema di Bolzano-Weierstrass in Rn
Un insieme K c Rn è compatto se e solo se ogni successione {xk} c K ammette una sottosuccessione convergente a x0 app K
Def insieme connesso per archi
Un insieme E si dice connesso (per archi) se per ogni x, y app E esiste un arco di curva continua gamma : [a, b] - > E tale che
gamma(a) = x e gamma(b) = y
Def domini
Gli insiemi aperti e connessi si dicono domini
Def funzione di più variabili reali
Si dice funzione di più variabili una qualsiasi funzione definita su un insieme A c Rn a valori reali:
f: A c Rn - > R
