Limiti, continuità, derivabilità

Question 1

Def punto di accumulazione

Answer 1

Dato A c Rn, xo app Rn è di accumulazione per A se per ogni intorno U di x0 si ha che 
U inters (A-{x0}) != vuoto

Oppure, equivalentemente, se esiste una successione di punti {xk} c A che converge a x0

Question 2

Def limite al finito tramite criterio epsilon-delta

Answer 2

Sia f: A c Rn - > R e x0 un punto di accumulazione per A.
Diciamo che
lim(x - > x0) f(x) = l app R
se per ogni epsilon > 0 esiste un delta > 0 tale che
| f(x) - l | < = epsilon
Vx app Udelta(x0) inters (A-{x0})
Si dice che
lim(x- > x0) f(x) = +inf (-inf) se
per ogni M > 0 esiste delta > 0 tale che f(x) > = M (< = -M)
Vx app Udelta(x0) inters (A-{x0})

Question 3

Def limite tramite successioni

Answer 3

lim(x- > x0) f(x) = L app R*
se e solo se per ogni successione {xk} app A-{x0} tale che xk - > x0 si ha che
lim(k->inf) f(xk) = L

Question 4

Def limite all’infinito per funzioni definite fuori da un cerchio

Answer 4

Sia f: A c Rn - > R definita almeno nel complementare di un cerchio.
Allora diciamo che
lim(| x | - > inf) f(x) = L app R
se per ogni epsilon > 0 esiste R > 0 tale che
| f(x) - L | < = epsilon
Vx app Rn : | x | > = R
Diciamo che
lim(| x | - > inf) f(x) = +inf (-inf)
se per ogni M > 0 esiste R > 0 tale che f(x) > = M (< = -M) Vx app Rn : | x | > = R

Question 5

def funzione continua

Answer 5

Diciamo che f: A c Rn - > R è continua in x0 app A se x0 non è di accumulazione per A, oppure se è di accumulazione per A e
lim(x - > x0) f(x) = f(x0)

Analogamente, f è continua in x0 se Vepsilon > 0 esiste delta>0 tale che
| f(x) - f(x0) | < = epsilon Vx app Udelta(x0) int A

Alternativamente, per successioni
f è continua in x0 se e solo se per ogni successione {xk} c A tale che xk - > x0, vale che
lim(k - > inf) f(xk) = f(x0)

Question 6

Teorema di Weierstrass per funzioni continue su compatti

Answer 6

Sia f: K c Rn - > R, continua, con K compatto. Allora f ammette massimo e minimo, cioè esistono due punti xm e xM app K tali che
-inf < f(xm) < = f(x) < = f(xM) < +inf
per ogni x app K

Question 7

Teorema degli zeri per funzioni continue su connessi

Answer 7

Sia f: A c Rn - > R continua su un insieme connesso. Allora, se esistono x1, x2 app A tali che f(x1) < 0 e f(x2) > 0, segue che esiste x0 app A tale che f(x0) = 0

Question 8

Def derivata parziale

Answer 8

Sia f: A c R2 - > R, con A aperto, e x0 app A. Si chiama derivata parziale di f rispetto a x il limite del rapporto incrementale:
lim(h- > 0) f(x0+h, y0)-f(x0, y0)/h

Question 9

Def funzione derivabile in un punto

Answer 9

Se f: A c R2 - > R ammette le derivate parziali fx(x0, y0) e fy(x0, y0) allora diciamo che f è derivabile nel punto (x0, y0)

Question 10

Def derivata direzionale

Answer 10

Dati f: A c Rn - > R, con A aperto, x0 app A, e un versore v, si dice derivata direzionale di f rispetto a v nel punto x0 il limite:
Dv f(x0) = lim(t - > 0) f(x0+tv)-f(x0)/t

Question 11

Def funzione differenziabile in un punto

Answer 11

Sia f: A c Rn - > R con A aperto e x0 app A. Diciamo che f è differenziabile in x0 se esiste a app Rn tale che
lim(h - > 0) f(x0+h)-f(x0)-ah/|h| = 0
o equivalentemente
f(xo+h) = f(x0) + ah + o(|h|)

Il vettore a app Rn identifica il piano tangente al grafico di f nel punto (x0, f(x0)) app Rn+1

Question 12

Equazione piano tangente

Answer 12

Il piano tangente ha equazione
xn+1 = f(x0) + a(x-x0)

In due variabili:
y = f(x0, y0) + a1(x-x0) + a2(y-y0)

Question 13

Teorema vettore a coincide con il gradiente

Answer 13

Se f è differenziabile in x0, allora derivabile in x0, e vale l’identità a = ∇f(x0) .
Inoltre f è continua in x0.

Question 14

Regola o formula del gradiente

Answer 14

Se f è differenziabile in x0, allora per ogni versore v esiste la derivata direzionale Dv(x0) e vale l'identità:
Dv f(x0) = ∇f(x0) · v

Question 15

Teorema sulla differenziabilità delle funzioni C1

Answer 15

Sia f: A c Rn - > R, con A aperto, e x0 app A.
Supponiamo che esistano tutte le derivate parziali di f in un intorno di x0 e inoltre che siano continue in x0. Allora f è differenziabile in x0.
In generale non vale il viceversa.
Se le derivate parziali esistono in tutto A, e sono continue su A, si dice che f app C1(A).

Question 16

Teorema direzione di massima crescita locale

Answer 16

v = ∇f(x0)/|∇f(x0)| `e il versore che rende massima Dvf(x0)

Question 17

Def differenziale di una funzione in un punto

Answer 17

Se f: A c Rn - > R è differenziabile in x0 app A, si dice differenziale di f in x0 l’applicazione lineare
h → ∇f(x0) · h
che esprime l’incremento approssimato di f(x0+h) rispetto a f(x0)
Si può quindi scrivere
f(x0+h)=f(x0) + df(x0)(x-x0) + o(|x-x0|)

Question 18

Teorema sulla differenziabilità delle funzioni composte di tipo g(f(x)) e sulla derivabilità delle funzioni composte di tipo f(r(t))

Answer 18

1) Siano f: A c Rn - > R, con A aperto, e g: I c R - > R, con I aperto. Supponiamo che f sia differenziabile in x0 app A e che g sia derivabile in f(x0) app I.
Allora la funzione composta h=g°f , h(x) = g(f(x))
è ben definita in un intorno U di x0, è differenziabile in x0, e vale l’identità
∇h(x0) = g’(f(x0))∇f(x0)

2) Siano f: Ac Rn - > R e r: I c R - > Rn. Supponiamo che r sia derivabile in t0 app I e f sia differenziabile in r(t0).
Allora la funzione composta
g=f°r , g(t) = f(r(t))
è ben definita in un intorno J di t0, è derivabile in t0, e vale l’identità
g’(x0) = ∇f(r(t0)) r’(t0)

Question 19

Teorema gradiente ortogonale alle curve di livello

Answer 19

Sia f: A c R2 - > R differenziabile in x0 app A. Supponiamo che data c app Im(f) l’insieme di livello Lc(f) = {(x,y) app A : f(x,y) = c } ammetta una parametrizzazione regolare r: I c R - > Im(f).
Allora vale l’identità
∇f(r(t)) r’(t) = 0 Vt app I
Ovvero il gradiente di f è ortogonale alla curve di livello di f.

Question 20

Def derivate seconde in R2

Answer 20

Sia f: A c R2 - > R. Supponiamo che fx e fy esistano in un intorno di (x0, y0) app A. Se fx e fy sono a loro volta derivabili in (x0, y0), chiamiamo derivate seconde di f in (x0, y0) le quantità:
fxx(x0, y0)
fyy(x0,y0)
fxy(x0, y0)
fyx(x0, y0)

Question 21

Teorema di Schwarz

Answer 21

Sia f: A c R2 - > R, con A aperto. Supponiamo che le derivate seconde miste fxy e fyx esistano in un intorno di (x0, y0) app A. Se sono continue nel punto (x0, y0), allora vale l’identità
fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0)

Question 22

Def differenziale secondo

Answer 22

Sia f app C2(A) e x0 app A. Si dice differenziale secondo di f in x0 la forma quadratica
df2(xo) : h - > Σ(i=1,n)Σ(j=1,n)∂2f/∂xi∂xj * hi hj

Introducendo la matrice Hessiana Hf(x0) si può scrivere
d2f(x0)(h) = hT Hf(x0) h

Question 23

Sviluppo di Taylor al secondo ordine con resto secondo Lagrange

Answer 23

Sia f app C2(A), x0 app A e h app Rn con h sufficientemente piccolo in modo che il segmento [x0, x0+h] app A.
Allora E teta app (0,1) , dipendente da x0, h, f tale che
f(x0+h) = f(x0)+∇f(x0)(h)+1/2(Hf(x0+tetah) h)h

Question 24

Sviluppo di Taylor al secondo ordine con resto secondo Peano

Answer 24

Sia f app C2(A), allora per ogni fissato x0 app A e h sufficientemente piccolo vale
f(x0+h) = f(x0) + ∇f(x0)h + 1/2(Hf(x0)h)h + o(|h|^2)

Question 25

Def punti di massimo e minimo globale e locale

Answer 25

Siano f: A c Rn - > R e x0 app A. Diciamo che

1) x0 è un punto di massimo (minimo) assoluto o globale per f in A se f(x) < = f(x0) [f(x) > = f(x0)] Vx app A. In tal caso, f(x0) si dice massimo (minimo) assoluto o globale.
2) x0 è un punto di massimo (minimo) relativo o locale per f se esiste un intorno U di x0 tale che f(x) < = f(x0) [f(x) > = f(x0)] Vx app A inters U. In tal caso, f(x0) si dice massimo (minimo) relativo o locale.

Question 26

Punto di estremo libero e vinvolato

Answer 26

Se x0 app A° (interno di A) è un punto di estremo libero.

Se x0 app deltaA (frontiera di A) è un punto di estremo vincolato

Question 27

Teorema di Fermat

Answer 27

Sia f: A c Rn - > R, con A aperto, e x0 un punto di massimo o minimo locale per f. Se f è derivabile in x0, ∇f(x0)=0.

Question 28

Criterio segno forma quadratica in R2

Answer 28

Sia M = (a, b, b, c).
Allora la forma quadratica associata a M è:
se a != 0:
1) definita positiva se e solo se detM > 0 e a > 0
2) definita negativa se e solo se detM > 0 e a < 0
3) indefinita se e solo se detM < 0
4) semidefinita positiva se e solo se detM = 0 e a > 0
5) semidefinita negativa se e solo se detM = 0 e a < 0
se a= 0 si sostituisce a con c
se anche c = 0 e b ! = 0 la forma è indefinita

Question 29

Studio di x0 = 0 per f(x) = xTMx in base alla natura di M

Answer 29

Per una funzione quadratica f(x) = xTMx Vx app Rn con M simmetrica, la natura di M determina in maniera univoca la natura di x0=0 come punto di estremo.
Infatti:
1) Se M è definita positiva (negativa) allora x0 = 0 è l’unico punto di minimo (massimo) globale.
2) Se M è semidefinita positiva (negativa) allora x0 = 0 è un punto di minimo (massimo) globale ma non è unico.
3) Se M è indefinita, allora x0 = 0 non è né un punto di massimo né un punto di minimo relativo: è un punto di sella o colle.

Question 30

Teorema dell’Hessiana per punti critici

Answer 30

Sia f app C2(A), con A aperto, e x0 app A punto critico di f.
Allora
1) Se Hf(x0) è definita positiva, allora x0 è un punto di minimo locale forte, nel senso che esiste un intorno U c A di x0 tale che f(x0) < f(x) Vx app U.
2) Se Hf(x0) è definita negativa, allora x0 è un punto di massimo locale forte, nel senso che esiste un intorno U c A di x0 tale che f(x0) > f(x) Vx app U
3) Se Hf(x0) è indefinita, allora x0 è un punto di colle o sella

Se Hf(x0) è semidefinita, in generale non si può concludere nulla.

Question 31

Teorema dei moltiplicatori di Lagrange

Answer 31

Siano f, g app C1(R2) e (x0, y0) un punto di estremo locale vincolato per f rispetto al vincolo g(x,y) = 0.
Allora se il punto di estremo (x0, y0) è regolare per il vincolo, cioè ∇g(x0, y0) != 0, allora esiste lambda0 app R, detto moltiplicatore di Lagrange, tale che
∇f(x0, y0) = lambda0 ∇g(x0, y0)