Curve in Rn Flashcards
Funzione a valori vettoriali def
Dato un intervallo I app R e n app N (n > = 2 ) , una funzione a valori vettoriali è una qualsiasi funzione \gf : I - > Rn, ovvero Vt app I, f(t) app Rn
Limite funzione a valori vettoriali
Dati f: I - > Rn, t0 app I e l app Rn, diciamo che
lim(t - > t0 ) f(t) = l
se e solo se
lim( t - > t0 ) | f(t) - l | = 0
Teorema: calcolo del limite vettoriale equivale al calcolo del limite componente per componente
Siano f(t) = ( f1(t), f2(t), ... , fn(t) ) definita su I, t0 app I e l app Rn. Allora lim (t - > t0 ) f(t) = l = (l1, l2, ... , ln ) se e solo se lim (t- > t0 ) fi(t) = li Vi = 1, 2, ... , n
Def funzione a valori vettoriali continua
Una funzione f: I - > Rn si dice continua in t0 app I se
lim(t - > t0 ) f(t) = f(t0)
La continuità di f è equivalente alla continuità delle sue componenti
Def funzione a valori vettoriali derivabile
Dati f: I - > Rn e t0 app I, diciamo che f è derivabile in t0 se esiste finito il limite
lim(h - > 0) f( t0 + h) - f(t0) / h = f’(t0)
La derivabilità di f equivale alla derivabilità delle sue componenti
Def arco di curva continua
Dato un intervallo I app R si dice arco di curva continua (curva continua) una funzione r: I - > Rn continua.
Def sostegno di una curva
Si dice sostegno di una curva r l’immagine di I attraverso t - > r(t)
Sost(r) = { x app Rn : Eto app I : x = r(t0) }
Def curva chiusa
Una curva si dice chiusa se I=[a, b] e r(a) = r(b)
Def curva semplice
Una curva si dice semplice se r(t) != r(s) Vt, s app I = (a, b) con t != s
Def curva piana
Una curva si dice piana se il suo sostegno giace su un piano di Rn, cioè se esistono a, x0 app Rn tali che a*(r(t)-x0) = 0 Vt app I, a != 0
Def curva regolare
Dato un intervallo I c R si dice arco di curva regolare (curva regolare) una curva parametrizzata da r: I - > Rn tale che :
- r c C1(I)
- r’(t) != 0 Vt app I
Def curva regolare a tratti
Si dice arco di curva (curva) regolare a tratti una curva continua tale che I = [a1, b1] U [a2, b2] U … U [aN, bN] con ai+1 = bi Vi=1,2,..,N
e ogni restrizione di r su [ai, bi] sia un arco di curva regolare
Def unione di due curve
Siano gamma1 e gamma2 due curve continue con parametrizzazioni r1(t), t app [a,b] e r2(t), t app [b,c], che soddisfino la condizione di raccordo r1(b)=r2(b).
Allora definiamo unione delle due curve, indicata con gamma1 U gamma2, la curva r: [a,c] - > Rn
r(t) = r1(t) Vt app [a,b]
= r2(t) Vt app [b, c]
Def velocità vettoriale e velocità scalare
Sia r una curva regolare (eventualmente a tratti).
Definiamo con t - > r’(t) la velocità, e con t - > | r’(t) | la velocità scalare
Def versore tangente
Se r è una curva regolare (eventualmente a tratti), è ben definito in ogni punto il versore tangente alla curva
T(t) = r’(t)/ | r’(t) |
Equazione retta tangente in un punto a una curva regolare
r(t0 + h) = r(t0) + r’(t0)h + o(h)
Def accelerazione tangenziale e centripeta
Se r app C2(I) definiamo accelerazione r''(t) = a(t)T(t) + b(t)N(t) dove a(t) è l'accelerazione tangenziale e b(t) è l'accelerazione centripeta
Cambi di parametrizzazione equivalenti e cambi di orientazione
Due parametrizzazioni r1(t) : [a,b] - > Rn e r2(t) : [c,d] - > Rn si dicono equivalenti se esiste una funzione invertibile phi: [c,d] - > [a, b] con phi app C1([c,d]) e phi’(t) > 0 Vt app [c, d] tale che
r2(t) = r1(phi(t)) Vt app [c,d]
Se invece phi’(t) < 0 Vt app [c,d] allora r2 è un cambio di orientazione rispetto a r1
Definizione rigorosa di curva
La definizione rigorosa di curva è la coppia (sostegno, famiglia di parametrizzazioni equivalenti)
Invarianza del versore tangente rispetto a cambi di parametrizzazione equivalenti
Il versore tangente è indipendente dai cambi di parametrizzazione equivalenti
Invarianza della lunghezza rispetto ai cambi di parametrizzazione equivalenti
La lunghezza di un arco di curva è indipendente dai cambi di parametrizzazione (o di orientazione)
Lunghezza d’arco
Per una curva regolare (a tratti) parametrizzata da r possiamo introdurre la lunghezza d’arco
s(t) = …
Vt app I = [a, b]
Ad ogni fissato t app [a, b], s(t) esprime la lunghezza dell’arco di curva che va da r(a) a r(t)
Parametrizzazione per lunghezza d’arco
La funzione s(t) : [a, b] - > [0, L] è C1([a,b]), invertibile e s’(t) = | r’(t) | > 0 Vt app [a, b].
Quindi s(t) ammette inversa e posso parametrizzare la curva tramite s:
s - > r(t-1(s))
In questo caso dico che la curva è parametrizzata per lunghezza d’arco
Una curva parametrizzata per lunghezza d’arco ha velocità scalare unitaria
Sia gamma parametrizzata per lunghezza d’arco tramite r(s).
Allora
| r’(s) | = 1
