Curve in Rn

Question 1

Funzione a valori vettoriali def

Answer 1

Dato un intervallo I app R e n app N (n > = 2 ) , una funzione a valori vettoriali è una qualsiasi funzione \gf : I - > Rn, ovvero Vt app I, f(t) app Rn

Question 2

Limite funzione a valori vettoriali

Answer 2

Dati f: I - > Rn, t0 app I e l app Rn, diciamo che
lim(t - > t0 ) f(t) = l
se e solo se
lim( t - > t0 ) | f(t) - l | = 0

Question 3

Teorema: calcolo del limite vettoriale equivale al calcolo del limite componente per componente

Answer 3

Siano f(t) = ( f1(t), f2(t), ... , fn(t) ) definita su I, t0 app I e l app Rn.
Allora lim (t - > t0 ) f(t) = l = (l1, l2, ... , ln ) 
se e solo se 
lim (t- > t0 ) fi(t) = li Vi = 1, 2, ... , n

Question 4

Def funzione a valori vettoriali continua

Answer 4

Una funzione f: I - > Rn si dice continua in t0 app I se
lim(t - > t0 ) f(t) = f(t0)
La continuità di f è equivalente alla continuità delle sue componenti

Question 5

Def funzione a valori vettoriali derivabile

Answer 5

Dati f: I - > Rn e t0 app I, diciamo che f è derivabile in t0 se esiste finito il limite
lim(h - > 0) f( t0 + h) - f(t0) / h = f’(t0)
La derivabilità di f equivale alla derivabilità delle sue componenti

Question 6

Def arco di curva continua

Answer 6

Dato un intervallo I app R si dice arco di curva continua (curva continua) una funzione r: I - > Rn continua.

Question 7

Def sostegno di una curva

Answer 7

Si dice sostegno di una curva r l’immagine di I attraverso t - > r(t)
Sost(r) = { x app Rn : Eto app I : x = r(t0) }

Question 8

Def curva chiusa

Answer 8

Una curva si dice chiusa se I=[a, b] e r(a) = r(b)

Question 9

Def curva semplice

Answer 9

Una curva si dice semplice se r(t) != r(s) Vt, s app I = (a, b) con t != s

Question 10

Def curva piana

Answer 10

Una curva si dice piana se il suo sostegno giace su un piano di Rn, cioè se esistono a, x0 app Rn tali che a*(r(t)-x0) = 0 Vt app I, a != 0

Question 11

Def curva regolare

Answer 11

Dato un intervallo I c R si dice arco di curva regolare (curva regolare) una curva parametrizzata da r: I - > Rn tale che :

• r c C1(I)
• r’(t) != 0 Vt app I

Question 12

Def curva regolare a tratti

Answer 12

Si dice arco di curva (curva) regolare a tratti una curva continua tale che I = [a1, b1] U [a2, b2] U … U [aN, bN] con ai+1 = bi Vi=1,2,..,N
e ogni restrizione di r su [ai, bi] sia un arco di curva regolare

Question 13

Def unione di due curve

Answer 13

Siano gamma1 e gamma2 due curve continue con parametrizzazioni r1(t), t app [a,b] e r2(t), t app [b,c], che soddisfino la condizione di raccordo r1(b)=r2(b).
Allora definiamo unione delle due curve, indicata con gamma1 U gamma2, la curva r: [a,c] - > Rn
r(t) = r1(t) Vt app [a,b]
= r2(t) Vt app [b, c]

Question 14

Def velocità vettoriale e velocità scalare

Answer 14

Sia r una curva regolare (eventualmente a tratti).

Definiamo con t - > r’(t) la velocità, e con t - > | r’(t) | la velocità scalare

Question 15

Def versore tangente

Answer 15

Se r è una curva regolare (eventualmente a tratti), è ben definito in ogni punto il versore tangente alla curva
T(t) = r’(t)/ | r’(t) |

Question 16

Equazione retta tangente in un punto a una curva regolare

Answer 16

r(t0 + h) = r(t0) + r’(t0)h + o(h)

Question 17

Def accelerazione tangenziale e centripeta

Answer 17

Se r app C2(I) definiamo accelerazione
r''(t) = a(t)T(t) + b(t)N(t)
dove a(t) è l'accelerazione tangenziale e b(t) è l'accelerazione centripeta

Question 18

Cambi di parametrizzazione equivalenti e cambi di orientazione

Answer 18

Due parametrizzazioni r1(t) : [a,b] - > Rn e r2(t) : [c,d] - > Rn si dicono equivalenti se esiste una funzione invertibile phi: [c,d] - > [a, b] con phi app C1([c,d]) e phi’(t) > 0 Vt app [c, d] tale che
r2(t) = r1(phi(t)) Vt app [c,d]
Se invece phi’(t) < 0 Vt app [c,d] allora r2 è un cambio di orientazione rispetto a r1

Question 19

Definizione rigorosa di curva

Answer 19

La definizione rigorosa di curva è la coppia (sostegno, famiglia di parametrizzazioni equivalenti)

Question 20

Invarianza del versore tangente rispetto a cambi di parametrizzazione equivalenti

Answer 20

Il versore tangente è indipendente dai cambi di parametrizzazione equivalenti

Question 21

Invarianza della lunghezza rispetto ai cambi di parametrizzazione equivalenti

Answer 21

La lunghezza di un arco di curva è indipendente dai cambi di parametrizzazione (o di orientazione)

Question 22

Lunghezza d’arco

Answer 22

Per una curva regolare (a tratti) parametrizzata da r possiamo introdurre la lunghezza d’arco
s(t) = …
Vt app I = [a, b]
Ad ogni fissato t app [a, b], s(t) esprime la lunghezza dell’arco di curva che va da r(a) a r(t)

Question 23

Parametrizzazione per lunghezza d’arco

Answer 23

La funzione s(t) : [a, b] - > [0, L] è C1([a,b]), invertibile e s’(t) = | r’(t) | > 0 Vt app [a, b].
Quindi s(t) ammette inversa e posso parametrizzare la curva tramite s:
s - > r(t-1(s))
In questo caso dico che la curva è parametrizzata per lunghezza d’arco

Question 24

Una curva parametrizzata per lunghezza d’arco ha velocità scalare unitaria

Answer 24

Sia gamma parametrizzata per lunghezza d’arco tramite r(s).
Allora
| r’(s) | = 1