Serie di funzioni e di Fourier

Question 1

Def successione di funzioni

Answer 1

Dato un intervallo [a,b] c R diciamo che { fn } n app N è una successione di funzioni in [a,b] se per ogni n app N fn : [a,b] - > R

Question 2

Def convergenza puntuale

Answer 2

Diciamo che una successione di funzioni { fn } converge puntualmentea una funzione f se
lim(n - > inf) fn(x) = f(x) Vx app [a,b]

Question 3

Def convergenza uniforme

Answer 3

Diciamo che una successione di funzioni { fn }converge uniformemente a una funzione f se
lim(n - > inf) sup(x app [a,b]) |fn(x) - f(x)| = 0

Question 4

Def convergenza in media e in media quadratica

Answer 4

Diciamo che una successione di funzioni { fn } converge in media a una funzione f se
lim (n - > inf) int(a,b) |fn(x)-f(x)|dx = 0
e in media quadratica se
lim(n - > inf) int(a,b) |fn(x)-f(x)|^2 dx = 0.

Question 5

Relazioni tra vari tipi di convergenza

Answer 5

La convergenza uniforme implica quella puntuale; non è vero il viceversa.
La convergenza uniforme implica quelle in media.
Non c’è alcuna relazione tra convergenza uniforme e in media.

Question 6

Def serie di funzioni

Answer 6

Data una successione di funzioni { fn(x) } ne definiamo la serie come la successione delle somme parziali
Sn(x) = ∑(k=1,n) fn(x) , Vx app [a,b], Vn app N

Question 7

Def serie di potenze

Answer 7

La serie
∑(n=0, inf) cn x^n
dove {cn} è una successione di numeri reali, si dice serie di potenze.

Question 8

Criterio di Weierstrass

Answer 8

Criterio per la convergenza uniforme
Sia {fn} una successione di funzioni tale che
1) |fn(x)| < = cn Vx app [a,b], Vn app N
2) ∑(n = 1, inf) cn < +inf
Allora la serie converge uniformemente in [a,b]

Question 9

Criterio della convergenza totale

Answer 9

Criterio per le convergenze in media
Sia {fn} una successione di funzioni tale che:
1A) int(a,b) |fn(x)|dx < = cn Vn app N, Vx app [a,b]
1B) int(a,b) |fn(x)|^2 dx < = cn Vn app N, Vx app [a,b]
2) ∑(n=1, inf) cn < +inf
Allora la serie converge in media se vale 1A, in media quadratica se vale 1B

Question 10

Def funzione T-periodica e integrabile

Answer 10

Dato T > 0, diciamo che f: R - > R è una funzione T-periodica e integrabile (in particolare limitata) se:

1) EM > 0 : |f(x)| < = M Vx app R
2) f(x+T) = f(x) Vx app R
3) f è integrabile in [0, T]

Question 11

Def VT

Answer 11

Dato T > 0, indichiamo con VT lo spazio vettoriale delle funzioni T-periodiche e integrabili.

Question 12

Def prodotto scalare in VT

Answer 12

Date f,g app VT definiamo il loro prodotto scalare come:

2/T int(0,T) f(x)g(x)dx = 2/T int(a,a+T) f(x)g(x)dx Va app R

Question 13

Proprietà assiomatiche del prodotto scalare

Answer 13

Si può verificare che < , > soddisfa tutti gli assiomi di prodotto scalare:

1) simmetria: < f,g > = < g,f >
2) linearità: < af+bg,h > = a < f,h > + b < g,h >
3) positività e annullamento: < f,f > > = 0 e < f,f > = 0 se e solo se f(x) = 0 Vx app [0,T]\E, dove |E| = 0.

Question 14

Def norma in VT

Answer 14

A partire da < , > si può definire la norma (lunghezza) di una funzione periodica f app VT:
||f|| = (2/T int(0,T) f^2(x)dx)^1/2

Question 15

Proprietà della norma

Answer 15

Discendono dalle proprietà del prodotto scalare

1) positività: ||f|| > = 0
2) annullamento: ||f|| = 0 se e solo se f = 0 al di fuori di un insieme di misura nulla
3) disuguaglianza triangolare: ||f+g|| < = ||f|| + ||g||
4) disuguaglianza di Cauchy-Schwartz: | < f,g > | < = ||f|| ||g||

Question 16

Def base ortonormale in VT

Answer 16

{ek} k app N è una base ortonormale per VT se:
1) {ek} è un sistema ortonormale, cioè le funzioni ek sono normalizzate e tra loro ortogonali:
< ek,ek > = 1 Vk appN e < ek,eh > = 0 Vh,k app N, h ! = k
2) Vale inoltre
f = ∑(k=1,inf) < f,ek> ek nel senso della media quadratica, ossia:
lim(n - > inf) 2/T int(0,T) |f(x) - < f(x),ek > ek|^2 dx = 0
che equivale a
lim(n - > inf) ||f-∑(k=1,inf) < f,ek > ek|| = 0 Vf app VT

Question 17

Teorema della proiezione

Answer 17

Siano f app VT, {ek} k app N una base ortonormale per VT, Snf(x) = ∑(k=1,n) < f,ek > ek (x) , e Vn il sottospazio vettoriale generato dalle funzioni {ek} k=1,…,n.
Valgono le seguenti proprietà:
1) f-Snf è ortogonale ad ogni elemento di Vn.
2) ||Snf||^2 = ∑(k=1,n) < f,ek >^2 < = ||f||^2 (disuguaglianza di Bessel)
3) Snf minimizza ||f-g||^2 al variare di g app Vn.

Question 18

Teorema dell’identità di Parseval

Answer 18

Siano f, g app VT e {ek} k app N una base ortonormale per VT.
Allora vale l’identità:
< f,g > = ∑(k=1,inf) < f,ek > < g,ek >
In particolare, per f = g, si ottiene la seguente identità di Parseval:
||f||^2 = ∑(k=1,inf) < f,ek > ^2

Question 19

Proprietà degli sviluppi in serie rispetto a una base {ek} k app N

Answer 19

1) Linearità: se f,g app VT e a,b app R, allora h=af+bg app VT ammette lo sviluppo in serie:
Sn(h) = aSn f + bSn g

2) unicità: se f app VT e f = ∑(k=1,inf) ck ek per un’opportuna scelta dei coefficienti ck, allora
ck = < f,ek > Vk app N

3) convergenza a 0: se f app VT, allora lim(k - > inf) < f,ek > = 0

4) scarto quadratico medio:
||f-Sn f||^2 = ∑(k=n+1,inf) < f,ek > ^2

Question 20

Teorema della base di Fourier

Answer 20

Dato T > 0, il sistema ortonormale di seni e coseni
{ 1/rad2 , ek1(x) = cos(2pi/T kx) , ek2(x) = sin(2pi/T kx) }
è una base ortonormale per VT rispetto al prodotto scalare
< f,g > = 2/T int(0,T) f(x)g(x)dx
Questo sistema viene detto base di Fourier.

Question 21

Proprietà degli sviluppi in serie di Fourier (cioè rispetto alla base di Fourier)

Answer 21

1) serie di Fourier: Data f app VT, vale l’identità, nel senso della media quadratica:
f(x) = a0/2 + ∑(k=1,inf) [akcos(2pi/T kx) + bksin(2pi/T kx)] , dove
ak = 2/T int(0,T) f(x)cos(2pi/T kx) e bk = 2/T int(0,T) f(x)sin(2pi/T kx)

2) Disuguaglianza di Bessel:
||Snf||^2 = 2/T int(0,T) Snf(x)^2 dx = a0^2/2+∑(k=1,n)(ak^2+bk^2) < = ||f||^2

3) Identità di Parseval
||f||^2 = a0^2/2+∑(k=1,inf) (ak^2+bk^2)

4) Scarto quadratico medio:
||f-Snf||^2 = 2/T int(0,T) |f(x)-Snf(x)|^2dx = ∑(k=n+1,inf) (ak^2+bk^2)

5) Convergenza a 0:
lim(k - > inf) ak = lim( k - > inf) bk = 0

6) Teorema della proiezione:
Il polinomio di Fourier
Snf(x) = a0/2 ∑(k=1,n) [akcos(2pi/T kx) + bksin(2pi/T kx)]
è tra tutti i polinomi trigonometrici di ordine n quello che minimizza lo scarto quadratico medio con f.
In particolare, la media di f,
a0/2 = 1/T int(0,T) f(x) dx
è, tra tutte le costanti, quella che rappresenta meglio f.

Question 22

Def funzione continua a tratti

Answer 22

Diciamo che una funzione periodica f app VT è continua a tratti se esiste una partizione di [0,T]
x0=0 < x1 < … < xN =T
tale che
1) f è continua in (xk-1, xk) per ogni k=1,…,N
2) f ammette limite destro e sinistro finito in ogni xk:
f(x+) = lim(x - > xk+) f(x) app R
f(x-) = lim(x - > xk-) f(x) app R

Question 23

Teorema della convergenza puntuale delle serie di Fourier

Answer 23

Sia f app VT continua a tratti, e x0 app R un punto tale che
lim(x - > x0+) f(x)-f(x0)/x-x0 app R
e
lim(x - > x0-) f(x)-f(x0)/x-x0 app R.
Allora
lim(k - > inf) Snf(x0) = f(x+)+f(x-)/2
In particolare, se f è derivabile ovunque, Snf(x) converge puntualmente a f(x).

Question 24

Def VT*

Answer 24

Dato T > 0, indichiamo con VT* lo spazio vettoriale costituito da tutte le funzioni a valori complessi T-periodiche e integrabili

Question 25

Def prodotto scalare in VT*

Answer 25

Date f,g app VT* , definiamo il loro prodotto scalare in VT* in questo modo:
< f,g > = 1/T int(0,T) f(x)g*(x)dx

Question 26

Proprietà prodotto scalare in VT*

Answer 26

1) Simmetria Hermitiana:
< f,g > = < g,f >*

2) Linearità modificata
< af+bg,h > = a< f,h > + b< g,h >
< h,af+bg > = a< h,f > + b< h,g >

3) Positività:
< f,f > > = 0

Question 27

Norma in VT*

Answer 27

||f||^2 = 1/T int(0,T) |f(x)|^2 dx = 1/T int(0,T) f(x)f*(x)dx = < f,f >

Question 28

Esempio di sistema ortonormale in VT*

Answer 28

Funzioni esponenziali complesse

{ek}kappZ = {e^i2pi/T kx}kappZ

Question 29

Teorema della base esponenziale per VT*

Answer 29

Dato T > 0, il sistema ortonormale di funzioni esponenziali
{ek}kappZ = {e^i2pi/T kx}kappZ è una base ortonormale per VT* rispetto al prodotto scalare < f,g > = 1/T int(0,T) f(x)g*(x)dx , ed è detta base esponenziale di Fourier

Question 30

Conseguenze base esponenziale

Answer 30

1) Serie esponenziale di Fourier:
Data f app VT*, vale l’identità
f(x) = ∑(k=-inf,+inf) fk e^i2pi/T kx
dove fk = 1/T int(0,T) f(x) e^-i2pi/T kx = rhok e^itetak
sono i coefficienti esponenziali di Fourier,
nel senso della media quadratica:
lim(N - > inf) ||f(x) - ∑(k=-N,N) fke^i2pi/T kx||^2 = 0

2) Disuguaglianza di Bessel:
||Snf||^2 = 1/T int(0,T) |Snf(x)|^2 dx = ∑(k=-N,N) |fk|^2 < = ||f||^2 = 1/T int(0,T) |f(x)|^2 dx

3) Identità di Parseval:
||f||^2 = 1/T int(0,T) |f(x)|^2 dx = ∑(k=-inf,+inf) |fk|^2 = ∑(k=-inf,+inf) rhok^2

Question 31

Relazione tra coefficienti di Fourier {ak,bk} e coefficienti esponenziali {fk} di una funzione f app VT

Answer 31

Data f app VT c VT*

a0/2 = f0
ak = 2Re(fk) Vk app N
bk = -2Im(fk) Vk app N

fk = 1/2(ak-ibk) Vk app N
f-k = 1/2(ak+ibk) V-k app N