Campi vettoriali

Question 1

Def campo vettoriale

Answer 1

Dato Ω c Rn, si dice campo vettoriale una qualsiasi funzione F : Ω - > Rn. F associa ad ogni punto x app Ω un vettore F(x) app Rn.

Question 2

Def campo C1

Answer 2

Un campo F : Ω - > Rn si dice C1(Ω) se tutte le sue componenti sono C1(Ω):
F app C1(Ω) se Fi app C1(Ω) Vi = 1,2,…,n.
Analogo per C2(Ω).

Question 3

Def linea di campo

Answer 3

Sia Ω un aperto connesso (dominio) di Rn e sia F : Ω - > Rn un campo C1(Rn).
Si dice linea di campo (o di flusso) di F una qualsiasi curva regolare r(t) tangente in ogni punto a F.

In termini più precisi, le linee di campo sono tutte le soluzioni regolari della seguente equazione differenziale:
r’(t) = λ(t) F(r(t)) Vt app I
per un’opportuna funzione scalare λ: I - > R.
Riparametrizzando si può eliminare λ:
dτ = λ(t) dt
r’(τ) = F(r(τ)) Vτ app J

Question 4

Teorema di esistenza e unicità sistema di equazioni differenziali linee di campo

Answer 4

Sia Ω c Rn un aperto, F : Ω - > Rn un campo C1(Ω) e x0 app Ω.
Allora il problema di Cauchy PC:
r’(t) = F(r(t))
r(0) = x0
ha sempre un’unica soluzione locale, cioè esistono un intorno J di t=0 e una curva r app C1(J) che risolve PC ed è l’unica soluzione nell’intervallo J.

Question 5

Def integrale di linea e circuitazione

Answer 5

Supponiamo che γ sia un arco di curva regolare (a tratti) con parametrizzazione r: [a,b] - > Rn, e sia F un campo vettoriale C0(Rn).
Definiamo integrale di linea (o lavoro) di F lungo γ l’integrale:
int(a,b) F(r(t)) r’(t) dt.

Se γ è semplice e chiusa, il lavoro si chiama anche circuitazione.

Question 6

Teorema: indipendenza del lavoro da cambi di parametrizzazione equivalenti

Answer 6

Il lavoro di un campo F lungo una curva regolare (a tratti) non dipende dalla parametrizzazione.

Question 7

Def gradiente

Answer 7

∇ = ∂/∂x i + ∂/∂y j + ∂/∂z k

Question 8

Def rotore

Answer 8

Dato un campo vettoriale F=(F1,F2,F3) app C1(R3) definiamo rotore di F e lo indichiamo con rotF il seguente campo vettoriale:
i j k
rot F = det ∂x ∂y ∂z =
F1 F2 F3
= i (∂yF3 - ∂zF2) - j (∂xF3-∂zF1) + k (∂xF2-∂yF1)

Se F = (F1,F2,0) , cioè il campo è bidimensionale, allora
rotF = (0,0,∂xF2-∂yF1)

Question 9

Def divergenza

Answer 9

Dato un campo F = (F1,F2,F3) app C1(R3) definiamo divergenza di F e la indichiamo con divF il seguente campo scalare:
divF = (F1)x + (F2)y + (F3)z

Question 10

Def Laplaciano

Answer 10

Dato f campo scalare

div(∇f) = fxx + fyy + fzz = Δf

Question 11

Teorema: relazioni tra operatori differenziali

Answer 11

Siano f e F un campo scalare e un campo vettoriale C2(R3).
Allora valgono le seguenti identità:
1) rot(∇f) = 0
2) div(rotF) = 0

Question 12

Def campo irrotazionale

Answer 12

Un campo F tale che rotF = 0 si dice irrotazionale

Question 13

Def campo solenoidale

Answer 13

Un campo F tale che divF = 0 si dice solenoidale

Question 14

Def campo conservativo

Answer 14

Un campo vettoriale F : Ω c R3 - > R3 (con Ω aperto connesso) si dice conservativo se F app C1(Ω) e ammette un potenziale U, ovvero se esiste una funzione U : Ω - > R tale che U app C2(Ω) e F = ∇U :
F1 = Ux, F2 = Uy, F3 = Uz

Question 15

Definizione del potenziale a meno di costanti additive

Answer 15

Il potenziale di un campo conservativo è definito univocamente a meno di costanti additive arbitrarie:
F = ∇U1 = ∇U2 - > ∇(U1-U2) = 0 , U1 = U2 + c

Question 16

Teorema: Il lavoro di un campo conservativo lungo una curva regolare contenuta nel suo dominio Ω è uguale alla differenza tra il potenziale calcolato nei punti finale e iniziale

Answer 16

Sia F = ∇U un campo conservativo in un dominio Ω c R3.
Sia γ una curva regolare (a tratti) interamente contenuta in Ω con parametrizzazione r : (a,b) - > Ω.
Siano p = r(a) e q = r(b) gli estremi di γ.
Allora:
L(F,γ) = U(q) - U(p)
cioè il lavoro di F dipende solo dagli estremi, e non dal percorso utilizzato per collegarli.
In particolare, lungo circuiti è sempre 0.

Question 17

Teorema: caratterizzazione dei campi conservativi

Answer 17

Sia F app C1(Ω).
Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1) Per ogni coppia di curve semplici e regolari γ1 e γ2 interamente contenute in Ω, aventi gli stessi punti iniziale e finale, per il resto disgiunte, vale
int(γ1) F dr = int(γ2) F dr

2) Per ogni curva γ chiusa e semplice, regolare (a tratti) interamente contenuta in Ω,
int(γ) F dr = 0

3) F è conservativo

Question 18

Relazione irrotazionalità di un campo e campo conservativo

Answer 18

Condizione necessaria affinché un campo sia conservativo è che sia irrotazionale.
In generale l’irrotazionalità non è condizione sufficiente per la conservatività.

Question 19

Def dominio semplicemente connesso

Answer 19

Un aperto Ω c Rn si dice semplicemente connesso se è connesso e ogni curva semplice, chiusa e regolare (a tratti) γ interamente contenuta in Ω si può deformare in un unico punto mediante una trasformazione continua che non esca mai da Ω.
In termini matematici deve esistere una funzione T(s,t) : [0,1]x[a,b] - > Ω continua tale che
T(0,t) = r(t) (parametrizzazione di γ)
T(1,t) = p app Ω
e per ogni s app (0,1) t - > T(s,t) è una curva chiusa, semplice, regolare in Ω.

Question 20

Teorema sulla conservatività dei campi irrotazionali in domini semplicemente connessi

Answer 20

Sia F app C1(Ω) con Ω dominio semplicemente connesso.

Allora F è conservativo se e solo se F è irrotazionale.