Integrali tripli Flashcards
Def funzione integrabile in un parallelepipedo rettangolo
Sia f: [a,b]x[c,d]x[e,h] - > R una funzione limitata.
Diciamo che f è integrabile nel parallelepipedo rettangolo P = [a,b]x[c,d]x[e,h] se esiste finito il limite
lim(n - > inf) Sn
dove Sn = ∑(h=1,n)∑(k=1,n)∑(j=1,n) |I hkj| * f(p hkj)
e I hkj è il sottoparallelepipedo rettangolo [x h-1,xh]x[y k-1,yk]x[z j-1,zj] di volume
| I hkj | = (b-a)(d-c)(h-e)/n^3
e p hkj è una qualsiasi scelta di punti in I hkj.
Tale limite non deve dipendere dalla scelta di p hkj e definisce l’integrale triplo
intintint(P) f(x,y,z)dxdydz = lim(n - > inf) Sn
Teorema: continuità e integrabilità su parallelepipedi rettangoli
Se f: [a,b]x[c,d]x[e,h] - > R è una funzione continua e limitata in P\E, dove E è misurabile e |E|=0, allora f è integrabile in P.
Formula di riduzione integrali tripli in parallelepipedi rettangoli
Sia f: [a,b]x[c,d]x[e,h] - > R una funzione continua.
Allora il suo integrale triplo si può calcolare come integrale iterato.
Def funzione integrabile in domini generali
Dati Ω c R3, insieme limitato, e f : Ω - > R3 funzione limitata, diciamo che f è integrabile in Ω se la funzione
f* = f(x,y,z) se (x,y,z) app Ω, 0 se (x,y,z) app P\Ω
risulta integrabile in P, dove P è un qualsiasi parallelepipedo rettangolo contente Ω.
In questo caso si pone
intintint(Ω) f(x,y,z)dxdydz = intintint(P) f*(x,y,z)dxdydz
Def insieme misurabile e misura
Un insieme limitato Ω c R3 si dice misurabile se f=1 è integrabile in Ω. Chiamiamo misura (o volume) di Ω |Ω| = intintint(Ω) 1 dxdydz
Def insieme di misura nulla
Diciamo che un insieme Ω ha misura nulla se è misurabile e |Ω| = 0
Proprietà integrale triplo
L’integrale triplo gode delle stesse proprietà dell’integrale doppio:
- linearità
- positività e monotonia
- additività
- annullamento
Def rappresentazione di domini per fili
Diciamo che Ω c R3 si può rappresentare per fili se
Ω = {(x,y,z) app R3 : (x,y) app D, g1(x,y) < = z < = g2(x,y)}
dove D è un dominio regolare di R2, e g1,g2: D - > R sono funzioni continue.
Def rappresentazione di domini per strati
Diciamo che Ω c R3 si può rappresentare per strati se
Ω = {(x,y,z) app R3: h1 < = z < = h2, (x,y) app D(z)}
dove h1,h2 app R e per ogni z app [h1,h2] D(z) è un dominio regolare del piano.
Teorema: integrazione per fili e per strati
Sia f : Ω - > R una funzione continua.
Allora
1) Se Ω è rappresentabile per fili, f risulta integrabile in Ω e vale la formula di integrazione per fili:
intintint(Ω) f(x,y,z)dxdydz = intint(D) [int(g1(x,y),g2(x,y)) f(x,y,z)dz] dxdy
2) Se Ω è rappresentabile per strati, f risulta integrabile in Ω e vale la formula di integrazione per strati:
intintint(Ω) f(x,y,z)dxdydz = int(h1,h1) [intint(D(z)) f(x,y,z)dxdy] dz
Teorema: Formula di cambiamento di variabili per gli integrali tripli
Sia T un diffeomorfismo tra Ω' e Ω aperti di R3. Sia E' c Ω' un insieme misurabile tale che cl(E) c Ω'. Allora anche E = T(E') c Ω è misurabile, cl(E) c Ω, e se f: cl(E) - > R è continua vale la formula: intintint(E=T(E')) f(x,y,z)dxdydz = intintint(E'=T^-1(E)) f(t1(u,v,w),t2(u,v,w),t3(u,v,w))*|det JT(u,v,w)| dudvdw Dove T(u,v,w)=[t1(u,v,w),t2(u,v,w),t3(u,v,w)]^T e il cambio di variabili associato è x=x(u,v,w)=t1(u,v,w) y=y(u,v,w)=t2(u,v,w) V(u,v,w) app Ω' z=z(u,v,w)=t3(u,v,w)
Analogamente al caso bidimensionale,
|det JT(u0,v0,w0)| dudvdw
rappresenta il volume approssimato del trasportato, mediante T, del parallelepipedo rettangolo
[u0,u0+du]x[v0,v0+dv]x[w0,w0+dw]
Coordinate cilindriche
Cambiamento di coordinate: x(ρ,θ,t)=ρcosθ y(ρ,θ,t)=ρsinθ z(ρ,θ,t)=t ρ > = 0, θ app [0,2pi), t app R
Matrice Jacobiana:
cosθ -ρsinθ 0
JT(ρ,θ,t)= sinθ ρcosθ 0
0 0 1
Jacobiano: det JT(ρ,θ,t) = ρ
Coordinate sferiche
Cambiamento di coordinate: x(ρ,θ,Φ)=ρcosθsinΦ y(ρ,θ,Φ)=ρsinθsinΦ z(ρ,θ,Φ)=ρcosΦ ρ > = 0, θ app [0, 2pi), Φ app [0, pi]
Matrice Jacobiana:
sinΦcosθ -ρsinΦsinθ ρcosΦcosθ
JT(ρ,θ,Φ)= sinΦsinθ ρsinΦcosθ -ρcosΦsinθ
cosΦ 0 -ρsinΦ
Jacobiano: det JT(ρ,θ,Φ) = -ρ^2 sinΦ
Def baricentro di un insieme
Sia Ω c R3 un insieme misurabile.
Si definisce baricentro di Ω il vettore (xB,yB,zB) dove:
xB = intintint(Ω) x dxdydz/intintint(Ω)dxdydz
yB = intintint(Ω) y dxdydz/intintint(Ω)dxdydz
zB = intintint(Ω) z dxdydz/intintint(Ω)dxdydz
Def media di una funzione integrabile
Sia Ω c R3 un insieme misurabile e f: Ω - > R continua e limitata.
Si definisce media di f in Ω la quantità:
f*= intintint(Ω) f(x,y,z) dxdydz/intintint(Ω)dxdydz
