Integrali doppi Flashcards
Def funzione integrabile su un dominio rettangolare
Sia f : [a,b]x[c,d] - > R una funzione limitata.
Diciamo che f è integrabile nel rettangolo R = [a,b]x[c,d] se esiste finito
lim(n - > +inf) Sn =
lim(n - > +inf) (b-a)(d-c)/n^2 * ∑(h=1,n)∑(k=1,n) f(phk)
e tale limite non dipende dalla scelta dei punti phk app Ihk.
In tal caso, questo limite si dice integrale doppio di f in R.
Teorema integrabilità su rettangoli e continuità
Sia f : [a,b]x[c,d] una funzione continua.
Allora f è integrabile secondo Riemann nel rettangolo R = [a,b]x[c,d]
Interpretazione integrale volume
Per una funzione f > = 0 continua, possiamo definire il volume della regione di R3 racchiusa tra il suo grafico e il piano xy :
VOL(T) = intint(R) f(x,y)dxdy
dove T = {(x,y,z) app R3 : (x,y) app R, 0 < = z < = f(x,y)}
Teorema: formula di riduzione
Sia f : [a,b]x[c,d] - > R una funzione continua. Allora il suo integrale doppio in R=[a,b]x[c,d] si può calcolare come integrale iterato: int int(R) f(x,y)dxdy = int(a,b) H(x)dx = int(c,d) G(y)dy dove H(x) = int(c,d) f(x,y)dy e G(y) = int(a,b) f(x,y)dx
Def funzione integrabile su domini non rettangolari
Sia f: Ω c R2 - > R una funzione limitata, con Ω limitato. Sia R=[a,b]x[c,d] un qualsiasi rettangolo tale che Ω c R. Definiamo con f*(x,y)= f(x,y) se (x,y) app Ω, 0 se (x,y) app R \ Ω. Diciamo che f è integrabile in Ω se f* è integrabile in R, e in tal caso poniamo int int(Ω) f(x,y) dxdy = int int (R) f*(x,y) dxdy
Def insieme misurabile e misura di un insieme
Un insieme limitato Ω c R2 si dice misurabile (secondo Riemann) se la funzione costante f=1 è integrabile in Ω.
In questo caso, si definisce misura (o area) di Ω la quantità:
|Ω| = int int (Ω) 1 dxdy
Def insieme di misura nulla
Un insieme Ω ha misura nulla se è misurabile e |Ω| = 0.
Relazione tra misurabilità e integrabilità
La misurabilità di un insieme Ω è il requisito minimo per poter integrare funzioni in Ω
Def dominio y-semplice
Un insieme Ω c R2 si dice y-semplice se esistono due funzioni continue g1, g2 : [a,b] - > R tali che
Ω = {(x,y) app R2 : x app [a,b], g1(x) < = y < = g2(x)}
Def dominio x-semplice
Un insieme Ω c R2 si dice x-semplice se esistono due funzioni continue h1, h2 : [c,d] - > R tali che
Ω = {(x,y) app R2 : y app [c,d], h1(y) < = x < = h2(y)}
Def dominio semplice
Un dominio Ω si dice semplice se è x-semplice o y-semplice
Def dominio regolare
Un dominio Ω si dice regolare se è l’unione finita disgiunta (a meno del bordo) di domini semplici
Teorema integrabilità in domini regolari e continuità
Sia f: Ω - > R una funzione continua, con Ω insieme regolare di R2.
Allora f è integrabile in Ω.
Proprietà dell’integrale doppio
Siano Ω c R2 un insieme misurabile e f,g : Ω - > R2 funzioni integrabili in Ω.
Allora valgono le seguenti proprietà:
1) LINEARITA': se a,b app R, la funzione af + bg è integrabile e int int (Ω) (af+bg)dxdy = a*int int (Ω) fdxdy + b*intint(Ω)gdxdy
2) POSITIVITA’ E MONOTONIA: Se f > = 0, allora
int int(Ω) f(x,y)dxdy > = 0.
Se f > = g in Ω, allora
intint(Ω) f(x,y)dxdy > = intint(Ω) g(x,y)dxdy
Come conseguenza:
|intint(Ω) f(x,y)dxdy| < = intint(Ω) |f(x,y)|dxdy
3) ADDITIVITA’: Se Ω = Ω1+Ω2, con Ω1 e Ω2 misurabili e tali che |Ω1 inters Ω2| = 0, allora
intint(Ω) f(x,y)dxdy = intint(Ω1) f(x,y)dxdy + intint(Ω2) f(x,y)dxdy
4) ANNULLAMENTO: Se |Ω| = 0, allora
intint(Ω) f(x,y)dxdy = 0
Teorema: formula di riduzione per integrali di funzioni continue su domini semplici
Sia f:Ω - > R2 continua, con Ω dominio y-semplice.
Allora il suo integrale doppio in Ω si può calcolare come integrale iterato:
intint(Ω) f(x,y)dxdy = int(a,b) (int(g1(x),g2(x)) f(x,y)dy) dx
Se Ω è x-semplice, analogamente:
intint(Ω) f(x,y)dxdy = int(c,d) (int(h1(y),h2(y)) f(x,y)dx) dy
Lemma 1
La formula di riduzione su un rettangolo R continua a valere per funzioni continue e limitate su R\E, con |E|=0
Lemma 2
Se Ω è un dominio semplice, allora |∂Ω| = 0
Def matrice Jacobiana e Jacobiano
Sia Ω un aperto di Rn e T:Ω - > Rn una funzione (trasformazione) C1(Ω): T(x)=T(x1,...,xn)=[t1(x),...,tn(x)].
Si definisce matrice Jacobiana:
(t1)x1 (t1)x2 ... (t1)xn
JT = (t2)x1 (t2)x2 ... (t2)xn
...
(tn)x1 (tn)x2 ... (tn)xn
Il determinante det JT si chiama Jacobiano di T.
Def diffeomorfismo tra due aperti di Rn
Siano Ω' e Ω due aperti di Rn. Diciamo che una trasformazione T: Ω' - > Ω è un diffeomorfismo tra Ω' e Ω se T app C1(Ω) T è biunivoca tra Ω' e Ω det JT(x) ! = 0 Vx app Ω'
In tal caso si può dimostrare che anche la trasformazione inversa T^-1 : Ω - > Ω’ è
C1(Ω)
JT^-1(y) = [JT(T^-1(y))]^-1 Vy app Ω
det JT^-1 = [det JT(T^-1(y))]^-1
Teorema: formula del cambiamento di variabili negli integrali doppi
Sia T un diffeomorfismo tra Ω’ e Ω, aperti di R2.
Sia E’ c Ω’ un insieme (limitato) misurabile tale che cl(E’) c Ω’.
Allora anche E=T(E’) è misurabile, limitato, e cl(E) c Ω.
Se f: cl(E) - > R è continua, vale la seguente formula: intint(E=T(E')) f(x,y)dxdy = intint(E'=T^-1(E)) f(t1(u,v),t2(u,v))*|detJT(u,v)|dudv Dove T(u,v) = [t1(u,v),t2(u,v)] V(u,v) app Ω' e il cambio di variabile: x=x(u,v)=t1(u,v) y=y(u,v)=t2(u,v)
Cambiamento di variabili tramite coordinate polari
Cambiamento di coordinate:
x(ρ,θ)=ρcosθ
y(ρ,θ)=ρsinθ
con θ app [0,2pi), ρ > = 0
Matrice Jacobiana:
JT(ρ,θ)= cosθ -ρsinθ
sinθ ρcosθ
Jacobiano: det JT(ρ,θ)=ρ
Cambiamento di variabili:
intint(Ω)f(x,y)dxdy = intint(Ω’) f(ρcosθ,ρsinθ) ρ dρdθ
Def integrale doppio improprio
Sia f: R2 - > R continua.
Diciamo che f è integrabile in R2 se esiste finito
lim(r - > +inf) intint(Cr) f(x,y)dxdy = intint(R2) f(x,y)dxdy
dove Cr={(x,y) app R2 : x^2+y^2 < = r^2}
Teorema: formula di riduzione per integrali impropri
Se f: R2 - > R è integrabile in R2 e f > = 0, allora:
intint(R2) f(x,y)dxdy = int(-inf,+inf)int(-inf,+inf) f(x,y)dxdy
