Integrali doppi

Question 1

Def funzione integrabile su un dominio rettangolare

Answer 1

Sia f : [a,b]x[c,d] - > R una funzione limitata.
Diciamo che f è integrabile nel rettangolo R = [a,b]x[c,d] se esiste finito
lim(n - > +inf) Sn =
lim(n - > +inf) (b-a)(d-c)/n^2 * ∑(h=1,n)∑(k=1,n) f(phk)
e tale limite non dipende dalla scelta dei punti phk app Ihk.
In tal caso, questo limite si dice integrale doppio di f in R.

Question 2

Teorema integrabilità su rettangoli e continuità

Answer 2

Sia f : [a,b]x[c,d] una funzione continua.

Allora f è integrabile secondo Riemann nel rettangolo R = [a,b]x[c,d]

Question 3

Interpretazione integrale volume

Answer 3

Per una funzione f > = 0 continua, possiamo definire il volume della regione di R3 racchiusa tra il suo grafico e il piano xy :
VOL(T) = intint(R) f(x,y)dxdy
dove T = {(x,y,z) app R3 : (x,y) app R, 0 < = z < = f(x,y)}

Question 4

Teorema: formula di riduzione

Answer 4

Sia f : [a,b]x[c,d] - > R una funzione continua. Allora il suo integrale doppio in R=[a,b]x[c,d] si può calcolare come integrale iterato:
int int(R) f(x,y)dxdy = int(a,b) H(x)dx = int(c,d) G(y)dy
dove H(x) = int(c,d) f(x,y)dy e G(y) = int(a,b) f(x,y)dx

Question 5

Def funzione integrabile su domini non rettangolari

Answer 5

Sia f: Ω c R2 - > R una funzione limitata, con Ω limitato. Sia R=[a,b]x[c,d] un qualsiasi rettangolo tale che Ω c R.
Definiamo con f*(x,y)= f(x,y) se (x,y) app Ω, 0 se (x,y) app R \ Ω.
Diciamo che f è integrabile in Ω se f* è integrabile in R, e in tal caso poniamo
int int(Ω) f(x,y) dxdy = int int (R) f*(x,y) dxdy

Question 6

Def insieme misurabile e misura di un insieme

Answer 6

Un insieme limitato Ω c R2 si dice misurabile (secondo Riemann) se la funzione costante f=1 è integrabile in Ω.
In questo caso, si definisce misura (o area) di Ω la quantità:
|Ω| = int int (Ω) 1 dxdy

Question 7

Def insieme di misura nulla

Answer 7

Un insieme Ω ha misura nulla se è misurabile e |Ω| = 0.

Question 8

Relazione tra misurabilità e integrabilità

Answer 8

La misurabilità di un insieme Ω è il requisito minimo per poter integrare funzioni in Ω

Question 9

Def dominio y-semplice

Answer 9

Un insieme Ω c R2 si dice y-semplice se esistono due funzioni continue g1, g2 : [a,b] - > R tali che
Ω = {(x,y) app R2 : x app [a,b], g1(x) < = y < = g2(x)}

Question 10

Def dominio x-semplice

Answer 10

Un insieme Ω c R2 si dice x-semplice se esistono due funzioni continue h1, h2 : [c,d] - > R tali che
Ω = {(x,y) app R2 : y app [c,d], h1(y) < = x < = h2(y)}

Question 11

Def dominio semplice

Answer 11

Un dominio Ω si dice semplice se è x-semplice o y-semplice

Question 12

Def dominio regolare

Answer 12

Un dominio Ω si dice regolare se è l’unione finita disgiunta (a meno del bordo) di domini semplici

Question 13

Teorema integrabilità in domini regolari e continuità

Answer 13

Sia f: Ω - > R una funzione continua, con Ω insieme regolare di R2.
Allora f è integrabile in Ω.

Question 14

Proprietà dell’integrale doppio

Answer 14

Siano Ω c R2 un insieme misurabile e f,g : Ω - > R2 funzioni integrabili in Ω.
Allora valgono le seguenti proprietà:

1) LINEARITA': se a,b app R, la funzione af + bg è integrabile e 
int int (Ω) (af+bg)dxdy = a*int int (Ω) fdxdy + b*intint(Ω)gdxdy

2) POSITIVITA’ E MONOTONIA: Se f > = 0, allora
int int(Ω) f(x,y)dxdy > = 0.
Se f > = g in Ω, allora
intint(Ω) f(x,y)dxdy > = intint(Ω) g(x,y)dxdy
Come conseguenza:
|intint(Ω) f(x,y)dxdy| < = intint(Ω) |f(x,y)|dxdy

3) ADDITIVITA’: Se Ω = Ω1+Ω2, con Ω1 e Ω2 misurabili e tali che |Ω1 inters Ω2| = 0, allora
intint(Ω) f(x,y)dxdy = intint(Ω1) f(x,y)dxdy + intint(Ω2) f(x,y)dxdy

4) ANNULLAMENTO: Se |Ω| = 0, allora
intint(Ω) f(x,y)dxdy = 0

Question 15

Teorema: formula di riduzione per integrali di funzioni continue su domini semplici

Answer 15

Sia f:Ω - > R2 continua, con Ω dominio y-semplice.
Allora il suo integrale doppio in Ω si può calcolare come integrale iterato:
intint(Ω) f(x,y)dxdy = int(a,b) (int(g1(x),g2(x)) f(x,y)dy) dx
Se Ω è x-semplice, analogamente:
intint(Ω) f(x,y)dxdy = int(c,d) (int(h1(y),h2(y)) f(x,y)dx) dy

Question 16

Lemma 1

Answer 16

La formula di riduzione su un rettangolo R continua a valere per funzioni continue e limitate su R\E, con |E|=0

Question 17

Lemma 2

Answer 17

Se Ω è un dominio semplice, allora |∂Ω| = 0

Question 18

Def matrice Jacobiana e Jacobiano

Answer 18

Sia Ω un aperto di Rn e T:Ω - > Rn una funzione (trasformazione) C1(Ω): T(x)=T(x1,...,xn)=[t1(x),...,tn(x)].
Si definisce matrice Jacobiana:
         (t1)x1  (t1)x2   ...  (t1)xn
JT = (t2)x1  (t2)x2  ...  (t2)xn
         ...     
        (tn)x1  (tn)x2  ...  (tn)xn

Il determinante det JT si chiama Jacobiano di T.

Question 19

Def diffeomorfismo tra due aperti di Rn

Answer 19

Siano Ω' e Ω due aperti di Rn.
Diciamo che una trasformazione T: Ω' - > Ω è un diffeomorfismo tra Ω' e Ω se 
T app C1(Ω)
T è biunivoca tra Ω' e Ω
det JT(x) ! = 0 Vx app Ω'

In tal caso si può dimostrare che anche la trasformazione inversa T^-1 : Ω - > Ω’ è
C1(Ω)
JT^-1(y) = [JT(T^-1(y))]^-1 Vy app Ω
det JT^-1 = [det JT(T^-1(y))]^-1

Question 20

Teorema: formula del cambiamento di variabili negli integrali doppi

Answer 20

Sia T un diffeomorfismo tra Ω’ e Ω, aperti di R2.
Sia E’ c Ω’ un insieme (limitato) misurabile tale che cl(E’) c Ω’.
Allora anche E=T(E’) è misurabile, limitato, e cl(E) c Ω.

Se f: cl(E) - > R è continua, vale la seguente formula:
intint(E=T(E')) f(x,y)dxdy = intint(E'=T^-1(E)) f(t1(u,v),t2(u,v))*|detJT(u,v)|dudv
Dove T(u,v) = [t1(u,v),t2(u,v)] V(u,v) app Ω'
e il cambio di variabile:
x=x(u,v)=t1(u,v)
y=y(u,v)=t2(u,v)

Question 21

Cambiamento di variabili tramite coordinate polari

Answer 21

Cambiamento di coordinate:
x(ρ,θ)=ρcosθ
y(ρ,θ)=ρsinθ
con θ app [0,2pi), ρ > = 0

Matrice Jacobiana:
JT(ρ,θ)= cosθ -ρsinθ
sinθ ρcosθ

Jacobiano: det JT(ρ,θ)=ρ

Cambiamento di variabili:

intint(Ω)f(x,y)dxdy = intint(Ω’) f(ρcosθ,ρsinθ) ρ dρdθ

Question 22

Def integrale doppio improprio

Answer 22

Sia f: R2 - > R continua.
Diciamo che f è integrabile in R2 se esiste finito
lim(r - > +inf) intint(Cr) f(x,y)dxdy = intint(R2) f(x,y)dxdy
dove Cr={(x,y) app R2 : x^2+y^2 < = r^2}

Question 23

Teorema: formula di riduzione per integrali impropri

Answer 23

Se f: R2 - > R è integrabile in R2 e f > = 0, allora:

intint(R2) f(x,y)dxdy = int(-inf,+inf)int(-inf,+inf) f(x,y)dxdy