Equazioni differenziali Flashcards
Def equazione differenziale ordinaria
Una equazione differenziale nell’incognita x(t), t app IcR, è una famiglia di identità del tipo F(t, x(t), x’(t), … , x(n)(t)) = 0 Vt app I, dove F: Rn+2 - > R e I = [a, b]
Edo in forma normale
Una edo si dice in forma normale se si può scrivere nella forma x(n)(t) = G(t, x(t), … , x(n-1)(t)) Vt app I, e G: Rn+1 - > R
Ordine di una edo
Una edo si dice di ordine n app N se in essa appare la derivata n-esima di x(t) e non appaiono derivate di ordine superiore
Soluzione particolare di una edo
Si dice soluzione o integrale particolare di una edo una qualsiasi funzione x0(t) : I - > R derivabile n volte in I tale che F(t, x0(t), x0’(t),…, x0(n)(t)) = 0 Vt app I
Soluzione generale di una edo
Si dice soluzione o integrale generale di una edo l’insieme di tutte le soluzioni particolari
Edo lineare
Una edo si dice lineare se F è un polinomio di primo grado nelle variabili x, x’, x’’, … , x(n), ovvero se è delle forma a0(t)x(n)(t)+a1(t)x(n-1)+…+an(t)x(t)=b(t) dove a0, a1, … , an, n : I - > R
Problema di Cauchy per una edo del primo ordine in forma normale
Si dice problema di Cauchy associato a una edo del primo ordine in forma normale il sistema:
x’(t) = G(t, x(t))
x(t0) = x0 app R
Edo a variabili separabili
Una edo del primo ordine (in forma normale) si dice a variabili separabili se è del tipo x’(t)=a(t)b(x(t))
con a: I - > R , b: J - > R, a e b CONTINUE, J aperto.
Teorema esistenza e unicità di PC per edo a variabili separabili sotto ipotesi aggiuntive
Dato il problema di Cauchy
x’ = a(t)b(x)
x(t0) = x0
con a: I - > R, b: J - > R, continue
per una edo a variabili separabili, esistono un intervallo I’ c I che contiene t0 e una funzione x app C1(I’) che risolve PC in I’.
Inoltre, se b app C1(J), allora la soluzione di PC è unica.
Edo del primo ordine lineare def
Una edo del primo ordine (in forma normale) è lineare se
x’(t) + a(t)x(t) = f(t) Vt app I
con a, f : I - > R continue
Struttura dell’integrale generale dell’equazione completa
Vale il principio di sovrapposizione degli effetti:
Integrale generale xc dell’equazione completa si ottiene sommando l’integrale generale xM dell’equazione omogenea associata con una soluzione particolare dell’equazione completa.
Teorema di esistenza e unicità del problema di Cauchy per una edo lineare
Siano a(t) e f(t) funzioni continue in un intervallo I e sia t0 app I.
Allora Vx0 app R esiste una e una sola soluzione del problema di Cauchy
x’(t) + a(t)x(t) = f(t) Vt app I
x(t0) = x0
e tale soluzione è data dalla formula …
Edo del secondo ordine in forma normale lineare def
Una edo lineare del secondo ordine (in forma normale) è del tipo
x’‘(t) + a(t)x’(t) + b(t)x(t) = f(t)
dove a, b, f : I - > R SONO CONTINUE
Problema di Cauchy per una edo lineare del secondo ordine
x’’ + a(t)x’ + b(t)x = f
x(t0) = x0
x’(t0) = x1
Buona positura (esistenza e unicità) del PC per edo lineari del secondo ordine
Siano a, b, f funzioni CONTINUE in I app R, t0 app I, x0, x1 app R.
Allora PC ha una e una sola soluzione x(t) app C2(t)
Teorema soluzione generale di una edo lineare del secondo ordine omogenea
La soluzione generale di una edo del secondo ordine lineare omogena è un sottospazio vettoriale di C2(I)
Dimensione spazio vettoriale delle soluzioni di una edo del secondo ordinelineare omogenea
Lo spazio vettoriale delle soluzioni di una edo omogenea lineare del secondo ordine ha dimensione 2
Struttura integrale generale dell’eq completa per edo del secondo ordine
La soluzione generale dell’eq completa si ottiene sommando alla soluzione generale dell’eq omogenea associata una soluzione particolare della completa
Teorema del Wronskiano
Due soluzioni x1 e x2 dell’omogenea associata sono linearmente indipendenti se e solo se la matrice Wronskiana W(t) è non singolare per qualche t0 app I, ovvero se e solo se
E t0 app I : | W(t0) | != 0.
Inotre, in questo caso, | W(t) | != 0 Vt app I.
Matrice Wronskiana
W(t) = (prima riga): x1(t), x2(t)
(seconda riga) x1’(t), x2’(t)
Vt app I
