Equazioni differenziali

Question 1

Def equazione differenziale ordinaria

Answer 1

Una equazione differenziale nell’incognita x(t), t app IcR, è una famiglia di identità del tipo F(t, x(t), x’(t), … , x(n)(t)) = 0 Vt app I, dove F: Rn+2 - > R e I = [a, b]

Question 2

Edo in forma normale

Answer 2

Una edo si dice in forma normale se si può scrivere nella forma x(n)(t) = G(t, x(t), … , x(n-1)(t)) Vt app I, e G: Rn+1 - > R

Question 3

Ordine di una edo

Answer 3

Una edo si dice di ordine n app N se in essa appare la derivata n-esima di x(t) e non appaiono derivate di ordine superiore

Question 4

Soluzione particolare di una edo

Answer 4

Si dice soluzione o integrale particolare di una edo una qualsiasi funzione x0(t) : I - > R derivabile n volte in I tale che F(t, x0(t), x0’(t),…, x0(n)(t)) = 0 Vt app I

Question 5

Soluzione generale di una edo

Answer 5

Si dice soluzione o integrale generale di una edo l’insieme di tutte le soluzioni particolari

Question 6

Edo lineare

Answer 6

Una edo si dice lineare se F è un polinomio di primo grado nelle variabili x, x’, x’’, … , x(n), ovvero se è delle forma a0(t)x(n)(t)+a1(t)x(n-1)+…+an(t)x(t)=b(t) dove a0, a1, … , an, n : I - > R

Question 7

Problema di Cauchy per una edo del primo ordine in forma normale

Answer 7

Si dice problema di Cauchy associato a una edo del primo ordine in forma normale il sistema:
x’(t) = G(t, x(t))
x(t0) = x0 app R

Question 8

Edo a variabili separabili

Answer 8

Una edo del primo ordine (in forma normale) si dice a variabili separabili se è del tipo x’(t)=a(t)b(x(t))
con a: I - > R , b: J - > R, a e b CONTINUE, J aperto.

Question 9

Teorema esistenza e unicità di PC per edo a variabili separabili sotto ipotesi aggiuntive

Answer 9

Dato il problema di Cauchy
x’ = a(t)b(x)
x(t0) = x0
con a: I - > R, b: J - > R, continue
per una edo a variabili separabili, esistono un intervallo I’ c I che contiene t0 e una funzione x app C1(I’) che risolve PC in I’.
Inoltre, se b app C1(J), allora la soluzione di PC è unica.

Question 10

Edo del primo ordine lineare def

Answer 10

Una edo del primo ordine (in forma normale) è lineare se
x’(t) + a(t)x(t) = f(t) Vt app I
con a, f : I - > R continue

Question 11

Struttura dell’integrale generale dell’equazione completa

Answer 11

Vale il principio di sovrapposizione degli effetti:
Integrale generale xc dell’equazione completa si ottiene sommando l’integrale generale xM dell’equazione omogenea associata con una soluzione particolare dell’equazione completa.

Question 12

Teorema di esistenza e unicità del problema di Cauchy per una edo lineare

Answer 12

Siano a(t) e f(t) funzioni continue in un intervallo I e sia t0 app I.
Allora Vx0 app R esiste una e una sola soluzione del problema di Cauchy
x’(t) + a(t)x(t) = f(t) Vt app I
x(t0) = x0
e tale soluzione è data dalla formula …

Question 13

Edo del secondo ordine in forma normale lineare def

Answer 13

Una edo lineare del secondo ordine (in forma normale) è del tipo
x’‘(t) + a(t)x’(t) + b(t)x(t) = f(t)
dove a, b, f : I - > R SONO CONTINUE

Question 14

Problema di Cauchy per una edo lineare del secondo ordine

Answer 14

x’’ + a(t)x’ + b(t)x = f
x(t0) = x0
x’(t0) = x1

Question 15

Buona positura (esistenza e unicità) del PC per edo lineari del secondo ordine

Answer 15

Siano a, b, f funzioni CONTINUE in I app R, t0 app I, x0, x1 app R.
Allora PC ha una e una sola soluzione x(t) app C2(t)

Question 16

Teorema soluzione generale di una edo lineare del secondo ordine omogenea

Answer 16

La soluzione generale di una edo del secondo ordine lineare omogena è un sottospazio vettoriale di C2(I)

Question 17

Dimensione spazio vettoriale delle soluzioni di una edo del secondo ordinelineare omogenea

Answer 17

Lo spazio vettoriale delle soluzioni di una edo omogenea lineare del secondo ordine ha dimensione 2

Question 18

Struttura integrale generale dell’eq completa per edo del secondo ordine

Answer 18

La soluzione generale dell’eq completa si ottiene sommando alla soluzione generale dell’eq omogenea associata una soluzione particolare della completa

Question 19

Teorema del Wronskiano

Answer 19

Due soluzioni x1 e x2 dell’omogenea associata sono linearmente indipendenti se e solo se la matrice Wronskiana W(t) è non singolare per qualche t0 app I, ovvero se e solo se
E t0 app I : | W(t0) | != 0.
Inotre, in questo caso, | W(t) | != 0 Vt app I.

Question 20

Matrice Wronskiana

Answer 20

W(t) = (prima riga): x1(t), x2(t)
(seconda riga) x1’(t), x2’(t)
Vt app I