Tölfræði frá grunni / 5

Question 1

Slembistærð (random variable) lýsir ?

Answer 1

Útkomu breytu áður en hún er mæld.

Question 2

Ritháttur slembistærða (syntax for random variables)

​
.

Answer 2

Við táknum slembistærð með stórum staf, oft X, eða staf úr gríska stafrófinu, t.d. β.

Við táknum gildi sem slembistærð hefur tekið með litlum staf, oft x, eða með því að setja hatt yfir stafinn úr gríska stafrófinu
​
.

Question 3

Strjálar slembistærðir (discrete random variables) ?

Answer 3

Strjálum breytum. Þær geta eingöngu tekið endanlega mörg gildi á sérhverju takmörkuðu bili.

Question 4

Samfelldar slembistærðir (continuous random variables) lýsa ?

Answer 4

Samfelldum breytum. Þær geta tekið hvaða gildi sem er á einhverju bili.

Question 5

Við segjum að tvær slembistærðir séu óháðar slembistærðir (independent random variables) ef ?

Answer 5

Útkoma annarrar slembistærðarinnar hefur engin áhrif á hver útkoma hinnar slembistærðarinnar verður.

Question 6

Við segjum að tvær slembistærðir séu háðar slembistærðir (dependent random variables) ef ?

Answer 6

Séu háðar ef þær eru ekki óháðar, það er ef útkoma annarrar breytunnar veldur því að einhverjar útkomur hinnar breytunnar verði líklegri eða ólíklegri en ella.

Question 7

Hvað er Væntigildi slembistærðar?

Answer 7

Væntigildi slembistærðar er raunverulegt meðaltal slembistærðarinnar. Það er ýmist táknað með μ eða E[X]. Það er einnig kallað meðaltal þýðis (e. population mean) þegar við á.

Question 8

Hvað segir Lögmál mikils fjölda (law of large numbers) okkur?

Answer 8

Lögmál mikils fjölda segir okkur að eftir því sem við höfum stærra úrtak því nær meðaltali þýðisins verður meðaltal útkomanna okkar. Það segir okkur líka að eftir því sem við höfum fleiri mælingar á breytu, því nær raunverulegu meðaltali breytunnar verður meðaltal mælinganna.

Question 9

Hvað er Línuleg umbreyting (Linear transformation)?

Answer 9

Oft eru mælingar á samfelldum breytum ekki á þeim kvarða sem við hefðum viljað. Oftar en ekki dugar línuleg umbreyting til að koma gögnunum á kvarða sem við skiljum.

Línuleg umbreyting slembistærðarinnar X með samlagningarstuðulinn a og margföldunarstuðulinn b er slembistærðin a + b.

Question 10

Hvað er Massafall (mass function)?

Answer 10

Með massafalli (e. mass function) reiknum við líkur stakra útkoma strjálla slembistærða.

Question 11

Sérhver tilraun í safni endurtekinna tilrauna flokkast sem Bernoulli tilraun (Bernoulli trial) ef eftirfarandi gildir:

Answer 11

1. Hver tilraun hefur aðeins tvær mögulegar útkomur. Það er venja að kalla þessar útkomur jákvæða útkomu (e. success) og neikvæða útkomu (e. failure).
2. Líkurnar á jákvæðri útkomu eru þær sömu í hverri tilraun fyrir sig.
3. Útkoma í einni tilraun hefur ekki áhrif á útkomu í annarri tilraun, þ.e.a.s. mælingarnar eru óháðar (e. independent).

Question 12

Oft höfum við eingöngu áhuga á því að reikna hversu oft við sjáum jákvæða útkomu meðal safns Bernoulli tilrauna. Við gætum til dæmis viljað reikna líkurnar á því að fá tvær sexur (sem væru þá jákvæða útkoman) þegar teningi er kastað fimm sinnum. Þá er þægilegt að líta á heildarfjölda jákvæðra útkoma sem eina slembistærð, XX. Hún hefur þekkta líkindadreifingu, sem kallast tvíkostadreifingin, hvernig er henni lýst?

Answer 12

Henni lýst með stikunum n, sem er fjöldi Bernoulli tilrauna sem framkvæmdar eru, og p sem er líkurnar á því að hver og ein Bernoulli tilraun heppnist.

Question 13

Hvað er Tvíliðustuðullinn (binomial coefficient)?

Answer 13

Tvíliðustuðullinn gefur okkur á hversu marga vegu við getum fengið k jákvæðar útkomur í n tilraunum.

Question 14

Hvað er Poisson dreifingin ?

Answer 14

Poisson dreifingin er oft notuð til að lýsa fjölda slembinna atvika sem eiga sér stað á ákveðinni einingu en mögulegar útkomur hafa engin efri mörk.

Einingarnar geta sem dæmi verið tímabil, svæði eða einhver hlutur.

Sem dæmi má nefna fjölda símtala til nemendaskrár á mínútu, fjölda hreindýra á ferkílómetra og fjölda innsláttarvillna á blaðsíðu.

Question 15

Tvíkostadreifinguna notum við þegar ?

Answer 15

Við höfum endanlegan fjölda tilrauna og við vitum líkurnar á því að hver og ein tilraun heppnist.

Question 16

Poisson dreifinguna notum við þegar ?

Answer 16

Við höfum engin efri mörk á fjölda tilrauna og við vitum meðalfjölda jákvæðra útkoma á tiltekna einingu.

Question 17

Hvað er Dreififall (Distribution function) ?

Answer 17

Með dreififalli reiknum við líkurnar á að samfelld slembistærð XX taki gildi sem er minna en viðmiðunargildið xx.

Question 18

Hvað er Þéttifall og þéttiferill (Density function and density curve)?

Answer 18

Þéttifall (e. density function) er táknað með f(x) og kallast graf þess þéttiferill (density curve).

Flatarmálið undir þéttiferlinum milli tveggja stærða a og b er jafnt P(a

Question 19

Hvernig er Normaldreifingunni (normal distribution) lýst ?

Answer 19

Normaldreifingunni er lýst með stikunum μ, sem er meðaltal hennar og σ^2 sem er dreifni hennar.

Question 20

Hvað er stöðluð normaldreifing?

Answer 20

Normaldreifing með meðaltal μ=0 og dreifni σ^2 =1 er kölluð staðlaða normaldreifingin.

Question 21

Hefð er fyrir því að tákna slembibreytur sem fylgja stöðluðu normaldreifingunni með bókstafnum ?

Answer 21

Z

Question 22

Rithátturinn za

Answer 22

Með za táknum við það z-gildi sem er þannig að slembistærð sem fylgir stöðluðu normaldreifingunni hefur líkurnar a að taka gildi sem er minna en za
​
.

Question 23

Hvað er Normaldreifingarrit (normal probability plot)?

Answer 23

Normaldreifingarrit er myndræn aðferð til að kanna hvort gögn fylgi normaldreifingu eða ekki.

Question 24

Hvernig vitum við hvort gögnin fylgi normaldreifingu?

Answer 24

Ef punktarnir á normaldreifingarritinu liggja nálægt beinu línunni sem sýnd er á ritinu og endapunktarnir báðum megin sveigjast ekki afgerandi upp eða niður þá er ásættanlegt að gera ráð fyrir að gögnin fylgi normaldreifingu.

Question 25

Hvað er t-dreifingin (Student’s t) ?

Answer 25

Hún er samfelld líkindadreifing sem minnir á normaldreifinguna. Hún er bjöllulaga og samhverf um meðaltal dreifingarinnar sem er 0.

t-dreifingin hefur einn stika sem kallast frígráður . Hann ræður lögun hennar. Við táknum fjölda frígráða með bókstafnum k. t-dreifingu með k frígráður táknum við með t(k)
​
.

Question 26

Hvað er X^2 -dreifingin (lesist kí-kvaðrat dreifingin)?

Answer 26

Er samfelld líkindadreifing og er hún mikið notuð í ályktunartölfræði. Hún er ekki samhverf eins og normaldreifingin. X^2 -dreifingin hefur einn stika, kallaður frígráður, sem ræður lögun hennar.

Question 27

Hvað er F-dreifingin ?

Answer 27

F-dreifingin er samfelld líkindadreifing sem við munum nota þegar kemur að ályktunartölfræði. Líkt og X^2-dreifingin er hún ekki samhverf. F-dreifingin hefur tvo stika sem við köllum frígráður og táknum með v1 og v2. Lögun dreifingarinnar ræðst af fjölda frígráða.

Question 28

Hver er munurinn á samfelldum og strjálum slebistærðum ?

Answer 28

Meginmunur samfelldra og strjálla slembistærða er sá að samfelldar slembistærðir geta tekið hvaða gildi sem er á einhverju bili. Þar af leiðandi eru líkurnar á að samfelld slembistærð taki eitthvert eitt tiltekið gildi engar.

Question 29

Hvað er Stiki?

Answer 29

Sérhverri gerð líkindadreifingar er lýst með tölum sem kallast stikar (parameters) líkindadreifingarinnar.

Vitum við af hvaða gerð líkindadreifing slembistærðar er, gefa gildin
á stikum hennar okkur allar þær upplýsingar sem hægt er að fá um
slembistærðina.

Question 30

Óháðar og einsdreifðar slembistærðir

Answer 30

Við segjum að slembistærðir X1, . . . , Xn séu óháðar (indipendent) ef hver þeirra er óháð öllum hinum og einsdreifðar (identically distributed) ef þær hafa allar sömu líkindadreifinguna.