teoria della finanza

Question 1

qual’è il problema della teoria della finanza?

Answer 1

il problema consiste nell’allocare una certa ricchezza tra n attività rischiose. è quindi un problema decisionale e la teoria delle decisioni prevede 3 casi:
- in condizioni di certezza
- in condizioni di incertezza
- asimmetria informativa e interazione strategica

Question 2

cosa dice la teoria decisionale in condizioni di certezza?

Answer 2

è molto semplice; ad ogni azione corrisponde una certa conseguenza: la funzione che collega ciascun azione a una conseguenza è detta ATTO. in questo caso prendere una decisione ottimale significa semplicemente individuare la conseguenza preferita che massimizza la funzione di utilità (quindi sostituendo ogni c in u(c) e vedere quale genera un u maggiore) e individuare l’azione che porta a quella conseguenza.
ciò chiaramente vale se abbiamo una f. di utilità.

Question 3

cosa sono i concetti di preferenza e funzione di utilità?qual e l eccezione in cui non serve la f. Di utilità?

Answer 3

si dice che il decisore ha una preferenza, che si indica con >=, quando posto davanti a 2 conseguenze è in grado di stabilire quale delle 2 preferisce.

una funzione u si dice funzione di utilità che rappresenta l’ordinamento di preferenze se: c1>=c2 SE E SOLO SE u(c1) >= u(c2)

c’è un ECCEZIONE: quando le conseguenze sono monetarie u non serve in quanto è sufficente l’assioma di NON SAZIETA’ secondo cui di fronte a 2 somme monetarie la maggiore è sempre preferita.

Question 4

cosa dice la teoria decisionale in condizioni di incertezza? che ipotesi semplificatrice facciamo noi?

Answer 4

qui le conseguenze non dipendono solo dall’insieme delle azioni A ma anche dall’insieme dei possibili scenari/stati del mondo S. qui c è una funzione sia di a che di s. può quindi succedere che in uno scenario u(c1) > u(c2) mentre in un altro u(c2) > u(c1)

nelle nostre analisi noi ipotizzeremo che S è un insieme FINITO per le cui realizzazioni esiste una distribuzione di probabilità NOTA e CONDIVISA : (c’è quindi SIMMETRIA informativa) da tutti e INDIPENDENTE dagli agenti

Question 5

cosa dice la teoria decisionale in condizioni di asimmetria informativa e interazione strategica?

Answer 5

nel mondo reale non tutti hanno le stesse info; spesso qualcuno ha più conoscenza sugli scenari futuri e gli altri cercano di estrapolare queste info dalle loro azioni; i decisori quindi sanno che la loro azione genererà delle risposte di altre persone (es. Warren Buffet): questa è L’INTERAZIONE STRATEGICA.
qui le conseguenza dipendono da 3 cose:
- azione
- risposta r(a): non controllabile e parzialmente prevedibile
- scenario: non controllabile e imprevedibile

Question 6

Elenca alcune proprietà delle preferenze e di quali sono necessarie affinchè esista una funzione di utilità.
la funzione di utilità che rappresenta una relazione di preferenza è unica?

Answer 6

• le preferenze sono complete se dati 2 pacchetti a e b siamo SEMPRE in grado di dire se preferiamo a, b o sono indifferenti
• le preferenze soddisfano la transitività quando se a>=b e b>=c allora a è >=c
• Le preferenze sono continue se dati 2 pacchetti di consumo che tendo a x e y; se xn> yn per tutte le n allor anche x sarà > a y (la preferenza si conserva sui valori limite).

le prime 2 sono NECESSARIE affinchè una preferenza sia razionale e rappresentabile con una f. di utilità; la 1, la 2 e la 3 sono SUFFICENTI a garantire l’esistenza di una f. di utilità.

no; NON è mai unica. ne posso costruire un altra per ogni funzione STRETTAMENTE CRESCENTE che trovo: ne posso quindi costruire infinite. —-> dimostrazione sugli appunti (si basa sul fatto che l’unica cosa che conta è l’ordine non il valore dell’indice di utilità)

Question 7

qual’è lo scopo della teoria dell’utilità attesa?

Answer 7

essa risponde al quesito su come si comporta un individuo razionale nella scelta tra diverse opzioni quando ciascuna di esse ha un esito incerto.
l’intuizione di base è che il criterio di decisione è dato da un qualche indice statistico U(a).

per elaborare prendiamo il setup più semplice in cui gli atti possono essere rappresentati come lotterie binarie e facciamo una serie di ipotesi/convenzioni):
1)[x,y,1] = x
[x,y;pi greco]= [y,x, 1-pigreco]
guarda appunti
2) >= è completa e transitiva
3) >= è continua
4) se y >= z allora [x,y, pi greco] >= [x,z, pigreco]: assioma di indipendenza
5) supponiamo che esiste sempre una strategia migliore delle altre e una peggiore

guarda le 2 conseguenze banali

TEOREMA: se le proprietà dalla 1 alla 5 sono soddisfatte allora esiste una funzione di utilità U tale che rappresenta la preferenza e in particolare esiste una funzione u tale che U(x,y, pi greco)= pigreco* u(x) + (1-pigreco)*u(y)

U è chiamata funzione di utilità di von Newmann- Morgenster o utilità attesa e u l’utilità associata alla funzione monetaria.

Mentre U è cosi per tutti i decisori la u cambia da persona a persona.

il risultato può essere esteso a lotterie non binarie con tanti stati del mondo ottenendo il funzionale di von neuman- morgenster che è uguale alla sommatoria delle probabilità di ciascuno stato del mondo pi greco moltiplicate per l’utilità associata alla funzione monetaria u per ogni stato del mondo e viene anche indicato come E(u(c))

Question 8

cosa e quali sono i paradossi al paradigma dell’utilità attesa?

Answer 8

sono dei comportamenti empirici che deviano rispetto a ciò che direbbe la teoria dell’utilità attesa (anomalie comportamentali). alcuni sono.
1) paradosso di allais
2) paradosso di ellsberg
3) i paradossi di kahnemann-zuesky: la prospect theory
4) la preferenza per la risoluzione temporale dell’incertezza (kreps e portens)
5) paradosso di condorchet

Question 9

in cosa consiste il paradosso di allais?

Answer 9

nel fatto che gli individui empiricamente tendano a scegliere una lotteria che da 1000 euro certi rispetto ad una che da 5000 euro nel 10% dei casi, 1000 nel 89% e 0 nell’1% e tendono a preferire una lotteria che da 5000 euro nel 10% dei casi e 0 nel 90% rispetto ad una che da 1000 euro nell’11% dei casi e 0 nel 89% quando queste 2 preferenze sono in CONTRADDIZIONE tra loro secondo la teoria dell’utilità attesa.

Question 10

in cosa consiste il paradosso di ellsberg?

Answer 10

questo paradosso riflette l’avversione all’ambiguità. egli ha empiricamente dimostrato che date 30 palline rosse e 60 tra le nere e le blu e data una strategia che da 100 se esce una pallina rossa e 0 altrimenti e 1 che da 100 se esce una pallina nera e 0 altrimenti le persone preferiscono la prima perchè è più TRASPARENTE da un punto di vista probabilistico. allo stesso modo per lo stesso modo le persone preferiscono una strategia che da 100 se la pallina è nera o blu e 0 altrimenti rispetto ad una che da 100 se è rossa o blu e 0 altrimenti. queste 2 preferenze sono in CONTRADDIZIONE con quanto dovrebbe accadere secondo la teoria dell’utilità attesa

Question 11

in cosa consistono i paradossi di kahnemann-zuesky e cos’è la prospect theory?cosa sono i decision weight?

Answer 11

1) effetto di riflessione= mette in luce un asimmetria comportamentale tra vincite e perdite. infatti mentre molti preferiscono una lotteria in cui vinci 3000 euro sicuri rispetto a una in cui vinci 4000 con probabilità 80% e 0 con probabilità 20%, gli stessi preferiscono una lotteria in cui con probabilità 80% perdi 4000 e con probabilità 20% perdi 0 rispetto ad una in cui sicuramente perdi 3000.

2) effetto di certezza= hanno visto empiricamente come molte persone poste davanti a una lotteria in cui vinci 4000 con 80% di probabilità e 0 con 20% e una in cui vinci 3000 sicuro scelgono la seconda mentre se alla prima sostituisci una lotteria che ti da 4000 il 20% delle volte e 0 le restanti e alla seconda lotteria ne sostituisci una in cui vinci 3000 il 25% delle volte o 0 altrimenti le persone preferiscono la prima.
queste 2 preferenze sono in contraddizione secondo la teoria dell’utilità attesa.

prospect theory= i 2 autori che hanno dimostrato questi 2 effetti (paradossi alla teoria dell’utilità attesa) hanno cercato di proporre quindi un modello alternativo a quello dell’utilità attesa che concepisse questi paradossi; la cosiddetta “prospect theory”. la tradizionale funzione di utilità u viene sostituita con una funzione valore v sulle perdite e che è definita in base ai guadagni e perdite sulla ricchezza iniziale e non finale e che è CONCAVA sui guadagni e CONVESSA sulle perdite; inoltre le tradizionali probabilità vengono sostituite con i decision weights (pigreco) che sono una trasformazione non lineare delle probabilità.

Question 12

in cosa consiste la preferenza per la risoluzione temporale dell’incertezza? cosa propongono gli autori? Cos e alpha e quando questo valore riflette una maggior preferenza per la risoluzione temporale dell incertezza?

Answer 12

kreps e portens si accorgono che il modello di vonnewman-morgester non tiene conto di una cosa importante ovvero del TEMPO che spesso ha un impatto sulle decisioni. ad esempio se consideriamo due lotterie in cui nella prima al tempo t1 hai 100 con probabilità pigreco e 100 con probabilità pi greco e in t2 hai 10 nel primo caso e 20 nel secondo e un’altra in cui hai invece 100 in t1 e 10 con probabilità pigreco in t2 e 20 con probabilità 1-pigreco; esse dal punto di vista della teoria dell’utilità attesa sono equivalenti ma i decisori potrebbero preferire una all’altra in base alle loro preferenze sulla risoluzione temporale dell’incertezza che nella prima lotteria è anticipata e nella seconda è posticipata.

essi quindi propongono una funzione, detta aggregatore temporale di preferenze, in cui viene incluso un parametro B che assegna un diverso peso ai consumi temporalmente diversi (è una sorta di peso temporale) e un parametro ALFA che ci dice quanto è importante il momento di risoluzione dell’incertezza per il decisore: più alfa è minore di 1 più il decisore preferisce la risoluzione anticipata e più è grande di 1 più preferisce quella posticipata mentre quando è uguale a 1 è indifferente

Question 13

in cosa consiste il paradosso di Condorchet?

Answer 13

consiste nell’osservazione del fatto che, mentre individualmente il paradigma della transitività delle preferenze che è uno di quelli su cui si basa la teoria dell’utilità attesa quasi mai viene violato, una collettività speso può NON essere transitiva.
consideriamo ad esempio tre candidati per una carica: A, B e C. se per 1/3 dei votanti A>B>C, per 1/3 B>C>A e per 1/3 C>A>B allora avremo che per 2/3 dei votanti A>B e B>C perciò per la transitività delle preferenze dovremmo avere che A>C ma in realtà C>A per i 2/3 dei votanti.

Question 14

cos’è una lotteria equa?
cos ‘è l’avversione al rischio?

Answer 14

una lotteria si dice equa se il suo costo iniziale p per poter accedere a questa lotteria è pari al valore atteso di tutti i possibili payoff (E(z)).
perciò se un individuo accetta di giocare una lotteria equa la sua ricchezza finale y1 sarà una variabile aleatoria pari a y0 (ricchezza iniziale)+ z (esito lotteria: è aleatorio ed è ciò che fa rendere aleatoria la ricchezza finale) - p (prezzo lotteria).

si dice che le preferenze di un individuo mostrino avversione al rischio SE egli RIFIUTA di giocare una lotteria equa (qualunque sia la sua ricchezza iniziale); ciò accade se E( u (y0+z-p) ) < u (y0). egli preferisce l’utilità associata alla cifra certa y0 rispetto al valore atteso dell’utilità associata a y1

Question 15

quali sono le conseguenze dell’avversione al rischio sulla forma della funzione di utilità?
Quando una funzione e concava?

Answer 15

facendo una serie di passaggi matematici presenti sugli appunti si può dimostrare come la funzione di utilità di un individuo avverso al rischio sia CONCAVA (dimostrazione fatta con lotterie eque e gratuite ma che si può estendere anche ai casi generali: esiste infatti un teorema che dice che l’avversione al rischio si ha SE E SOLO SE la f. di utilità è concava e viceversa), quella di un individuo amante del rischio sia convessa e quello di uno neutrale al rischio sia ne concava ne convessa.

una funzione concava è una funzione che ha la derivata seconda minore di 0 come ad esempio la funzione logaritmica ln(y). una funzione convessa ha invece derivata seconda maggiore di 0 come la funzione esponenziale e^y mentre una funzione ne concava ne convessa ha derivata seconda nulla.

Question 16

cosa afferma la disuguaglianza di Jensen? a cosa porta per un individuo avverso al rischio?

Answer 16

essa afferma che data una funzione concava si ha sempre che E (f(x)) < f (E(x)).
un individuo con una f. di utilità che rispetta le assunzioni della diseguaglianza di jensen ed è quindi avverso al rischio RIFIUTERA’ SEMPRE una lotteria equa: preferisce un ammontare certo x rispetto a una lotteria rischiosa con valore atteso x
(guarda gli esempi sul libro pag 16)

Question 17

guardando alla funzione di utilità siamo in grado di dire se un soggetto è avverso al rischio o no ma come facciamo a dire QUANTO sia avverso al rischio e come facciamo a comparare 2 individui per capire quale sia più avverso al rischio dei due? Cosa indica l’ RRA?

Answer 17

la derivata seconda della f. di utilità potrebbe essere un indicatore ma sfortunatamente non lavora molto bene; ad esempio se consideriamo una f. di utilità u(y) e una g(y)= b+ au(y) con a>0 esse rappresentano entrambe le stesse preferenze ma se si guarda alle derivate seconde esse sono diverse e quindi concluderemmo che il secondo individuo è più avverso al rischio quando in realtà non è vero.
per avere una misura corretta di avversione al rischio dobbiamo avere un indice che NON è affetto da trasformazioni affini. per costruirlo partiamo da un assumption: diciamo che la derivata prima della f. di utilità è sempre positiva in base al principio di non sazietà (più ricchezza porta più utilità).
dopo di chè possiamo costruire un indice , detto coefficente di avversione al rischio assoluto a un certo livello di ricchezza W ARAuw, prendendo il rapporto, con il MENO davanti (cosi da ottenere un numero positivo), tra la derivata seconda e la derivata prima della f. di utilità. più l’ARA è alto più la funzione è concava e quindi maggiore è l’avversione al rischio.
una misura alternativa di avversione al rischio è il coefficente relativo di avversione al rischio RRA che è pari all’ARA*W (livello di ricchezza). Questo indice misura l’aumento percentuale di ricchezza che l’agente richiede per accettare una scommessa rischiosa per un certo livello di ricchezza iniziale W.

Question 18

cosa succede nel mondo reale dal punto di vista delle assunzioni fatte sulla f. di utilità?

Answer 18

• la non sazietà, ovvero il fatto che la derivata prima della f. di utilità sia positiva, è generalmente un ipotesi valida soprattutto per ammontari non troppo alti
• l’avversione al rischio, OVVERO la derivato seconda della f. di utilità negativa, sembra anch’essa un assunzione valida
• l’ammontare investito in asset rischiosi aumenta all’aumentare della ricchezza iniziale dell’individuo
• RRA è una descrizione più ragionevole dell’avversione al rischio rispetto all’ARA

Question 19

un decisore avverso al rischio è disposto a rinunciare a un importo certo pari al valore atteso di una lotteria z in cambio della stessa lotteria z?
cos’è il certo equivalente? e il premio al rischio?

Answer 19

la risposta è NO. per dimostrarlo partiamo dal fatto che per un soggetto avverso al rischio y0 è preferito a y0 +z -E(z) e aggiungiamo un k a entrambi i membri che poi poniamo arbitrariamente pari a E(z) che è un numero. in questo modo otteniamo che y0+ E(z) > Y0 + Z ma ciò vale solo per un decisore avverso al rischio; se fosse neutrale al rischio ci sarebbe un uguale e se fosse risk lover un minore.
applicando la definizione u( y0+ E(z)) > E[u(y0+z)); per eliminare la disuguaglianza siccome u è una funzione crescente devo ridurre l’argomento al primo membro.

Esisterà quindi una somma certa c< E(z) tale che la diseguaglianza diventi una uguaglianza e tale somma certa è detta CERTO EQUIVALENTE: esso è il valore certo che il decisore avverso al rischio sarebbe indifferente nel ricevere piuttosto che nel giocare la lotteria z (siccome il decisore è avverso al rischio esso è minore del valore atteso della lotteria in quanto egli è disposto a liberarsi della lotteria rischiosa in cambio di una somma certa minore del suo valore atteso).
dunque la sua definizione è: data una ricchezza iniziale y0 e una lotteria z, si dice certo equivalente di z al livello y0 la somma certa CE tale che u(y0+ CE)= E[u(y0+z)].

La differenza tra E(z) e CE è detta PREMIO AL RISCHIO (pigreco(z)) che per un decisore avverso al rischio è sempre positivo in quanto CE>E(z).
dunque un investitore avverso al rischio è disposto a rinunciare a una somma certa E(z) in cambio della lotteria z E di una somma fissa aggiuntiva pigreco(z) ovvero il premio al rischio e allo stesso modo è disposto a pagare il premio al rischio per scambiare la lotteria z con la somma certa pari al suo valore atteso.

per un decisore neutrale al rischio CE= E(z) e il premio al rischio è nullo mentre per uno propenso al rischio CE>E(z) e il premio al rischio è negativo.

Question 20

spiega perchè il concetto di premio al rischio e avversione al rischio siano alla base del business delle assicurazioni e fai un esempio

Answer 20

le persone di solito comprano le assicurazioni per ridurre il danno in caso di eventi incerti e terribili e l’avversione al rischio delle persone e la loro disponibilità a pagare un premio al rischio è ciò che permette alle compagnie assicurative di fare dei profitti e non fallire.
facciamo questo esempio:
considera un auto dal valore di 20 e c’è un 10% di probabilità che un incidente possa ridurre il suo valore a 5 mentre nel 90% dei casi il valore rimane 20. una persona potrebbe voler evitare il rischio che la macchina scenda di valore comprando un assicurazione che copra i rischi in caso di incidente. in questo caso il pagamento atteso per l’assicuratore sarebbe quindi di 1,5 ovvero 150,1 + 00,9 ma se l’assicuratore chiedesse questa cifra per l’assicurazione in media avrebbe un profitto nullo e non potrebbe vivere a lungo perciò dovrà richiedere un ammontare superiore che il decisore accetterà perchè avverso al rischio. per trovare l’ammontare massimo che l’assicuratore può richiedere senza che la sua proposta venga rifiutata egli deve trovare il certo equivalente per il decisore e sottrarlo al valore iniziale della macchina ossia 20.
ad esempio se la funzione di utilità del decisore fosse u= - e^(-0.1y) allora potrei trovare CE uguagliando E(u(Y)) e u(CE(Y)) dove il primo è 0,9-e^(-0.120) +0,1-e^(-0,15) e il secondo -e^(-0,1*x). svolgendo i passaggi si ottiene che x ossia il certo equivalente è 17. 01 e perciò il massimo ammontare che si può richiedere senza che la proposta sia rifiutata è 2,99 di cui 1,5 è la compensazione per la perdita attesa e 1,49 è il premio al rischio

Question 21

in cosa consiste il basic portfolio problem?

Answer 21

nell’applicazione del modello sull’utilità attesa per la risoluzione di un problema di decisione in condizioni di incertezza ovvero per la decisione su come allocare la ricchezza tra una serie di asset con payoff incerto. il caso più semplice è quello in cui ci sono 2 titoli, uno rischioso e l’altro no, e 2 stati del mondo e bisogna scegliere come alloccare la ricchezza tra i 2 titoli per massimizzare l’utilità attesa rispettando il vincolo di budget. quindi per trovare l’allocazione ottimale del portafoglio dobbiamo fare la derivata prima dell’utilità attesa rispetto ad a, che è la quota di ricchezza da allocare nel titolo rischioso, e porla uguale a 0: questa è la FOC (nelle funzioni concave sappiamo che se troviamo un punto di massimo esso è un massimo globale quindi non abbiamo il problema di chiederci se sia locale o globale).
FOC: E[U’(Y1(a))*(r-rf)]=0
chiaramente se il rendimento del titolo rischioso è maggiore del rendimento del titolo riskfree in entrambi gli scenari allora a sarà uguale a 1, se è minore in entrambi gli scenari a sarà uguale a 0 mentre se è minore in uno e maggiore nell’altro a sarà compreso tra 0 e 1 e in particolare a dipenderà dalla FOC: QUANDO LA DERIVATA PRIMA DEL VALORE ATTESO DELL’UTILITA’ RISPETTO AD A E’ MAGGIORE DI 0 ALLORA A VA AUMENTATO MENTRE SE E’ MINORE DI 0 A VA DIMINUITO; infatti alla fine nella posizione ottimale a deve essere tale che la derivata prima sia nulla.

Question 22

come si amplia il modello del basic portfolio problem nel caso in cui le securities rischiose sono n e gli scenari sono finiti e pari a l?
GUARDA LE IMPLICAZIONI INTERESSANTI DELLA FOC A PAG24 DELL OPEN BOOK E FAI FLASHCARDS

Answer 22

anche qui possiamo massimizzare l’utilità attesa sotto il vincolo di budget (non possiamo spendere più della ricchezza disponibile) usando la lagrangiana. la FOC è che il gradiente che contiene tutte le derivate parziali rispetto alle varie a (quote di allocazione) sia NULLO. la condizione è la stessa del modello binomiale ovvero che E(U’(Y1)(RJ-R0))=0 ma stavolta deve essere verificata per TUTTI i titoli rischiosi: è un sistema di n equazioni con n variabili. Nota che la condizione di derivata prima rispetto a lambda uguale a 0 è il rispetto del vincolo.

Question 23

in cosa consiste l’analisi media-varianza? quando questo approccio è consistente con quello dell’utilità attesa?

Answer 23

in un metodo molto più applicabile rispetto a quello dell’utilità attesa di newmann-morgenster anche se meno soddisfacente dal punto di vista teorico. Markowitz con questo approccio ipotizza che gli unici 2 parametri di portafoglio rilevanti per un investitore siano il valore atteso dea ricchezza futura (parametro di reddittività) e la sua varianza (parametro di rischiosità).
l’idea alla base di questo approccio è che spesso studiare il comportamento di una funzione può essere molto complesso e per semplificare il problema possiamo quindi approssimare la funzione con l’espansione di taylor e considerare come rilevanti solo i primi 2 momenti.

questi 2 metodi sono consistenti in 2 casi:
- sotto l’ipotesi che i tassi di rendimento dei titoli rischiosi si distribuiscano normalmente
- quando la f.di utilità che ipotizziamo è quadratica

Question 24

quando un titolo a domina un titolo b nell’approccio di media varianza?

Answer 24

il titolo a domina il titolo b quando ha un rendimento atteso maggiore e una deviazione standard minore ovvero quando è più redditizio e meno rischioso del titolo b: in questo caso infatti nessuno comprerà il titolo b ma tutti compreranno il titolo ; al contrario nessuno dei 2 titoli sarà dominato quando uno dei 2 ha miglior reddittività e quindi maggiore rendimento atteso mentre l’altro ha minor rischio ovvero deviazione standard minore: in questo caso entrambi i titoli possono essere potenzialmente domandati a seconda di quali siano le esigenze dell’investitore

Question 25

a cosa è equale la correlazione tra 2 titoli? E il beta?

Answer 25

è uguale alla loro covarianza divisa per il prodotto tra la deviazione standard i uno e quelle dell’altro

Il beta e uguale alla covarianza tra titolo e mercato diviso per la varianza del mercato

Question 26

a cosa è uguale il rendimento atteso di un portafoglio in un modo in cui sono presenti solo 2 titoli a e b? illustra i casi in cui la correlazione tra i 2 titoli è pari a 1 e -1; l’insieme dei portafogli fattibili e quello dei portafogli efficenti coincidono nei 2 casi? cosa accade di particolare nel caso in cui la correlazione è pari a -1 e quando ciò accade?
illustra infine anche il caso generale in cui la correlazione tra i 2 titoli è compresa tra -1 e 1. per quali valori della correlazione è possibile costruire un portafoglio con deviazione standard minore del titolo che ha deviazione standard minore tra i 2?

Answer 26

indicando con a la quota relativa (qui a è indicata in termini PERCENTUALI sulla ricchezza totale: diverso dal basic portfolio problem) di ricchezza impiegata nel titolo 1 e con (1-a) quella impiegata nel titolo 2 possiamo scrivere sia il rendimento medio del portafoglio che la sua varianza in funzione dei rendimenti attesi dei 2 titoli, delle deviazioni standard dei 2 titoli e di a.

facendo i calcoli nel caso in cui la correlazione tra i due titoli sia = a 1 si ottiene che a= ((sigmap - sigma2)/(sigma1-sigma2) e facendo ulteriori sostituzioni si ricava che il rendimento atteso del portafoglio è pari a (ksigmap) + h dove: k=(u1-u2)/(sigma1-sigma2) e h= (u2sigma1) - u1*sigma2)/(sigma1-sigma2) e quindi SUPPONENDO che i titoli non sono dominati e quindi u1<u2 e sigma1<sigma 2 k è POSITIVO e la retta è crescente. ogni punto della retta rappresenta un portafoglio con combinazione diversa dei 2 titoli. in questo caso particolare la retta dei portafogli fattibili coincide con quella dei portafogli efficenti ovvero quelli che non sono dominati e sono pertanto potenzialmente domandabili. (guarda grafico sugli appunti a pagina 39)

facendo i calcoli quando la correlazione è pari a -1 abbiamo che sigma p è uguale a (asigma1) - (1-a)sigma2 se a>= sigma2/(sigma1+sigma2)
e a (1-a)sigma2 - (asigma1) se a<sigma2/(sigma1+sigma2). nel primo caso troviamo che il rendimento atteso del portafoglio è pari a ksigmap + h dove k è NEGATIVO mentre nel secondo caso è k’sigmap+h dove k’ è POSITIVO. le 2 rette sono l’insieme dei portafogli fattibili MA in questo caso esso non coincide con quello dei portafogli efficenti che invece sono rappresentati solo dalla seconda retta con k’ positivo: questa retta è la FRONTIERA EFFICENTE ovvero che contiene i portafogli efficenti mentre l’altra retta è composta da portafogli dominati. (guarda grafico su appunti a pag41)
Inoltre in questo particolare caso in cui la correlazione è pari a -1 si ha una combinazione di titoli, ovvero QUANDO A= sigma2/(sigma1+sigma2), in cui la rischiosità si ANNULA e la deviazione standard è pari a 0.

nel caso generale in cui la correlazione dei 2 titoli è compresa tra -1 e 1 l’insieme dei portafogli fattibili ha luogo su una curva e non su una retta; questa curva tenderà alla retta dei portafogli fattibili nel caso in cui la correlazione è 1 (che congiunge i 2 titoli) quando la correlazione dei 2 titoli è vicina a 1 e tenderà ai 2 segmenti che rappresentano i portafogli fattibili nel caso in cui la correlazione siano -1 all’avvicinarsi della correlazione a questo valore (guarda grafico a pagina 41 degli appunti).
inanzitutto si può notare che quando la correlazione è pari a 1 il portafoglio con minor deviazione standard possibile è quello composto interamente dal titolo con minor deviazione standard mentre quando è - 1 è possibile costruire un portafoglio, combinando i 2 titoli, con deviazione standard minore. lo stesso accadrà dunque quando la correlazione è vicina a 1 e -1; per trovare la correlazione esatta al di sotto della quale diventa possibile costruire un portafoglio con deviazione standard minore del titolo con deviazione standard minore bisogna imporre la dissequazione. si può infatti ricavare prima il valore di a per cui la deviazione standard del portafoglio sia minima e poi imporre che questo valore di a sia minore di 1 (ovvero che ci sia effetto di diversificazione). in questo modo si ottiene che c’è effetto di diversificazione QUANDO la correlazione è minore di sigma1/sigma2: è questo il VALORE SOGLIA; è un valore positivo e minore di 1 siccome abbiamo imposto che i titoli non fossero dominati (u1<u2 e sigma1<sigma2)

Question 27

quando un portafoglio è detto efficente?

Answer 27

quando non esiste nessun altro portafoglio che lo domina in senso media-varianza

Question 28

come cambia l’analisi di media-varianza quando oltre ai 2 titoli rischiosi introduciamo anche un titolo certo? quali sono le condizioni di ottimalità e rimangono uguali anche quando estendiamo il modello a n securities? i pesi trovati variano al variare del rendimento atteso inizialmente prefissato? e quelli del portafoglio composto solo dai 2 titoli? cos’è alpha e a cosa è uguale?

Answer 28

in questo caso seguiamo 2 passaggi:
- fissiamo un livello di rendimento atteso che vogliamo raggiungere
- tra tutte le combinazioni di titoli che generano portafogli con questo rendimento atteso scegliamo il portafoglio con la varianza minima: tutti gli altri infatti saranno dominati da questo. dunque la funzione obbiettivo sarà quella della varianza e andrà MINIMIZZATA sotto il VINCOLO che il rendimento atteso sia pari a quello prefissato. per risolvere questo problema utilizziamo quindi la lagrangiana e al posto che minimizzare la funzione della varianza minimizziamo 1/2 della varianza solo perchè questo ci semplifica i calcoli (nota che nella formula della varianza non rientra quella del titolo certo che siccome è nulla non contribuisce alla varianza del portafoglio). inoltre siccome il problema è di tipo quadratico convesso se troviamo un minimo esso sarà sicuramente un minimo globale e ciò ci è molto utile.
la FOC è che il gradiente sia nullo ovvero che la derivata rispetto a w1, w2 e lambda siano tutte e 3 nulle (nota che l’ultima condizione non è altro che il rispetto del vincolo).
la condizione di ottimalità che si ottiene alla fine è che (u1-r0)/sigma1p sia uguale a (u2-r0)/sigma2p e 1/lambda dove sigma1p e sigma2p sono rispettivamente il contributo del titolo 1 e del titolo 2 alla varianza del portafoglio: possiamo interpretare questa condizione dicendo che IL RAPPORTO TRA IL PREMIO AL RISCHIO ATTESO D CIASCUN TITOLO E LA SUA CONTRIBUZIONE AL RISCHIO DEL PORTAFOGLIO DEVE ESSERE LO STESSO PER TUTTI I titoli sennò si venderebbero quelli con rapporti minori e comprerebbero quelli con rapporto maggiori. Inoltre, dalle 2 equazioni in cui abbiamo posto le derivate parziali uguali a 0, facendo una serie di passaggi (ovvero moltiplicando una per w1 e una per w2 (lo possiamo fare perchè in condizioni di equilibrio le derivate sono nulle e quindi anche moltiplicandole per qualcosa di diverso rimangono uguali tra di loro in quanto nulle) e poi sommandole), si può ottenere un ALTRA CONDIZIONE che vale SOLO in condizioni di ottimalità; ovvero che anche (up-r0)/sigmap^2 (cioè il premio al rischio del portafoglio) deve essere uguale a 1/lambda cosi come deve essere uguale quindi anche a (u1-r0)/sigma1p e (u2-r0)/sigma2p. da questa si ricava che il premio al rischio del portafoglio per ciascuna unità di rischio ovvero (up-r0)/sigmap^2 è uguale a 1/lambda. (questa condizione sarà la stessa ANCHE quando si estende il modello a n titoli).
Da questa condizione si possono quindi ricavare i pesi ottimi w1* e w2* con la quota da assegnare al titolo certo che si trova poi per differenza.
chiaramente questi pesi ottimi dipenderanno dal rendimento up del portafoglio che abbiamo prefissato inizialmente e varieranno al variare di quest’ultimo.
per questo motivo quindi vogliamo dividere questo portafoglio in 2 sottoportafogli: uno composto solo dal titolo certo e uno composto solo dai 2 titoli (DETTO PORTAFOGLIO DI TANGENZA) o da n titoli se si estende il modello al caso con n titoli; in questo modo la composizione del secondo portafoglio (cioè i pesi dei 2 titoli che saranno: w1t= w1/(w1+w2) e w2t=w2/(w1+w2); la t sta per tangenza) sarà COSTANTE anche al variare del rendimento prefissato mentre ciò che varierà al variare di quest’ultimo sarà la quota di ricchezza alpha da assegnare a questo portafoglio e la quota 1-alpha da impiegare nel titolo certo. in particolare siccome il rendimento del portafoglio è pari a alphaut (rendimento atteso del portafoglio con i 2 titoli pari a w1tu1 +w2tu2) +(1-alpha9)r0; allora ALPHA SARA’ UGUALE a: (up-r0)/(ut-r0) dove up è il rendimento prefissato.

Question 29

Che applicazione del metodo media-varianza potrebbe essere interessante fare?
quali sono le limitazioni dell’approccio standard di media-varianza di markowitz?

Answer 29

sarebbe molto interessante applicare questo approccio nell’analisi del life-cycle investing ovvero nell’analisi degli investimenti di lungo termine ottimali per le famiglie, ciò è anche molto importante per indirizzare le pollitiche pubbliche verso industrie e regolatori.
nell’applicare questo approccio al life-cycle investing però bisogna ricordarsi che esso ha alcune limitazioni:

Le limitazioni dell’approccio standard di media-varianza sono principalmente due:

1) Incapacità di Considerare Asset Non Tradabili (Come il Capitale Umano e gli Immobili):
Il modello di Markowitz si basa sulla selezione e ottimizzazione di un portafoglio di asset tradabili, come azioni e obbligazioni, cercando di massimizzare il rendimento atteso per un dato livello di rischio (varianza). Tuttavia, nella vita reale, le persone possiedono anche asset non tradabili, come il capitale umano (il valore attuale dei guadagni futuri derivanti dal lavoro) e gli immobili, che non possono essere facilmente venduti o scambiati sul mercato. Ignorare questi asset può portare a decisioni di investimento SUBOTTIMALI, poiché una parte significativa della ricchezza totale dell’individuo non viene presa in considerazione nell’allocazione del portafoglio.

2) Difficoltà nel Generare Processi di Rendimento Affidabili per Orizzonti Temporali Lunghi:
L’approccio standard si basa su stime storiche dei rendimenti e della varianza degli asset per costruire il portafoglio ottimale. Tuttavia, queste stime potrebbero non essere affidabili quando si pianificano investimenti su orizzonti temporali molto lunghi, come nel caso dei piani di investimento per tutta la vita.
dunque la volatilità e l’incertezza aumentano con l’estensione dell’orizzonte temporale, rendendo difficile prevedere con precisione i rendimenti futuri. Di conseguenza, basarsi esclusivamente su questo modello può portare a risultati SUBOTTIMALI, specialmente per investimenti che coprono tutto il ciclo di vita di una persona.

Queste limitazioni indicano che il modello di Markowitz, pur essendo utile, non è sufficiente da solo per gestire le complessità degli investimenti a lungo termine, e necessita di essere integrato con altre considerazioni e strumenti per affrontare i rischi e le opportunità legati al ciclo di vita dell’investitore.

Question 30

come si può modificare il modello di markowitz per superare la limitazione di non tenere conto degli asset non tradabili come il capitale umano? cos’è il capitale umano? l’inclusione del capitale umano tra gli asset modifica l’allocazione ottimale sugli altri asset? tendenzialmente questo porta a una allocazione maggiore su asset rischiosi o sicuri? quali proprietà vengono perse con questo aggiustamento? come si fa a ristabilire la forma convenzionale della FOC?

Answer 30

il modello può essere modificato attraverso i seguenti passaggi:

1) Incorporare il Capitale Umano come un Asset nel Portafoglio:
Il capitale umano, che rappresenta il valore attuale dei redditi futuri di una persona, può essere trattato come un asset aggiuntivo nel portafoglio. Questo significa considerarlo al pari di altri investimenti come azioni e obbligazioni, con un rendimento atteso e un rischio associato. Al contrario però delle altre securities l’allocazione al capitale umano è FISSA e non tradabile.

2) Rivedere la Composizione del Portafoglio:
L’inclusione del capitale umano tra gli asset cambia l’equilibrio ottimale degli investimenti finanziari in quanto la sua presenza nell’allocazione porta il variare sia del rendimento atteso del portafoglio che della varianza conducendo cosi a una FOC diversa con allocazioni diverse alle altre securities rispetto al caso in cui non consideravamo il capitale umano; ad esempio se il capitale umano è considerato come un investimento a basso rischio e rendimento stabile, potrebbe consentire un maggior investimento in asset più rischiosi ma potenzialmente più redditizi.

Chiaramente questo aggiustamento porta alla perdita di alcune proprietà della soluzione convenzionale dell’approccio media varianza: in primo luogo al contrario di prima l’allocazione ottimale dipenderà dalla quantità individuale di capitale umano stabilita ex-ante.

3) per ristabilire la forma convenzionale della FOC è necessario aggiungere una COMPONENTE DI HEDGING per mitigare il rischio specifico associato al capitale umano.
Questa componente di hedging comporta l’aggiustamento delle posizioni in altri asset finanziari per ridurre il rischio complessivo del portafoglio dovuto alle fluttuazioni del valore del capitale umano.

Question 31

qual’è il modo per risolvere il problema di produrre stime affidabili su orrizonti temporali lunghi dell’approccio di markowitz e qual’è il ruolo del VAR in questo?

Come varia il rischio annualizzato delle diverse classi di attivi in base all’orizzonte temporale e perché questa variazione è rilevante per l’allocazione del portafoglio?

Answer 31

Il modello VAR viene utilizzato per catturare le dinamiche a lungo termine dei rendimenti di mercato e delle variabili di stato. Include variabili finanziarie e altre determinanti di lungo periodo per generare previsioni dei rendimenti e della varianza condizionale sui diversi orizzonti temporali. Questo approccio consente di ottimizzare l’allocazione degli attivi in base alle condizioni attuali del mercato e alla durata dell’investimento, adattando la strategia di portafoglio in modo specifico per ogni orizzonte temporale.

Il rischio annualizzato, rappresentato dalla “Term Structure of Risk”, mostra come il rischio associato a T-bills, azioni e obbligazioni cambia con l’aumento dell’orizzonte temporale. Ad esempio, il rischio delle azioni tende a diminuire all’aumentare dell’orizzonte, mentre quello dei T-bills rimane relativamente stabile. Questa variazione è cruciale per l’allocazione del portafoglio perché permette di adattare la composizione del portafoglio in base al tempo che un investitore prevede di mantenere gli investimenti, ottimizzando il trade-off tra rischio e rendimento per massimizzare la performance del portafoglio nel lungo termine.

Question 32

che cosa sono i target date funds? come viene gestito il rischio? cos’è un glide path? Come avviene il ribilanciamento automatico e come viene compensata la diminuzione di capitale umano che avviene con il passare degli anni?
come influisce l’integrazione di capitale umano nel modello?

Answer 32

I Target Date Funds (TDF) sono fondi d’investimento progettati specificamente per il risparmio pensionistico. Questi fondi sono costruiti per adattarsi automaticamente alle esigenze di investimento di una persona man mano che si avvicina alla pensione.

Descrizione dei Target Date Funds:
I TDF sono pensati per aiutare gli investitori a raggiungere i loro obiettivi finanziari a lungo termine, mantenendo un livello di rischio appropriato durante l’intero ciclo di vita dell’investimento. Il rischio viene gestito attraverso un PROCESSO DI RIBILANCIAMENTO AUTOMATICO che riduce l’esposizione agli asset più rischiosi (come le azioni) man mano che l’investitore si avvicina alla data obiettivo (ad esempio, la data di pensionamento).

I TDF seguono una “glide path”, ovvero un PERCORSO di riduzione GRADUALE del rischio. Questo percorso di allocazione viene parametrizzato in base all’età dell’investitore. All’inizio, quando l’investitore è più giovane, il fondo avrà una maggiore esposizione a investimenti azionari, che sono più rischiosi ma offrono un potenziale di rendimento più elevato. Con l’avvicinarsi della pensione, l’esposizione azionaria diminuisce, e il fondo aumenta l’allocazione in titoli a reddito fisso, che sono meno rischiosi.

Ribilanciamento Automatico: Le allocazioni all’interno del fondo vengono regolate annualmente secondo un PIANO PREDEFINITO che considera l’età dell’investitore. Questo meccanismo è progettato per compensare la diminuzione del “capitale umano” (ovvero, la capacità di guadagnare reddito lavorando) con un aumento degli investimenti in strumenti a reddito fisso che offrono una maggiore sicurezza.

Come Funziona il Glide Path:
il libro (pag 41) mostra un esempio di “glide path”, dove la percentuale di allocazione in azioni (equity) diminuisce con l’aumentare dell’età dell’investitore e l’approssimarsi della pensione.

Integrazione del Capitale Umano:
L’inclusione del capitale umano all’interno del set di asset tradabili e non tradabili implica che i giovani investitori, con un capitale umano elevato, possono permettersi di avere una maggiore esposizione a investimenti azionari. Questa esposizione viene ridotta man mano che l’investitore invecchia, e il capitale umano diminuisce.

In sintesi, i Target Date Funds sono strumenti d’investimento automatizzati che adattano il mix di asset nel tempo per bilanciare rischio e rendimento in funzione dell’età dell’investitore e della sua vicinanza alla data obiettivo, solitamente la pensione.

Question 33

Quali sono le ipotesi/assunzioni su cui si basa il Capital Asset Pricing Model (CAPM)? Cosa comportano?

Answer 33

1) sul fatto che la scelta dei portafogli e le preferenze degli agenti siano consistenti con il principio e il modello media - varianza
2) i mercati azionari sono in equilibrio
3) i mercati sono senza frizioni e perfettamente liquidi:
- non ci sono costi di transazione
- non ci sono restrizioni per i trader
tutti gli asset possono essere comprati/venduti ai prezzi osservati sul mercato
- gli investitori sono price takers
- tasse neutrali (stesse per tutti)
4) possibilità di prendere in prestito un ammontare illimitato di soldi al tasso riskfree
5) INFORMAZIONE CONDIVISA E ASSENZA DI ASIMETRIE INFORMATIVE (irrealistico)

queste assunzioni fanno si che tutti gli investitori affronteranno la STESSA FRONTIERA EFFICENTE in quanto il tasso risk free e il portafoglio di tangenza sono uguali per tutti.
inoltre, in equilibrio la condizione di domanda e offerta implica che IL PORTAFOGLIO DI TANGENZA DEVE PER FORZA ESSERE IL PORTAFOGLIO DI MERCATO ovvero un portafoglio in cui ogni asset rischioso è rappresentato con un peso uguale alla sua quota sulla capitalizzazione di mercato. infatti, se cosi non fosse e qualche titolo non fosse presente nel portafoglio di tangenza allora nessun agente lo chiederebbe (siccome tutti gli agenti hanno e chiedono lo stesso portafoglio che è quello di tangenza) e quell’asset scomparirebbe dal mercato.

Question 34

cos’è la capital market line (CML)? a cosa è uguale la pendenza della retta?

Answer 34

è la retta che descrive i portafogli efficenti (cioè la frontiera efficente) ovvero quelli che garantiscono la variabilità minima per ciascun rendimento atteso prefissato. siccome sappiamo che in condizioni di ottimalità um-r0/sigma m= up-r0/sigma possiamo ricavare la retta CML la cui equazione è u= ro+ [(um-r0)/sigma m]sigma.
la pendenza della retta è il prezzo di mercato del rischio per ogni unità di rischio che viene poi moltiplicato per le unità di rischio totali (sigma). chiamando questo prezzo del rischio come lambda (diverso però dal moltiplicatore di lagrange) possiamo scrivere la CML come u= r0 + lamdasigma.

i portafogli efficenti sono quelli che stanno sulla retta che va dal punto relativo al titolo riskfree al portafoglio di mercato; i portafogli efficenti sono quindi quelli che sono composti in parte dal titolo riskfree e in parte dal portafoglio di mercato; l’investitore deciderà poi in che punto di questa retta (che è la cml) posizionarsi in base ai suoi obbiettivi di rendimento e propensione al rischio

Question 35

cos’è la security market line (SML)?
Quando la sml e la cml collassano?
quando un attività/portafoglio è sottovalutato e quando è sopravalutato?

Answer 35

è una retta che descrive tutti i portafogli, sia quelli efficienti che quelli non e quindi comprende anche i portafogli costituiti da un solo titolo che di solito sono tutt’altro che efficienti. questa retta descrive una relazione lineare tra l’eccesso di rendimento atteso di un generico portafoglio e l’eccesso di rendimento del portafoglio di mercato.
per un portafoglio con un solo generico titolo i la sml è ui= r0 + Bi(um-r0) dove Bi=cov (ri,rm)/sigma m^2. con una serie di passaggi si può poi dimostrare come la SML può essere facilmente estesa a un qualsiasi portafoglio o oggetto finanziario con equazione quindi: up=ro+Bp(um-r0) dove il BETA DI PORATFOGLIO si può dimostrare che è LA MEDIA PONDERATA DEI BETA DEI TITOLI CHE LO COMPONGONO con pesi uguale alle quote dei singoli titoli.

la SML declinata su portafogli efficienti diventa la CML. quando il generico portafoglio P è efficiente (ovvero sta sulla cml e quindi è composto da titolo riskfree e portafoglio di mercato) infatti si ha che la correlazione tra il portafoglio efficente e quello di mercato è 1 e quindi il beta è pari a sigma p (dove p è il portafoglio efficiente)/sigma m e la sml diventa up= ro + [(um-r0)/sigma m] * sigma p ovvero la CML

un’attività è sopravalutata quando si trova sotto la SML e sottovalutata se si trova sopra.

Question 36

Come si può usare il capm per la valutazione di cashflow futuri aleatori?

Answer 36

il prezzo di un attività si stima sempre in finanza facendo la sommatoria dei flussi di cassa futuri generati da essa scontati. nella formula del prezzo dell’attività finanziaria possiamo inserire al posto del rendimento atteso r0 +B(um-r0) usando la SML. in questo modo otteniamo cosi una formula di valutazione AGGIUSTATA PER IL RISCHIO (nel denominatore infatti oltre al tasso riskfree che si usa per scontare i flussi certi c’è una componente pari a B(um-r0) che è proprio dovuta al fatto che i flussi di cassa non sono certi). praticamente usiamo il rendimento aggiustato per il rischio ottenuto dal capm (dalla SML in particolare) per scontare i flussi di casa futuri

GUARDA ESERCIZIO ESAME PASSATO A PAG 46 DEL LIBRO

Question 37

cosa rende i portafogli efficenti? qual’è la componente di rischio che viene remunerata?

Answer 37

ciò che distingue i portafogli tra l’essere efficienti o meno è la presenza al loro interno del rischio idiosincratico. infatti l’unico rischio che il mercato remunera è quello sistematico ovvero il rischio di mercato che NON. si può eliminare con la differenziazione (in altre parole è il rischio che non puoi evitare dopo aver fissato un rendimento atteso). i portafogli efficienti sono gli UNICI che hanno SOLO il rischio sistematico, quelli non efficienti infatti non sfruttano al massimo la diversificazione e contengono quindi anche del rischio idiosincratico che però è un rischio che non viene remunerato dal mercato (è per questo ad esempio che i portafogli con un singolo titolo sono di solito molto poco efficienti). questo fa si che dato un portafoglio non efficiente, esista sempre un portafoglio su cui puoi investire che abbia stesso rendimento atteso ma minor rischio (volatilità).
tutto ciò si può vedere molto bene con le formule: infatti, considerando un singolo titolo, se si parte dalla SML e si indica (um-r0)/sigma m, che è il prezzo di mercato del rischio, con lambda si può vedere come ui-r0= lambda* [cov(ri;rm)/sigma m] dove ciò che è scritto tra parentesi quadra è anche uguale alla correlazione tra i e m*sigma i. Da qui si vede quindi bene come la rischiosità del titolo (sigma i) NON E’ REMUNERATA INTERAMENTE ma è remunerata solo una parte (visto che la correlazione tra i e m è per definizione minore di 1) OVVERO quella correlata al portafoglio di mercato (rischio sistematico).

Question 38

Come si calcola il rendimento atteso di un’attività nel CAPM e qual è il significato del premio per il rischio?

Answer 38

Nel CAPM, il rendimento atteso di un’attività (mu_i) si calcola con la formula:

mu_i = r_f + beta_i * (E_rM - r_f)

Dove:

r_f è il tasso privo di rischio.
beta_i è il beta dell’attività i, che misura la sensibilità del rendimento dell’attività rispetto al rendimento del portafoglio di mercato.
E_rM è il rendimento atteso del portafoglio di mercato.
Il premio per il rischio è dato da beta_i * (E_rM - r_f) e rappresenta la compensazione che gli investitori richiedono per assumere il rischio SISTEMATICO associato all’attività i.

Question 39

Quali sono le componenti del rischio totale di un’attività secondo il CAPM e come si calcolano? cosa può fare la diversificazione?

Answer 39

Il rischio totale (varianza del rendimento) di un’attività (sigma_i^2) nel CAPM è scomposto in due componenti:

sigma_i^2 = beta_i^2 * sigma_M^2 + sigma_epsilon_i^2

Dove:

beta_i^2 * sigma_M^2 è il rischio sistematico, che dipende dal beta dell’attività e dalla varianza del mercato (sigma_M^2).
sigma_epsilon_i^2 è il rischio specifico (idiosincratico), legato a fattori unici dell’attività che possono essere diversificati.
Il rischio sistematico non può essere eliminato attraverso la DIVERSIFICAZIONE e viene compensato dal mercato, mentre il rischio specifico può essere eliminato e non è remunerato.

Question 40

cos’è il modello Black-CAPM?

Answer 40

è un altra versione del modello del CAPM fornita da Black nel 1972 in cui NON viene assunta, a differenza del CAPM, l’esistenza di un titolo risk-free

Question 41

su quali risultati poggia il modello black-capm?

Answer 41

esso poggia su questi 2 risultati che possono essere derivati dall’approccio standard di Markowitz:
1) la covarianza tra 2 portafogli cov (rp,rq) è uguale per definizione a wp tVwq dove V è la matrice di varianza-covarianza e wp e wq le allocazioni dei 2 portafogli p e q
2) per ogni portafoglio P di minima varianza (tranne quello di minima varianza assoluta cioè quello che sta sul gomito della curva) esiste un UNICO portafoglio di frontiera zc tale che la covarianza tra i 2 portafogli p e zc è NULLA. quindi il titolo riskfree che non è più presente in questo modello è sostituito con il portafoglio zc che ha la stessa caratteristica (lo zc ha infatti covarianza con il portafoglio che prendiamo come benchmark che è un qualsiasi portafoglio p efficiente che non sia però quello a minima varianza mentre il titolo riskfree ha correlazione zero con il portafoglio benchmark del capm ovvero il portafoglio di mercato..

inoltre per ogni portafoglio efficiente p è possibile definire B= cov(rp,rq)/sigmap^2 che misura l’esposizione al rischio di q ASSUMENDO CHE il rischio sistematico è rappresentato dal portafoglio efficiente benchmark p.
la FOC (condizione di primo ordine per minimizzare la varianza) implica ALLORA che ogni portafoglio q soddisfi la seguente versione della SML
uq=uzc + B*(up-uzc) (dimostrazione negli appunti). nota che se poniamo p=m e zc = al titolo certo riotteniamo la versione normale della SML del CAPM: in questo senso il BLACK-CAPM non è altro che un ESTENSIONE del CAPM.

Question 42

in riferimento al modello del Black-capm, è necessario l’equilibrio di mercato per avere un tradeoff lineare tra rischio e rendimento?

Answer 42

assolutamente NO, siccome la linearità della SML è ricavata dalla FOC. il fatto che non usiamo un portafoglio di mercato come succede nel CAPM implica che
NON dobbiamo necessariamente tirare in ballo delle condizioni di equilibrio generale del mercato.
collegato a ciò si può parlare anche della critica che Roll fa al CAPM che infatti dice che l’ipotesi del CAPM dell’esistenza di un equilibrio NON può essere testata ammenochè l’esatta composizione del portafoglio non sia nota per questi motivi:
- il portafoglio di mercato è in realtà inosservabile e ciò è molto più compatibile con il capm che con il black capm
- il black capm mostra che un test per la linearità è implicito nell’efficenza del portafoglio p usato come proxy ma non richiede l’esistenza di un VERO equilibrio di mercato.

Question 43

Come si calcola la varianza del rendimento di un portafoglio nel CAPM e qual è la differenza tra rischio sistematico e rischio idiosincratico?

Answer 43

La varianza del rendimento di un portafoglio (sigma_p^2) nel CAPM è calcolata come:

sigma_p^2 = beta_p^2 * sigma_M^2 + sigma_epsilon_p^2

Dove:

beta_p^2 * sigma_M^2 rappresenta il rischio sistematico del portafoglio, che non può essere diversificato.

sigma_epsilon_p^2 rappresenta il rischio idiosincratico (specifico) del portafoglio, calcolato come:
sigma_epsilon_p^2 = Somma(w_i^2 * sigma_i^2) per i da 1 a N
nota che quando N tende a infinto (diversificazione massima) il rischio idiosincratico del portafoglio tende a 0

Il rischio sistematico è l’UNICO remunerato sul mercato, mentre il rischio idiosincratico dipende dalla composizione specifica del portafoglio ed è diversificabile.

Question 44

Cos’è la strategia “Betting Against Beta” (BAB) secondo Frazzini e Pedersen (2013)? definisci questi 3 punti chiave:
concetto di bab, effetti del modello e risultati empirici

Answer 44

La strategia “Betting Against Beta” (BAB) sfrutta l’inefficienza di mercato dove titoli ad alto beta sono sovrapprezzati a causa dei vincoli di leva imposti agli investitori che quindi sono costretti per ottenere il rendimento atteso prefissato ad andare su titoli più rischiosi. Nella strategia BAB, si crea un portafoglio lungo su titoli a basso beta e corto su titoli ad alto beta, utilizzando i pesi 1/beta per bilanciare il rischio sistematico (e avere quindi beta complessivo del portafoglio uguale a 0. Questo approccio genera rendimenti aggiustati per il rischio superiori, poiché i titoli a basso beta tendono ad avere un alpha positivo rispetto a quelli ad alto beta.

Concetto di BAB:
Gli investitori che non possono usare la leva finanziaria tendono a sovrapesare gli asset ad alto beta (cioè più volatili) per cercare di raggiungere un rendimento adeguato. Questo comportamento porta ad una compressione dei rendimenti aggiustati per il rischio di questi asset.
Dall’altra parte, investitori senza vincoli di leva possono sovrappesare asset a basso beta e shortare quelli ad alto beta per sfruttare l’inefficienza di mercato generata dai primi.

Effetti del Modello:
Il risultato è una curva del mercato dei capitali più piatta rispetto a quella predetta dal CAPM tradizionale, con asset ad alto beta che offrono rendimenti aggiustati per il rischio più bassi.
Gli investitori senza vincoli di leva possono trarre profitto da questa inefficienza, creando un portafoglio che va lungo su asset a basso beta (potenziati con leva) e corto su asset ad alto beta (senza leva), generando così il “BAB factor”.

Risultati Empirici:
Il modello predice che il portafoglio BAB generi rendimenti positivi in media, e che questi rendimenti siano maggiori quanto più stringenti sono i vincoli di leva nel mercato

Question 45

più dettagliatamente in cosa consiste il modello fornito da frazzini e pedersen? qual’è la struttura del modello? cosa fanno gli agenti? quali sono le condizioni di equilibrio? e le implicazioni del modello?

Answer 45

Struttura del Modello:
Il modello considera una serie di agenti che nascono in ogni periodo, con una dotazione iniziale di ricchezza e vivendo per due periodi. Gli agenti investono in un portafoglio di azioni e un asset privo di rischio.
Gli agenti hanno diverse avversioni al rischio e sono soggetti a vincoli di portafoglio. Alcuni possono usare la leva, mentre altri no.

Nello scegliere questi agenti si trovano di fronte a un problema di MASSIMIZZAZIONE dell’Utilità:
Gli agenti massimizzano la loro utilità scegliendo la composizione del loro portafoglio, considerando i rendimenti attesi e la varianza del portafoglio, soggetti ai loro vincoli di leva.
nella funzione da massimizzare (1.8) si vede bene il trade-off tra rischio e rendimento e questa equazione va massimizzata sotto il VINCOLO che il valore totale di portafoglio*la leva max. che l’investitore può usare sia minore o uguale alla ricchezza dell’investitore.

Condizioni di Equilibrio:
Le condizioni di equilibrio del modello determinano i prezzi degli asset, tenendo conto dei vincoli di leva degli agenti e della loro avversione al rischio aggregata. derivando la FOC dal problema di massimizzazione si può arrivare alla condizione di equilibrio per i prezzi(1.13)

Implicazioni del Modello:
Il modello predice che, in equilibrio, i rendimenti aggiustati per il rischio degli asset a basso beta saranno maggiori rispetto a quelli degli asset ad alto beta, a causa della domanda distorta degli investitori con vincoli di leva.

Question 46

qual’è la prima proposizione che si può ricavare dalla formula di equilibrio del prezzo (1.13) nel modello di frazzini pedersen? cosa succede all’alpha all’aumentare dei vincoli di finanziamento?
quali sono i riscontri empirici sul rapporto di sharpe per portafogli efficienti al variare del beta del portafoglio?
cosa succede alla SML all’aumentare dei vincoli di indebitamento?

Answer 46

1) high beta is low alpha:
dal prezzo di equilibrio si può ricavare il rendimento richiesto di equilibrio per ogni security che è pari al rz + betaλ (è il premio per il rischio ovvero rendimento atteso di mercato - rz) dove rz= rf +ψ che è il moltiplicatore di lagrange che misura la RIGIDITA’ dei vincoli di finanziamento (leva).
L’alpha di un titolo rispetto al mercato è:
α=ψ(1-𝛽)
Questa formula indica che l’alpha di un titolo diminuisce con l’aumento del beta. Gli investitori con vincoli di leva sovrapprezzano i titoli ad alto beta, riducendo il loro rendimento aggiustato per il rischio.

più i vincoli di leva aumentano e più ψ diventa grande e l’alpha diventa più positivo per titoli con beta minore di 1 e più negativo per titoli con beta maggiore di 1. inoltre il valore di alpha sarà tanto più grande in valore assoluto tanto più il beta è distante da 1.

Il rapporto di Sharpe per i portafogli efficienti, che misura il rendimento aggiustato per il rischio, è più alto per i portafogli con un beta inferiore a 1 e diminuisce all’aumentare del beta.

più i vincoli sono maggiori e ψ è alto e più la SML si appiattisce aumentando l’intercetta e riducendo la pendenza

Question 47

cos’è l’alpha in finanza e in riferimento al bab?

Answer 47

L’alpha in finanza è una misura della performance di un investimento rispetto a un benchmark, come un indice di mercato. Rappresenta la parte del rendimento di un portafoglio che non può essere spiegata dal movimento del mercato, quindi riflette il valore aggiunto o sottratto dal gestore del portafoglio.
In termini semplici:
Alpha positivo: Il portafoglio ha sovraperformato rispetto al benchmark.
Alpha negativo: Il portafoglio ha sottoperformato rispetto al benchmark.

Nella formula
𝛼=𝜓*(1−𝛽), l’alpha misura quanto un titolo sovra o sottoperforma rispetto al rischio di mercato (misurato dal beta). Se
​è basso, il titolo può generare un rendimento aggiuntivo positivo (alpha positivo). Se è alto, il titolo può avere un alpha negativo, suggerendo che potrebbe non ricompensare adeguatamente il rischio assunto.

Question 48

qual’è la seconda proposizione che si può ricavare dalla formula di equilibrio del prezzo (1.13) nel modello di frazzini pedersen? come varia il rendimento atteso del bab al variare della differenza tra i 2 beta e della rigidità dei vincoli di indebitamento?

Answer 48

2) rendimento atteso positivo del bab:
Il rendimento in eccesso atteso del fattore BAB autofinanziato è positivo:

𝐸(𝑟 t+1 𝐵𝐴𝐵)= (𝛽𝑡𝐻−𝛽𝑡𝐿) / (𝛽𝑡𝐿𝛽𝑡𝐻)ψ ≥0
Questa equazione indica che il rendimento atteso del portafoglio BAB è positivo. Il rendimento dipende dalla differenza tra i beta dei portafogli ad alto beta alto e basso beta, normalizzati per il prodotto dei loro beta e moltiplicati per il moltiplicatore di Lagrange che misura la rigidità dei vincoli di finanziamento.

in particolare il rendimento atteso del portafoglio bab cresce sia all’aumentare della differenza tra i beta dei 2 sottoportafogli che all’aumentare della rigidità dei vincoli di leva e quindi all’aumentare di ψ

per riassumere, in media il bab guadagna un rendimento atteso positivo in media, la cui misura dipende dallo spread dei 2 beta e dalla rigidità dei vincoli di finanziamento
​

Question 49

quali sono i passaggi per costruire un portafoglio bab secondo frazzini-pedersen? la correlazione e la volatilità vengono calcolate in modo separato? ogni quanto sono ribilanciati i 2 portafogli? come deve essere il beta del portafoglio? deve essere autofinanziante il portafoglio?
quali sono le implicazioni del portafoglio bab? perchè si vuole che il beta del portafoglio sia nullo?
qual’è il rendimento del bab?

Answer 49

1) Stima dei Beta:
Per costruire il portafoglio BAB, si stima il beta di ogni titolo utilizzando i rendimenti mensili delle azioni rispetto a un indice di mercato ponderato per il valore.
I beta sono stimati facendo il rapporto tra dev. standard del titolo e dev. standard dell’indice di mercato il tutto moltiplicato per la loro correlazione (del titolo con l’indice di mercato).

Le volatilità e la correlazione sono stimati in modo separato e diverso per riflettere il fatto che la correlazione si muove più lenta della volatilità: la volatilità si stima con un anno di media mobile e la correlazione con 5 anni; inoltre per la volatilità servono almeno 1 anno di dati non mancanti mentre per la correlazione almeno 3.

Inoltre per ridurre la presenza di outlier, si segue il metodo di Vasicek (1973) e Elton, Gruber, Brown, e Goetzmann (2003), applicando un fattore di riduzione alle stime dei beta
𝛽𝑖 TS verso la media cross-sezionale
𝛽 𝑋𝑆 usando la seguente formula:
𝛽𝑖=𝑤𝑖𝛽𝑖𝑇𝑆 + (1−𝑤𝑖)𝛽XS
dove per semplicità
𝑤i=𝑤=0.6 e 𝛽𝑋𝑆=1 per tutti i periodi e per tutti gli asset. in ogni caso questo fattore di riduzione non altera il ranking dei beta tra i titoli, necessario per calcolare il BAB.

2) Classificazione dei Titoli (ranking):
I titoli vengono ordinati in base ai loro beta stimati e divisi in due portafogli: uno con quelli a basso beta e uno di titoli ad alto beta.
Questi portafogli sono ribilanciati MENSILMENTE per mantenere la corretta classificazione.

3)Pesi del Portafoglio:
I pesi dei titoli all’interno dei portafogli vengono determinati in base ai loro rank di beta. I titoli a basso beta hanno un peso maggiore nel portafoglio lungo, mentre quelli ad alto beta hanno un peso maggiore nel portafoglio corto (tutto ciò per compensare i 2 beta e fare si che il portafoglio finale complessivo sia nullo).
La formula wH=k(z−z medio)+ e wL=k(z−z medio)ˉ dove k è una costante di normalizzazione dice come calcolare questi pesi in modo che il portafoglio sia auto-finanziato (ossia, il capitale investito nei titoli lunghi è compensato dai proventi dello shorting dei titoli corti).

4)Implicazioni del Portafoglio BAB
Portafoglio Auto-finanziato:
Il portafoglio BAB è progettato per essere auto-finanziato: le posizioni lunghe e corte sono bilanciate in modo tale che NON sia necessario un capitale aggiuntivo per finanziare l’investimento.
Questa struttura rende il portafoglio INDIPENDENTE dalle variazioni complessive del mercato (è QUESTO IL MOTIVO PER CUI SI VUOLE AVERE BETA UGUALE A 0), focalizzandosi invece sulle differenze di rendimento tra titoli a basso e alto beta (il rendimento quindi non dipende dall’andamento del mercato ma solo dalle differenze di rendimento tra titoli a basso beta e ad alto beta).

5)Rendimento Atteso:
Il rendimento atteso del portafoglio BAB è positivo. Questo rendimento è maggiore quando c’è una maggiore dispersione tra i beta ex-ante dei titoli e quando i vincoli di finanziamento nel mercato sono più stretti.
il rendimento del bab è :
r t+1BAB=(1/β)×(r t+1 −rf)−(1/βtH)×(r t+1H −rf).

Moltiplicando gli eccessi di rendimento per 1/𝛽 , correggiamo il rendimento di ogni parte del portafoglio per il livello di rischio sistematico (beta) che comportano, rendendo l’intero portafoglio neutrale rispetto ai movimenti del mercato

Question 50

cos’è il price deflator (anche detto pricing kernel)? qual’è la condizione che deve rispettare per costruzione? il price deflator è postivo o negativo?

Answer 50

Il price deflator è una variabile che normalizza il livello di utilità marginale (cioè l’aumento di soddisfazione che ottieni da un po’ più di ricchezza). Viene definito come il rapporto tra l’utilità marginale attesa in futuro nello stato del mondo k (infatti si dovranno calcolare k price deflator: uno per ogni stato del mondo) e l’utilità marginale attesa oggi in tutti gli stati del mondo (il denominatore rimane quindi sempre uguale nel calcolo del price deflator per ogni stato del mondo). UN ALTO VALORE DEL PRICE DEFLATOR INDICHERA’ QUINDI CHE PER ME LA RICCHEZZA E’ PARTICOLARMENTE IMPORTANTE IN QUESTO STATO DEL MONDO (infatti il price deflator è maggiore negli scenari in cui si è più poveri in quanto quando si è poveri si è molto più sensibili a un aumento della ricchezza: ciò è anche una conseguenza dell’utilità marginale decrescente implicita nella concavità della f. di utilità).
l’Importanza del price deflator risiede nel fatto che la condizione di primo ordine riscritta in termini del price deflator 𝑚𝑡(𝜔) (moltiplicando tutto per 1/H che possiamo fare siccome è uguale a 0 e sostituendo m con Q/P) ci dice che l’investitore è in equilibrio quando Ep(m(R1-rf))=0 ovvero quando Eq(R1)=rf. Questa condizione è fondamentale per determinare i prezzi degli strumenti finanziari. in altre parole si ha equilibrio quando il valore atteso sotto Q di R è uguale al riskfree.
sotto Q il rendimento atteso di un qualsiasi titolo aleatorio deve essere UGUALE al tasso riskfree in equilibrio.

il valore atteso del price deflator deve essere per costruzione uguale a 1.

per un investitore che rispetta il principio di sazietà il price defltor m è positivo

Question 51

cos’è la misura neutrale al rischio? ha qualcosa a che vedere con le assunzioni sull’avversione al rischio degli agenti? come si ottiene? quando si usa? che vantaggio ha? perchè sotto la probabilità neutrale al rischio tutte le attività hanno rendimento atteso pari al tasso riskfree?

Answer 51

è una misura (cioè un modo di pesare le probabilità degli eventi futuri) che viene usata per valutare i prezzi degli strumenti finanziari in modo che NON ci sia premio per il rischio. Questo vuol dire che, sotto questa misura, gli investitori si comportano come se fossero indifferenti al rischio.

NO, l’uso della misura neutrale al rischio non ha niente a che vedere con le assunzioni sull’avversione al rischio degli agenti; non stiamo quindi assolutamente ipotizzando che gli agenti siano neutrali al rischio.

Calcolo della misura neutrale al rischio: La formula di pag 27 e 28 delle lectures note mostra come passare dalla misura reale P alla misura neutrale al rischio Q. La misura neutrale al rischio si ottiene moltiplicando la probabilità reale per il price deflator normalizzato. questa misura è una probabilità a tutti gli effetti in quanto la somma delle Q è 1 in quanto il valore atteso del price deflator è 1 e tutti i Q sono valori positivi

Quando si usa: Questa misura viene usata principalmente nei modelli di valutazione per derivati e per altri strumenti finanziari dove si vuole considerare un mondo in cui il rischio non richiede una ricompensa.

passare dalla probabilità P alla probabilità Q ha il vantaggio che si possono scontare i flussi di cassa rischiosi al tasso riskfree e non a un tasso aggiustato per il rischio.

ciò accade perchè la probabilità neutrale al rischio cattura il fatto che diamo più importanza alle securities che pagano alti payoff negli scenari in cui l’utilità marginale della ricchezza è più alta e quindi queste securities avranno prezzi più alti e rendimenti attesi più bassi: i rendimenti attesi non sono più influenzati dalle nostre preferenze per la ricchezza nei vari scenari perchè QUESTA INFORMAZIONE E’ GIA’ INCLUSA NELLE PROBABILITA’ CHE USIAMO PER PESARE I DIVERSI STATI DEL MONDO NE CALCOLO DEL PAYOFF ATTESO.

Question 52

considera questo esempio numerico: un investitore ha un portafoglio e ci sono 2 possibili stati del mondo u e d. al tempo 1 il portafoglio vale 10000 in u e 7000 in d; l’investitore può poi comprare 2 asset rischiosi a e b che hanno valore finale rispettivamente di 1 in u e 0,5 d e 1 in d e 0,5 in u; quanto sarà disposto a pagare l’investitore per i 2 titoli? per quale dei 2 titoli intuitivamente sarà disposto a pagare di più? Qual’è il rendimento atteso dei 2 titoli? come possiamo stimare le probabilità neutrali al rischio in questo sistema?
qual’è il rendimento atteso dei 2 titoli sotto la probabilità neutrale al rischio Q?

Answer 52

per trovare quanto è disposto a pagare per ciascun titolo si può fare la differenza tra il certo equivalente della ricchezza finale più il titolo e il certo equivalente della sola ricchezza finale. cosi facendo si ottiene che è disposto a pagare 0,717 per il titolo a e 0,807 per il b; si poteva intuire che la cifra sarebbe stata maggiore per il b in quanto questo avendo un payoff maggiore nello scenario d offre maggiore diversificazione al portafoglio e funziona come un assicurazione sulla volatilità del portafoglio.
ps. GUARDA SUL LIBRO COME CALCOLARE IL CERTO EQUIVALENTE.

avendo trovato i 2 prezzi si può trovare il rendimento atteso dei 2 titoli che è 4,58% per a e -7,037% per b (non è una sorpresa che i rendimenti attesi sono talvolta negativi)

possiamo prima calcolare il price deflator nei 2 scenari e poi trovare le 2 probabilità neutrali al rischio moltiplicando le 2 probabilità reali (0,5) per i price deflator. otteniamo cosi 0,412 per lo scenario u e 0,588 per lo scenario d.
le 2 nuove probabilità incorporano le diverse utilità marginali di ricchezza nei 2 stati del mondo, quando calcoliamo il rendimento atteso sotto queste probabilità diamo più importanza a ciò che succede nello scenario d PERCHE’ IN QUESTO SCENARIO SIAMO PIU’ POVERI E DIAMO QUINDI UN MAGGIOR VALORE ALLA RICCHEZZA.

calcolando i rendimenti attesi per i 2 titoli sotto Q si vede che entrambi hanno un rendimento atteso pari a -1,569%. questo rendimento è esattamente uguale al rendimento del titolo riskfree: infatti sotto probabilità neutarle al rischio il rendimento atteso di ciascun asset è pari al tasso riskfree.

Question 53

come si può usare la probabilità neutrale al rischio nella valutazione? quando la valutazione con capm discounting e risk neutral discounting sono equivalenti?

Answer 53

mentre il capm utilizzava il rendimento aggiustato per il rischio al denominatore per scontare i flussi di cassa si può anche attuare una correzione al numeratore al posto che al denominatore per la valutazione dei titoli:
si può infatti riscrivere il numeratore come il valore atteso sotto la probabilità Q e non P e scontare al taso risk free senza apportare così un aggiustamento per il rischio a denominatore.
quindi mentre nella valutazione di un titolo tramite il capm la correzione avviene al denominatore con la risk neutral valuation la correzione avviene al numeratore. non sono due approcci incompatibili ma anzi possono essere molto compatibili e scegliendo un particolare price deflator i 2 approcci sono equivalenti. in particolare i 2 metodi sono equivalenti quando m(ω)=1−Ψ(RM(ω)−μM) con
Ψ=(𝜇𝑀−𝜇𝑓)/𝜎𝑀^2 dove M denota il portafoglio di mercato.
dunque il prezzo di un attività si può trovare facendo il valore atteso SOTTO Q dei suoi flussi di cassa scontato al tasso riskfree.

​
RIGUARDA LA PARTE SU APT E RISK NEUTRAL VALUATION A PAG 29 DEL PDF SU APT.
​

Question 54

considera questo esempio numerico sulla valutazione con risk neutral discounting: considera una economia con 2 scenari u e d in cui le 2 probabilità degli scenari sono pari a 0,5. ci sono 2 securities tradate sul mercato: una riskfree e una rischiosa. il tasso riskfree è del 2% e il payoff dell’asset rischioso è 3 nello scenario u e 2 nello scenario d con prezzo corrente pari a 2,3. un azienda sta valutando di aprire un nuovo business i cui flussi di cassa attesi sono 2,8 nello scenario u e 2,4 nel d e il cui rendimento atteso è 4,4*10^-2. quant’è il fair price per questo nuovo business?
assumendo che l’equilibrio capm valga nel mercato; come si può verificare che il nuovo business sia tra le opportunità di investimento efficenti?
come si può verificare se utilizzando una la misura risk-neutral si ottiene la stessa valutazione per il nuovo business?

Answer 54

il fair price di questo nuovo business è pari al valore atteso dei suoi flussi di cassa futuri scontato a un tasso pari al suo rendimento atteso ovvero: (0,52,8+0,52,4)/(1+4,44*10^-2) cioè 2,4886.

verificando che sia perfettamente correlato con il portafoglio di mercato.

usiamo come price deflator m(ω)=1−Ψ(RM(ω)−μM) con
Ψ=(𝜇𝑀−𝜇𝑓)/𝜎𝑀^2 che è quello che dovrebbe rendere equivalenti le 2 valutazioni. calcoliamo poi i price deflator nei 2 scenari e moltiplichiamo le 2 probabilità reali dei 2 scenari (0,5) per i 2 price deflator ottenendo le probabilità neutrali al rischio dei 2 scenari (0,3459 e 0,6541: la loro somma da 1 e il secondo scenario anche qui è pesato di più perchè in esso siamo più poveri e quindi più sensibili a una variazione della ricchezza). dopodichè troviamo la valutazione del business facendo il valore atteso SOTTO Q dei flussi di cassa futuri e scontando tutto al TASSO RISKFREE. otteniamo una valutazione di 2,4886. siccome è identica a quella ottenuta con valutazione capm possiamo concludere che scegliendo questo particolare price deflator i 2 metodi di valutazione sono EQUIVALENTI.

Question 55

cos’è l’arbitrage pricing theory (APT)? che tipo di approccio è?
perchè è un approccio di equilibrio parziale? quali sono i vantaggi e svantaggi di questo approccio rispetto a quello di equilibrio di mercato?

Answer 55

essa è una teoria che propone un approccio alla valutazione basato su 2 assunzioni:
1) un modello fattoriale lineare fornisce un modello soddisfacente sui rendimenti azionari
2) gli arbitraggisti individuano le opportunità di arbitraggio e speculano tradando finchè esse non scompaiono. il modello è quindi basato su una semplice condizione di arbitraggio: i prezzi azionario rispettano certe relazione perchè sennò gli investitori scovano tutte le possibilità di arbitraggio e sfruttandole riportano il mercato a un livello di efficienza.

è un approccio di EQUILIBRIO PARZIALE che è sviluppato senza alcun riferimento a un singolo agente razionale che massimizza la sua funzione di utilità. il modello è infatti sviluppato semplicemente su una condizione di non arbitraggio.

la valutazione per non arbitraggio è un approccio di equilibrio parziale perchè l’assenza di arbitraggi è una condizione più debole dell’esistenza di un equilibrio nel mercato: l’assenza di arbitraggi è un requirement debole di efficienza: essa è implicata dall’esistenza di un equilibrio ma non implica l’esistenza di un equilibrio di mercato.

vantaggi: questo approccio richiede meno ipotesi sulla struttura di mercato ed è statisticamente verificabile (anche se il fatto che nel modello non vengano specificati dei specifici fattori di rischio da usare rende il modello più difficile da testare)

svantaggio: è una teoria meno informativa e inoltre:
- La teoria non fornisce indicazioni su quali siano i fattori di rischio rilevanti, lasciando l’identificazione di questi fattori al giudizio dell’investitore.
- Inoltre, l’APT fornisce informazioni solo sui prezzi relativi degli asset rispetto a una serie di asset il cui prezzo si prende per dato piuttosto che sul loro valore assoluto basato sui fondamentali economici.

Question 56

come può essere scritto il processo generatore dei rendimenti in un modello fattoriale? quali sono le condizioni sull’errore ei?

Answer 56

ri= bi0+ bi1F1+bi2F2+…+ei dove F sono i rendimenti dei fattori di rischio e bi le sensibilità (esposizione) della security i ai fattori di rischio.
nota che ciascun modello può essere trasformato in modello a media zero sostituendo F o bo (la trasformazione NON muta le esposizioni al rischio)

le condizioni sull’errore ei sono:
-E(ei)=0
- E (eiej)=0 (errori associati a diversi titoli sono incorrelati)
- E(ei^2)=si^2 < infinito (varianza dell errore e finita)
- E(Fei)=0 ( i fattori di rischio non drvono essere correlati con gli errori)

Question 57

in riferimento all’APT; egli suggerisce qualche specifico fattore di rischio da usare nel processo generatore dei rendimenti oppure no? quali sono vantaggi e svantaggi di ciò?

Answer 57

no non suggerisce alcun fattore di rischio; ciò ha il vantaggio di rendere il modello molto flessibile ma ha anche lo svantaggio di renderlo fragile e difficile da verificare empiricamente.
La SELEZIONE dei fattori di rischio è quindi ARBITRARIA.

Question 58

come è definito un portafoglio di arbitraggio nell’APT?
perchè nelle condizioni di arbitraggio viene specificato che il rendimento è positivo quando il numero di securities del portafoglio tende a infinito?

Answer 58

Un portafoglio di arbitraggio è un portafoglio costruito in modo tale da sfruttare le opportunità di arbitraggio presenti sul mercato, ovvero quelle situazioni in cui è possibile ottenere un profitto senza rischio e senza investimento iniziale.
Si definisce portafoglio di arbitraggio un portafoglio che rispetta queste condizioni:

1) Zero Investimento Iniziale:
Un portafoglio di arbitraggio deve essere costruito in modo tale che il valore totale degli investimenti sia pari a zero. Questo significa che la somma ponderata delle posizioni nei vari asset deve essere zero, indicato matematicamente come
∑ con i da 1 a n di wi=0 dove wi
rappresenta il peso dell’asset i nel portafoglio.
Questo implica che il portafoglio NON richiede un capitale iniziale. Le posizioni lunghe (acquisto di titoli) sono completamente bilanciate dalle posizioni corte (vendita allo scoperto di titoli).

2) Assenza di Rischio Sistematico:
Un portafoglio di arbitraggio deve avere un’esposizione nulla al rischio sistematico, ovvero quel rischio che non può essere diversificato. Matematicamente, ciò significa che la sensibilità ponderata del portafoglio rispetto a OGNI fattore di rischio deve essere pari a zero:
∑ con i da 1 a n di wi*bij=0 per ogni j ovvero per ogni fattore
Ciò implica che il portafoglio è costruito in modo da essere IMMUNE ai movimenti del mercato dovuti a fattori sistematici, il che riduce il rischio associato a cambiamenti economici generali.

3)Opportunità di Arbitraggio:
Un portafoglio che soddisfa le condizioni sopra menzionate è considerato un portafoglio di arbitraggio se ha un guadagno atteso positivo man mano che il numero di titoli nel portafoglio tende a infinito. Questo guadagno positivo è giustificato dalla capacità di sfruttare inefficienze di prezzo senza correre rischi sistematici.
Nella pratica, l’esistenza di opportunità di arbitraggio implica che il mercato non è in equilibrio, perché tali opportunità dovrebbero teoricamente essere eliminate rapidamente dagli arbitraggisti, portando il mercato verso l’equilibrio.

4) Guadagno Atteso nullo
In un mercato privo di opportunità di arbitraggio, un portafoglio che non richiede capitale e non presenta rischi sistematici deve avere un guadagno atteso pari a zero.
Questa condizione riflette l’idea che, in un mercato efficiente, NON si può ottenere un profitto senza assumere alcun rischio. Se un portafoglio ha zero investimento iniziale e zero rischio sistematico, non dovrebbe produrre guadagni attesi.

perchè il rendimento di un portafoglio composto da un numero finito di securities può avere un investimento iniziale nullo e un rischio sistematico nullo ma un rischio idiosincratico positivo, in questo caso un possibile rendimento atteso positivo potrebbe essere giustificato dal rischio idiosincratico e quindi non essere un arbitraggio. se invece facciamo tendere le securities a infinito il rischio idiosincratico sparisce e quindi un positivo rendimento atteso con zero costo e zero rischio sarebbe un arbitraggio: per questo la condizione di arbitraggio è richiesta nel limite asintotico in cui le securities tendono a infinito.

domanda: ma non abbiamo detto che il rischio idiosincratico non è compensato dal mercato?

Question 59

qual’è il teorema principale dell’apt?

Answer 59

è il teorema di ross che dice che se non esistono opportunità asintotiche di arbitraggio nel mercato allora quando il numero di asset n tende a infinito il guadagno atteso dell’asset i ,ui, è una combinazione lineare di una componente costante λ0 e di una componente sistematica ottenuta moltiplicando le sensibilità bij con il j-esimo fattore di premio al rischio λi più una componente non sistematica vi che tende a 0 quando n tende a infinito. questa ultima proposizione si può dimostrare basandosi su alcune proprietà standard dei residui di una regressione lineare. i passaggi della dimostrazione sono:
- stimare con regressione lineare i coefficenti del modello
- costruire il portafoglio P con wi= vi/(radice di n* //v//) dove //v// è la radice della sommatoria dei vi^2
- richiamando le proprietà dei residui si vede che il portafoglio P è a costo nullo ed ha esposizione nulla rispetto ai fattori di rischio
- l’assenza di arbitraggi impone che il valore atteso del rendimento di P sia nullo e quindi la radice della sommatoria dei v^2/N deve tendere a 0 quando n tende a infinito; abbiamo quindi verificato la seconda equazione.

in pratica questo teorema dice che il rendimento atteso di ogni titolo, a meno di un termine residuale vi che si affievolisce sempre di più all’aumentare del del numero dei titoli, e di una componente fissa e uguale per tutti i titoli λ0, dipende linearmente da una famiglia di coefficenti (λ1,λ2 ecc..) interpretabili come premi al rischio associati a vari fattori di rischio.

Question 60

nel teorema di ross dell’apt,qual’è l’interpretazione economica dei coefficenti λ ? cosa sono i portafogli di replicazione o portafogli mimici di replicazione dei fattori?
qual’è l’impatto dei coefficenti λi sulla valutazione degli asset?

Answer 60

I coefficienti nell’ APT rappresentano i premi per il rischio associati a ciascun fattore di rischio sistematico identificato nel modello. Ecco un approfondimento sull’interpretazione economica di questi coefficienti:
Ogni λ rappresenta il rendimento atteso in eccesso che un investitore richiede per assumere un’unità di rischio sistematico associato al fattore j. In altre parole, è il compenso extra che un investitore si aspetta per l’esposizione a un particolare fattore di rischio che NON può essere eliminato attraverso la diversificazione.
Ad esempio, se λ1 corrisponde al premio per il rischio associato al fattore di crescita economica, un λ1 positivo significa che gli investitori richiedono un rendimento extra per detenere asset che sono esposti al rischio di variazioni nella crescita economica. Più alto è il valore di λ1 maggiore è il premio richiesto per quel particolare rischio.
λi rappresenta quindi la differenza tra il rendimento atteso di un portafoglio che ha un’unità di esposizione al rischio associato al fattore j e il rendimento privo di rischio. Questa differenza è il “premio per il rischio” specifico per quel fattore.

Portafogli di Replicazione:
Portafogli Mimici dei Fattori: I coefficienti λi possono essere interpretati anche attraverso portafogli mimici dei fattori (factor mimicking portfolios). Questi portafogli sono costruiti in modo da avere esposizione esattamente ad UN SINGOLO fattore di rischio. Il rendimento in eccesso di questi portafogli sopra il rendimento privo di rischio rappresenta DIRETTAMENTE il λi associato a quel fattore.
Interpretazione Pratica: Ad esempio, se si costruisce un portafoglio che replica il fattore di rischio “mercato” e si osserva che il rendimento in eccesso di questo portafoglio è del 5%, allora λj per il rischio di mercato è del 5%. Questo significa che gli investitori richiedono un 5% extra sopra il rendimento privo di rischio per compensare il rischio di mercato.

Impatti sulla Valutazione degli Asset:
Asset Pricing: I coefficienti λj giocano un ruolo cruciale nella determinazione del prezzo degli asset. Essi riflettono quanto ciascun fattore di rischio influisce sul rendimento atteso di un asset. Gli investitori, quindi, usano questi coefficienti PER VALUTARE se un asset è CORRETTAMENTE prezzato rispetto al rischio sistematico che comporta.

Riepilogo:
I coefficienti λj nell’APT rappresentano il premio per il rischio sistematico richiesto dagli investitori per detenere asset esposti a specifici fattori di rischio. Essi riflettono il rendimento extra, rispetto al rendimento privo di rischio, che gli investitori esigono per compensare l’esposizione a questi rischi non diversificabili. Questi coefficienti sono fondamentali per la determinazione dei prezzi degli asset e per garantire che il mercato rimanga in equilibrio.

Question 61

considera questo esempio pratico sull’apt: immagina di avere 2 fattori di rischio rilevanti (K=2) e che vi=0. supponi che puoi costruire un portafoglio con esposizione nulla a entrambi i fattori (bp1 e bp2= 0), quanto è il suo guadagno atteso?
costruiamo ora un secondo portafoglio con esposizione 1 al primo fattore e 0 al secondo (bp11=1 e bp12=0), come si chiama questo portafoglio? qual’è il suo rendimento atteso?

Answer 61

il portafoglio p avendo esposizione nulla ai 2 fattori avrà rendimento atteso λ0 ma siccome questo portafoglio ha rischio sistematico nullo per non essere un arbitraggio deve avere anche rendimento atteso uguale al tasso riskfree e perciò λ0 deve essere uguale al tasso riskfree.

questo portafoglio è detto factor minimicking portafolio 1 o factor replication portfolio 1. il suo rendimento atteso è λ0+ λ1 dove prima abbiamo detto che λ0=rf. quindi λ1= up1-rf: da qui si vede che λ1 è l’eccesso di rendimento sul riskfree di un portafoglio con esposizione unitaria su un fattore e nulal sugli altri; può quindi essere interpretato come IL PREMIO AL RISCHIO che gli investitori ottengono per assumere un esposizione unitaria a un certo fattore di rischio.

Question 62

perchè si scelgono spesso portafogli tradati come fattori di rischio?

Answer 62

L’uso di portafogli tradati come fattori di rischio nell’APT è vantaggioso perché:

• Rendono i fattori di rischio osservabili e direttamente legati ai rendimenti di mercato.
• Facilitano la stima empirica dei premi per il rischio (𝜆𝑗) usando dati di mercato disponibili. i premi per il rischio possono essere stimati cosi; ad esempio per 𝜆1:
  1/T*∑ con i da 1 a T di (ra,t - rf,t)
• Permettono di costruire modelli empirici che sono facilmente testabili e che possono essere applicati in pratica con maggiore semplicità usando dati di mercato disponibili.

Question 63

qual’è un metodo convenzionale per creare portafogli correlati con una specifica caratteristica d’impresa (come il rapporto book value/capitalizzazione)? cosa conviene fare quando ci sono K fattori di rischio?
qual’è il metodo introdotto da fama e french per costruire questi portafogli?

Answer 63

è la realizzazione di LONG-SHORT portfolios che si basa sul realizzare un portafoglio che compri delle imprese con alti livelli di quella carratteristica (ad esempio alto rapporto book value/cap) e vendere imprese con basso livello di quella caratteristica. in questo modo il rendimento del portafoglio è altamente correlato all’informazione utilizzata per scegliere le imprese.

in questo caso conviene creare K portafogli, ciascuno massimamente correlato rispetto a una caratteristica (un fattore) e MOLTO BEN DIVERSIFICATO rispetto agli altri in modo tale che il rendimento di ciascun portafogli dipenda quasi esclusivamente da un solo fattore di rischio.

il metodo di costruzione di fama e french è questo:
- per ogni caratteristica i titoli sono messi in ordine in base alla loro esposizione al rischio e poi raggruppati in portafogli raggruppati per quintili (es. terzili, quintili decili) per ciascuna caratteristica: il numero di portafoglio creati è g^k dove g è ad esempio uguale a 3 se dividiamo in terzili ecc..
ad esempio se abbiamo 2 fattori di rischio e li dividiamo in terzili otterremo 9 portafogli
- per ogni caratteristica è possibile creare un minimicking portfolio che è massimamente correlato con un fattore di rischio (ad esmepio il primo) e ben diversificato rispetto agli altri. questo portafoglio è ottenuto come una combinazione long short di 2 portafogli: uno long che equipesa questi 3 portafogli: quello con esposizione alta al primo fattore e alta al secondo, quello con esposizione alta al primo e media al secondo e quello con esposizione alta al primo e bassa al secondo e uno short che equipesa questi 3 portafogli: quello con esposizione bassa al primo fattore e alta al secondo, quello con esposizione bassa al primo e media al secondo e quello con esposizione bassa al primo e bassa al secondo.
-stessa cosa si può fare per tutti i fattori costruendo tutti i k minimicking portfolios

Question 64

sotto quali condizioni il CAPM e l’APT sono entrambi modelli validi? quale dei 2 è più specifico?

Answer 64

se supponiamo che:
1) che l’apt tiene in un ambiente con un solo fattore di rischio
2) che l’unico fattore di rischio sia l’eccesso di rendimento del portafoglio di mercato sul riskfree
allora l’equilibrio del CAPM è implicito nel modello ed entrambi i modelli sono validi.

Il CAPM è più specifico dell’APT perché specifica anche il numero e l’espressione dei fattori che determinano i rendimenti attesi.

Question 65

nella costruzione di teorie su modelli di equilibrio sono necessarie delle semplificazioni dei fenomeni oggetto di studio, come si fa a capire effettivamente quanto sia grande il danno apportato da queste assunzioni?

Answer 65

per capirlo bisogna esaminare la relazione tra ciò che il modello prevede e ciò che accade nel mondo reale ovvero bisogna eseguire dei TEST EMPIRICI. nel nostro caso vogliamo capire quanto bene il capm o l’apt descrivano il comportamento del mercato dei capitali.
il problema però diventa: come possiamo costruire test empirici sensati e come possiamo testare il capm o una delle sue varianti.

Question 66

tutti i modelli, come il capm o lo zero-capm, sono scritti in forma di aspettative e tutte le variabili sono scritte in termini di valori futuri; (es. il beta è quello futuro, i rendimenti sono quelli attesi ecc..); ma siccome dati di larga scala e sistematici sulle aspettative non ci sono cosa si usa? come si può giustificare questa scelta?

Answer 66

quasi tutti i test sul capm sono stati fatti usando dati ex-post o osservati delle variabili.
questa scelta è critica da molti ed è difficile da giustificare; ma tuttavia ci sono 2 grandi linee di difesa che sono state usate per giustificare questa scelta:
- le aspettative sono in media, e nel totale, corrette quindi su lunghi periodi di tempo eventi attuali possono essere presi come proxy per le aspettative
- la seconda difesa parte dal modello di mercato di cui poi prende le aspettative e ricava alpha in funzione del rendimento atteso del mercato. dopodichè si sostituisce questo alpha nella equazione iniziale del modello; a questo punto si può ricavare il valore atteso di ri dal capm e sostituirlo nell’equazione del modello ottenendo cosi questa equazione: rit= r0+Bi*(rmt-r0)+eit. Si può quindi testare il CAPM usando time series storiche dei rendimenti realizzati. ma bisogna notare che ci sono 3 assunzioni sotto questo modello:
- il processo generatore dei rendimenti vale in ogni periodo
- il capm vale in ogni periodo
- il beta è stabile nel tempo
quando testiamo il capm usando dati storici stiamo di fatto testando queste 3 ipotesi simmultaneamente.

Question 67

indipendentemente dal tipo di capm che si vuole testare quali sono le 3 principali ipotesi che dovrebbero valere sempre e che vogliamo testare?
oltre a queste ipotesi comuni del capm e dello zero-capm quali sono delle ipotesi che possono differenziare i 2 modelli di equilibrio?

Answer 67

1) che un rischio maggiore ( beta più alto) dovrebbe essere associato a un livello di rendimento più alto
2) che i rendimenti siano linearmente relazionati con i beta
3) che non ci dovrebbe essere nessun rendimento aggiuntivo per non assumersi un rischio di mercato

per capire se è più valido un modello o l’altro per certi dati bisogna considerare che il capm implica che la SML dovrebbe avere un intercetta pari a r0 e una pendenza paria a rm-r0 mentre lo zero-capm implica che dovrebbe avere intercetta pari a rzc e pendenza pari a (rm- rzc)

Question 68

quali sono le 2 metodologie più comuni per testare il capm? quali sono vantaggi e svantaggi di cross sectional analysis?

Answer 68

1) test time-series: per applicare questo metodo basta fare una regressione timeseries sui rendimenti di un asset sul rendimento di una proxy del portafoglio di mercato. la specificazione più comune del modello è testare:
rit-rot= alpha + Bi*(rmt-r0t)+eit.
si noti che ora la variabile del tasso privo di rischio ha un indice temporale. Questo perché non esiste un vero e proprio asset privo di rischio nell’economia, e di solito utilizziamo come approssimazione del tasso privo di rischio il rendimento a scadenza di un’obbligazione governativa a breve termine. Questo tasso ha una volatilità positiva, seppur ridotta.
L’ovvia implicazione verificabile di questo modello è l’ipotesi nulla
𝐻0: alpha=0. Cioè, non dovrebbe esserci un rendimento positivo che vada oltre quello giustificato dall’esposizione al fattore di rischio di mercato.

2) test cross-sectional: basati su regressioni su dati cross-sectional di rendimenti azionari su una proxy per l’esposizione al fattore di rischio di mercato e possibilmente anche dei fattori addizionali. una possibile specificazione del test è:
rit= b0t+b1tBi +b2tBi^2+b3t*Si+eit dove S è l’esposizione della security i a un altro fattore di rischio.
alcune implicazioni testabili sono:
- b0t= r0t o = rzc in base a se vogliamo verificare il capm o lo zero capm
- b1t= rm-rot o rmt-rzct in base a se vogliamo testare il capm e lo zero capm
- b2t=0 e b3t=0 sia se stiamo verificando il capm che se stiamo verificando lo zero capm

le analisi cross- section sono molto più flessibili rispetto all’approccio timeseries e inoltre offrono anche molte implicazioni da testare.
d’atro canto però questa metodologia richiede la precedente conoscenza della sensibilità dei rendimenti degli asset ai fattori di rischio ma come sappiamo i beta degli stock non possono essere osservati ma devono essere stimati con una regressione time series: per questo i test cross- sectional acquisiscono la natura di esperimenti a 2 stage: una regressione timeseries per stimare i beta e poi la regressione cross-sectional in secondo luogo.

Question 69

illustra l’esempio di test timeseries di black jensen e scholes del 1972
per testare il capm sarebbe desiderare usare un alto numero di securities; come risolvono questo problema?
in relazione al beta cosa vogliono fare gli autori nella creazione del portafoglio?
qual’è l’esatta procedura che hanno seguito?
quali sono i risultati ottenuti?

Answer 69

essi sono i primi a condurre un test di time series in profondità sul capm; considerano questo modello:
rit-r0t=alpha + Bi*(rmt-r0t)+eit e testano se alpha è significativamente diverso da zero o no.

Il metodo ovvio consiste nel prendere tanti asset e stimare l’equazione per ciascuna serie di titoli e poi esaminare la distribuzione degli αi.Tuttavia, questo è inappropriato perché i test sulla distribuzione degli α assumono che i residui (εit, εjt) siano indipendenti, ma non lo sono.
Un modo per alleviare il problema è eseguire la regressione su serie temporali per i portafogli. Ora rit è il rendimento del portafoglio i. Poiché i portafogli utilizzano dati su più di un titolo e poiché la varianza residua della regressione utilizzando i portafogli incorporerà l’effetto di eventuali interdipendenze cross-sectional,lo standard error dell’intercetta PUO’ essere utilizzato per testare la differenza dell’αi rispetto a zero.

Quando formano portafogli, Black, Jensen e Scholes vogliono massimizzare la differenza nei Betas tra i portafogli per poter esaminare l’effetto del Beta sul rendimento. Il modo più ovvio per farlo è classificare le azioni nei portafogli in base al Beta vero. Tuttavia, tutto ciò che abbiamo è il Beta osservato. Classificare le azioni nei portafogli in base al Beta osservato introdurrebbe un bias di selezione. Le azioni con un Beta osservato alto (nel gruppo più alto) sarebbero più propense ad avere un errore di misurazione positivo nella stima del Beta. Questo introdurrebbe un bias positivo nel Beta per i portafogli con un Beta alto e un bias negativo nella stima dell’intercetta αi. Per evitare questo problema, è stata utilizzata una variabile strumentale per classificare le azioni nei portafogli. Una variabile strumentale è una variabile che idealmente è altamente correlata con il Beta vero ma può essere osservata indipendentemente (gli autori hanno usato il beta al tempo precedente per ogni security).

l’esatta procedura è:
1) stima dei Betas e Classificazione in Decili: Si utilizzano cinque anni di dati mensili per stimare i Betas e classificare le azioni in decili (DAL più alto al più basso). Ogni decile viene poi considerato come uno dei portafogli nell’anno successivo (ad esempio, il sesto anno).
2) Ripetizione della Procedura: La procedura viene poi ripetuta spostando avanti di un anno (i dati dal secondo al sesto anno sono usati per stimare i Betas, classificare le azioni e formare i decili che sono considerati portafogli per il settimo anno). Questo processo è stato ripetuto per l’intera durata del campione, 35 anni.
3) Serie Temporali di Rendimenti: Il rendimento del primo decile in ciascun anno è considerato come una serie temporale di rendimenti di un portafoglio, il rendimento del secondo decile in ciascun anno è considerato come una serie di rendimenti di un altro portafoglio, e così via.
4) Regressione dei Portafogli sul Mercato: Ciascuno dei dieci portafogli è stato poi regredito contro il mercato, e per ciascuna equazione sono stati calcolati un’intercetta, un Beta, e un coefficiente di correlazione.

i risultati sono:
- Si osserva che i portafogli con Betas più alti tendono ad avere rendimenti in eccesso maggiori, ma con intercette negative (𝛼), mentre i portafogli con Betas più bassi tendono ad avere intercette positive.
- Gli alti valori di R^2 indicano che il modello spiega molto bene i rendimenti in eccesso. Questo suggerisce che la struttura lineare del modello è una BUONA spiegazione per i rendimenti dei titoli.
- il fatto che l’intercetta si discosti un pò da zero e tenda ad essere negativa quando B è > di 1 e positiva quando è < di 1 è PIU’ CONSISTENTE CON UN MODELLO ZERO-BETA CAPM CHE CON UN MODELLO CAPM STANDARD. la dimostrazione di questo è a pagina 45 delle lecture notes SUPER IMPORTANTE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Question 70

illustra l’approccio di test empirico cross-sectional di fama and macbeth del 1973. qual’è la loro innovazione? in cosa consiste la strategia?

Answer 70

questi autori hanno introdotto un interessante metodologia per testare il capm che ora è applicato anche all’analisi dell’apt multifattoriale.

la loro innovazione risale nell’osservazione che in un mercato efficiente le correlazioni cross-sectional sono attese essere maggiori di quelle timeseries che invece sono ridotte dal fatto che i trader cercano di scovare pattern per prevedere i rendimenti futuri. il metodo consiste nel considerare i rendimenti per diverse security e a diversi istanti temporali e la strategia è semplice e a 2 passaggi:
1) fare una timeseries di regressioni cross sectional
2) calcolare le medie campionarie dei coefficienti delle regressioni per misurare la significatività dei coefficienti

Question 71

illustra il primo esempio di test cross sectional di fama e macbeth. qual’è l’equazione testata? quali sono le ipotesi testate? che risultati hanno riscontrato fama e macbeth? cosa vuol dire testare che il mercato sia equo?

Answer 71

1) I ricercatori hanno formato 20 portafogli di titoli per stimare i Betas utilizzando una prima regressione (chiamata “first-pass regression”); Il primo passaggio ha l’obiettivo di stimare il Beta di ciascun titolo o portafoglio di titoli rispetto al mercato.
2) Successivamente, hanno condotto una seconda regressione cross-sectional (chiamata “second-pass”) su ogni mese del periodo successivo, coprendo gli anni dal 1935 al 1968. Questa fase serve a testare se e come il Beta influenza i rendimenti attesi, oltre a verificare altre ipotesi del modello CAPM.
l’equazione testata nel secondo passaggio è:
rit= γ0t +γ1tBi+ γ1tBi^2+ γ
3t*Sei + nit dove Sei è la dev standard dei residui della regressione del primo passaggio e γ0, γ1 e γ2 sono i coefficienti che si vogliono stimare nel tempo.

3)vengono testate diverse ipotesi sul mercato e il CAPM:
- 𝐸(𝛾3𝑡)=0: Il rischio residuo non influisce sul rendimento, il che sarebbe coerente con il CAPM.
- 𝐸(𝛾2𝑡)=0: Non ci sono non-linearità nella Security Market Line (la relazione tra Beta e rendimento è lineare), come predetto dal CAPM.
𝐸(𝛾1𝑡)>0: Esiste un prezzo positivo per il rischio nei mercati di capitali, CIOE’ il Beta è un fattore di rischio SIGNIFICATIVO.
se le prime due ipotesi valgono possiamo anche valutare 𝛾0t e 𝛾1t per vedere se sia meglio per la descrizione dei rendimenti un capm o uno zero-beta capm.
infine possiamo valutare tutti i coefficienti e i residui per vedere se il mercato opera un gioco equo (no possibilità di usare dati passati per predirre rendimenti futuri); ad es. se il capm o lo zero-beta capm vale il valore atteso di 𝛾2 e 𝛾3 dovrebbe essere 0 indipendentemente dai valori precedenti e le deviazioni di 𝛾0 e 𝛾1 dalle loro medie dovrebbe essere random e indipendente da ciò che succede nei periodi precedenti.

i risultati riscontrati sono questi:

• 𝛾3 è piccolo e NON significativamente diverso da zero e infatti presenta differenze di segno nei sottoperiodi: possiamo quindi concludere che il rischio residuale NON ha effetto sul rendimento atteso di una security.
  per vedere però se il mercato è equo bisogna anche testare che valori passati di 𝛾3 non prevedano i valori futuri; per fare ciò si è testata la AUTOcorrelazione che si è verificato essere NON DIVERSA da zero (mercato equo)
• anche per 𝛾2 i risultati sono molto simili: il coefficente medio non è statisticamente significativo cosi come l’autocorrelazione. quindi anche il termine di beta quadro NON INFLUENZA IL RENDIMENTO ATTESO DELLE SECURITIES e non rende il mercato non equo.
• dopo queste 2 conclusioni la forma corretta da analizzare diventa quindi:
  rit= 𝛾0 + 𝛾1t*Bi +nit.
  analizzando tale equazione hanno verificato come la performance di 𝛾1 evidenzia come la relazione tra rendimento atteso e beta sia POSITIVA E LINEARE. anche qui l’autocorrelazione di 𝛾1 non è statisticamente significativa e il mercato continua quindi a essere equo
• hanno trovato che 𝛾0 è generalmente e statisticamente più grande di una ragionevole proxy per il riskfree rate (ro) e che 𝛾1 è generalmente minore di rm-ro. QUESTI 2 FATTI SEMBRANO INDICARE CHE IL MODELLO ZERO-BETA CAPM E’ PIù CONSISTENTE CON LE CONDIZIONI DI EQUILIBRIO RISPETTO AL CAPM NORMALE

Question 72

qual’è la critica di roll alla possibilità di verificare empiricamente il capm?

Answer 72

Roll parte con il dire che qualsiasi portafoglio efficiente dal punto di vista media-varianza può implicare una relazione di pricing lineare simile al CAPM. Tuttavia, affinché questa relazione rappresenti il CAPM, DEVE essere derivata dal vero portafoglio di mercato. Qui sorge il problema secondo Roll: Il vero portafoglio di mercato, che è il più efficiente tra tutti gli investimenti possibili, NON è infatti osservabile in quanto non è possibile osservare tutte le opportunità di investimento presenti. Pertanto, è impossibile testare empiricamente se questo portafoglio è efficiente media-varianza e, di conseguenza, non è possibile testare la validità del CAPM.

per riassumere qualsiasi test empirico del CAPM secondo lui è in realtà un test CONGIUNTO del modello di pricing E della scelta del proxy utilizzato per rappresentare il portafoglio di mercato.

Question 73

Cosa hanno fatto fama e french nel 1992? qual’è il punto d cui partono? quali sono le contraddizioni che riscontrano? l’esperimento è eseguito su azioni o portafogli?

Answer 73

hanno fatto delle analisi cross-sectional sui rendimenti azionari per testare la significatività dei fattori di rischio aggiuntivi al portafoglio di mercato.

loro partono dalle 2 maggiori predizioni del capm:
- che il rendimento atteso delle securities è una funzione lineare e positiva dei loro beta
- che il beta di mercato è sufficiente a descrivere la cross-section dei rendimenti attesi
e riscontrano come ci siano MOLTE CONTRADDIZIONI EMPIRICHE di questo modello:
- La più evidente è l’effetto dimensionale (size effect) di Banz (1981). Egli scopre che la capitalizzazione di mercato contribuisce a spiegare la cross-section dei rendimenti medi oltre a quanto spiegato dai Beta di mercato. I rendimenti medi delle azioni di piccole dimensioni (bassa capitalizzazione) sono troppo alti rispetto alle loro stime di Beta, e i rendimenti medi delle azioni di grandi dimensioni sono troppo bassi.
- Un’altra contraddizione del CAPM è la relazione positiva tra leverage (leva finanziaria) e rendimento medio documentata da Bhandari (1988). È plausibile che la leva finanziaria sia associata al rischio e al rendimento atteso, ma nel CAPM il rischio di leva dovrebbe essere catturato dal Beta di mercato. Bhandari scopre, tuttavia, che la leva finanziaria aiuta a spiegare la sezione trasversale dei rendimenti medi delle azioni in test che includono la dimensione così come il Beta.
- Infine, Stattman (1980) e Rosenberg scoprono che i rendimenti medi delle azioni statunitensi sono positivamente correlati al rapporto tra il valore contabile del patrimonio netto di una società (BE) e il suo valore di mercato (ME). Chan, Hamao e Lakonishok (1991) trovano che il rapporto book-to-market (rapporto valore contabile/valore di mercato, BE/ME) ha un ruolo importante anche nello spiegare la sezione trasversale dei rendimenti medi delle azioni giapponesi.
- Infine, Basu (1983) dimostra che i rapporti prezzo/utili (E/P) aiutano a spiegare la sezione trasversale dei rendimenti medi delle azioni statunitensi in test che includono anche dimensione e Beta di mercato.

fama e french raggruppano tutte le loro ricerche in un esperimento cross-sectional usando dati di tutte le aziende non finanziarie listate sul NYSE, AMEX e NASDAQ dal 1962 al 1989 e replicano l’approccio di fama e macbeth del 1973. stavolta però siccome rapporti come E/P e BE/ME sono calcolati su azioni singole, l’esperimento è eseguito a livello di azioni e NON di portafogli; ANCHE SE in realtà loro stimano il beta di portafogli e poi lo attribuiscono a tutte le stock al loro interno.

Question 74

quali conclusioni traggono fama e french dopo il loro esperimento?

Answer 74

Concludono che i fattori più rilevanti sono la capitalizzazione di mercato (ME, logaritmo naturale) e il rapporto book-to-market (BE/ME, logaritmo naturale). gli autori hanno anche dimostrato come essi siano fattori più forti anche rispetto all’esposizione al rischio di mercato.

Queste due caratteristiche sono denominate anomalie del CAPM; infatti, è possibile utilizzare queste informazioni per ordinare i titoli in modo tale che i portafogli determinati dall’ordinamento (ad esempio, portafogli a quintile o terzile) abbiano rendimenti in eccesso attesi CRESCENTI e che l’ordinamento dei portafogli generi un’alpha significativo, o, in alternativa, un’esposizione al rischio che il Beta del CAPM NON riesce a spiegare.

GUARDA TABELLA RIASSUNTIVA A PAGINA 51 DELLE LECTURES NOTE.

Question 75

come hanno modificato il loro modello fama e french nel tempo?

Answer 75

Siccome l’esistenza di molteplici fattori di rischio prezzati nel mercato azionario richiama immediatamente l’idea di un equilibrio simile al modello APT e, come abbiamo visto, le implicazioni verificabili dell’APT diventano molto più potenti quando i fattori di rischio sono portafogli azionari fama e french hanno deciso di prendere in considerazione anche un modello diverso. Il modello originale di Fama e French infatti considerava due fattori di rischio aggiuntivi NON rappresentati dai rendimenti azionari; Per aumentare la potenza del loro modello, gli stessi autori hanno quindi sviluppato anche una versione in cui tutti i fattori di rischio sono rappresentati dai rendimenti di portafogli azionari: SMB e HML. SMB è pari alla differenza tra il rendimento di un portafoglio di stock a bassa cap e quello di un portafoglio di stock ad alta cap e HML è pari alla differenza tra il rendimento di un portafoglio con alto rapporto bv to mc e quello con azioni con basso rapporto.
GUARDA PAG 52 SU LECTURES NOTES PER CAPIRE COME SI COSTRUISCONO

Question 76

qual’è stato lo sharpe ratio di buffet negli ultimi 30 anni? qual’è l’alpha di buffet rispetto ai tradizionali fattori di rischio? cosa bisogna aggiungere affinchè diventi non significativo?
da cosa è spiegato questo rendimento di buffet?

Answer 76

lo sharpe ratio è stato di 0,76 più alto di qualunque altra stock o mutual fund.
l’alpha è significativo rispetto ai tradizionali fattori di rischio ma diventa insignificativo quando si aggiungo i fattore betting against beta e quality minus junk: questi 2 fattori spiegano gran parte del rendimento di buffet.
il suo rendimento è spiegato dall’uso della leva combinata a un focus su aziende convenienti, sicure e di qualità.

Question 77

come ha fatto buffet a diventare tra gli uomini più ricchi del mondo con uno sharpe ratio di 0,76 che , pur essendo il più alto tra stock e mutual fund, non è superumano?

Answer 77

la risposta è che buffet ha potenziato i suoi rendimenti grazie alla leva ed è rimasto su un ottima strategia per un periodo di tempo molto lungo soppravivendo anche a periodi molto duri. si stima che abbia usato una leva di1.6 a 1 potenziando sia il rischio che l’eccesso di rendimento in questa proporzione.
inoltre buffet probabilmente è stato il primo a capire che i fattori bab e qmj che spiegano gran parte del suo portafoglio funzionassero veramente.

Question 78

come le sceglie le stock buffet per ottenere un flusso di rendimenti che poi potrà potenziare con la leva?

Answer 78

si possono identificare alcune caratteristiche del suo portafoglio; lui compra azioni che sono:
- sicure (basso beta e bassa volatilità)
- economiche (stock value con bassi price to book value)
- di alta qualità (profittevoli, stabili e con alti payout ratio).
le aziende con queste caratteristiche tendono a performare bene in generale, non solo quelle specifiche che compra buffet.

il principio cardine è comprare stock di qualità quando il prezzo è basso.

dunque il successo di buffet è dipeso da:
- ha deciso i suoi principi e scovato dei fattori che secondo lui funzionavano
- ha trovato il modo di usare la leva in modo efficace
- è stato capace di attenersi a suoi principi per lunghi anni

Question 79

il successo e il rendimento di buffet è dovuto di più alle sue doti di stock picking o alle sue abilità di CEO ovvero è più un investitore o un manager? perchè allora buffet fa affidamento pesantemente a investimenti in compagnie private anche?

Answer 79

per capirlo si sono decomposti i rendimenti di buffet e di berkshire hathaway nella parte dovuta a investimenti in stock pubbliche e tradate e in quella dovuta a compagnie private guidate da berkshire. si è visto che entrambi contribuiscono alla performance di buffet ma il primo portafoglio in maggior misura evidenziando come l’abilità di buffet è principalmente nella stock selection. infatti lo sharpe ratio delle stock pubbliche è maggiore di quello delle stock private; da notare però che lo sharpe ratio di berkshire hataway è più alto di entrambi in quanto beneficia dell’efffetto di diversificazione.
questo è uno dei motivi per cui buffet ha fatto cosi tanto affidamento anche ad aziende private; inoltre questa struttura gli fornisce una fonte stabile di finanziamento (si è visto che il 36% delle liabilities di buffet viene dal flusso assicurativo che ha un costo di molto inferiore a quello del tbill.

Question 80

che rendimento e volatilità ha registrato il portafoglio di buffet tra il 1976 e il 2011 e qual’è il beta che ha realizzato?

Answer 80

1 euro investito nel 1976 varrebbe 1500 nel 2011. buffet ha registrato un eccesso di rendimento medio sul tbill del 19%. di molto sopra a quello medio del mercato azionario del 6,1% con una volatilità maggiore del 25% rispetto a quella media del 16%. lo sharpe ratio è stato dello 0,76 contro quello medio di 0,39 del mercato azionario. il beta realizzato da buffet è di SOLO 0,7

Question 81

quali sono le 2 maggiori liabilities di buffet? la leva spiega interamente l’eccesso di rendimento che buffet ha avuto?

Answer 81

debito e flusso assicurativo, infatti calcolando la leva usando solo queste liabilities verrebbe una leva di 1,4 a 1 di poco inferiore a quella di 1,6 a 1 trovata usando tutte le liabilities. questa leva spiega il perchè buffet ha registrato un alta volatilità nonostante abbia investito in un ristretto numero di aziende stabili e con beta basso.

no, perchè se anche moltiplichiamo l’eccesso di rendimento medio del mercato di 6,1% per 1,6 otteniamo comunque 10% che è molto distante dal 19% di buffet. uno dei motivi di ciò è l’estremamente basso costo del debito di cui ha beneficiato buffet reso possibile da questi motivi:
- ha beneficiato dall’essere ratato molto bene
- grazie al flusso assicurativo: i premi assicurativi possono essere paragonati a dei prestiti ma con dei costi inferiori, il costo annuale stimato è solo del 2,2% di 3 punti percentuali sotto alla media del t bill rate. dunque i business di assicurazioni di buffet gli hanno dato un grande vantaggio competitivo in termini di accesso unico a conveniente leva.
- l’uso di deduzioni alle tasse per finanziarsi

Question 82

in relazione alla strategia di investimento di buffet qual’è la sua esposizione ai fattori di rischio?

Answer 82

regredendo i rendimenti prima solo sul rendimento del mercato si può vedere come il portafoglio di buffet abbia un beta minore di 1 (0,84) e un alpha significativo. analizzando quindi gli altri fattori si è visto che:
- berkshire ha un esposizione negativa (-0,32) al fattore size riflettendo la tendenza a comprare aziende grandi
- ha un esposizione positiva (0,63) al fattore value riflettendo la tendenza a comprare aziende con alti rapporti tra book value e market cap
- ha una esposizione non significativa al fattore momentum (0,06) che consiste nel comprare aziende che stanno andando bene

collettivamente questi 4 fattori tradizionali (mercato, size, value e momentum) NON spiegano molto dell’apha di buffet.

si è poi dimostrato che controllando anche i fattori BAB e QMJ l’apha annuale realizzato diventava non significativo indicando che questi fattori assieme spiegano quasi interamente la performance di buffet. un esposizione positiva al bab riflette la tendenza di comprare aziende a basso beta mentre un esposizione positiva al QMJ indica la tendenza a comprare aziende stabili, profittevoli e con alti payout ratio. buffet ha esposizione positiva e significativa su entrambi i fattori (0,29 e 0,43)

GUARDA LE TABELLE IN FONDO AL PAER DI BUFFET E LE SLIDE

Question 83

Introdurre brevemente il quadro di base adottato nell’economia finanziaria per descrivere la decisione individuale di un decisore razionale.
Specificare le differenze che emergono quando si considera:
a) una decisione in assenza di incertezza
b) una decisione in presenza di incertezza

Answer 83

L’obiettivo dell’economia finanziaria è fornire risposte alle domande riguardanti l’utilizzo della ricchezza. Nell’analizzare le scelte individuali vengono generalmente considerate tre possibili scenari: decisioni in condizione di certezza, decisioni in condizioni di incertezza e decisioni in situazioni di asimmetria informativa ed interazione strategica.
Nel primo caso c’è una diretta corrispondenza tra azioni e conseguenze, senza incertezza, e posso classificare i miei risultati in base alle loro utilità e, di conseguenza, scegliere l’azione che massimizza quest’ultima.
In condizioni di incertezza invece le conseguenze dipendono sia dalle mie azioni che da una variabile aleatoria chiamata “stato del mondo” che assumiamo venga descritta attraverso un modello probabilistico stimabile ex-ante, indipendente dalle azioni degli investitori e conosciuto da tutti. Generalmente, in casi di incertezza, viene considerato un numero finito di possibili stati del mondo.
Infine, se oltre all’incertezza vengono considerate anche le asimmetrie informative e le interazioni strategiche, le conseguenze non dipendono soltanto dalle mie azioni e da un pubblico modello probabilistico. Infatti, alcuni agenti hanno una conoscenza più profonda sui possibili stati del mondo e le mie azioni genereranno le reazioni delle altre persone. Se ex-ante lo stato del mondo che si realizzerà è incontrollabile ed imprevedibile con certezza, ipotizzando agenti razionali le loro risposte saranno solo incontrollabili.

Question 84

Introdurre brevemente la nozione di rappresentazione di una relazione di preferenza mediante una funzione di utilità attesa.
a) Si spieghi il nesso tra scelta razionale e massimizzazione dell’utilità attesa.
b) Si descrivano alcune delle violazioni documentate delle assunzioni che Von Neumann e Morgenstern richiedono per dimostrare che è possibile rappresentare una preferenza razionale in presenza di incertezza mediante una funzione di utilità attesa.

Answer 84

In condizioni di incertezza dove conosciamo solo le probabilità di realizzazione di possibili stati del mondo, un investitore razionale utilizza un criterio di scelta basato su un indice statistico sulle mosse del decisore, che aggrega le preferenze sulle conseguenze nei vari stati del mondo pesate per la probabilità che il rispettivo stato del mondo si verifichi.
Verrà quindi scelta l’azione che massimizza il valore di questo indice, cioè che massimizza l’utilità attesa.
Perché una preferenza possa essere rappresentata da una funzione d’utilità Von Neumann – Morgenstern è necessario assumere:
1) (x, y, 1) = x ; (x, y, pi) = (y, x, 1- pi) e che gli agenti sono interessati solo alle probabilità cumulate di ogni esito
2) Le preferenze sono complete e transitive
3) Le preferenze sono continue
4) Le preferenze soddisfano la proprietà di indipendenza da alternative irrilevanti
5) Nel mondo delle possibili lotterie ne esiste una migliore e una peggiore
Una violazione dell’assioma di indipendenza (quello indicato con il numero quattro) è il paradosso di Allais mentre il paradosso di Condorcet sulle decisioni a maggioranze mostra una violazione dell’assioma di preferenze transitive. Infine, alcune violazioni della definizione di razionalità sono: il paradosso di Ellsberg riguardante la distinzione tra ambiguità e rischio, l’effetto di riflessione che mostra che gli agenti sono avversi al rischio quando si parla di guadagni ma propensi al rischio se si parla di perdite, l’effetto di certezza che mostra che non c’è una considerazione lineare delle probabilità con una sovra considerazione per probabilità pari a uno e, come mostrato da Kreps e Porteus, la preferenza degli agenti, a fronte della stessa utilità attesa, per le lotterie che hanno una risoluzione anticipata dell’incertezza.

Question 85

Introdurre la nozione di avversione al rischio e la sua relazione con la funzione di utilità attesa:
a) Discutere la proprietà matematica della funzione di utilità attesa necessaria affinché tale funzione rappresenti le preferenze di un agente avverso al rischio e si definisca il premio al rischio
b) Introdurre il coefficiente di avversione al rischio assoluto e relativo secondo Arrow-Pratt

Answer 85

Un agente si dice avverso al rischio quando si rifiuta di giocare una lotteria equa (ovvero che ha costo iniziale pari al valore atteso) per ogni livello di ricchezza iniziale. In termini di utilità attesa un agente si dice avverso al rischio se l’utilità attesa che ha dal giocare la lotteria equa è minore dell’utilità certa data dalla sua ricchezza iniziale.
Se un agente è avverso al rischio sua funzione d’utilità sarà concava (mentre sarà convessa per una agente propenso al rischio) e quindi la sua derivata seconda sarà minore di zero. La sua derivata prima è maggiore di zero in ogni caso se vale l’assioma di non sazietà. Per un agente avverso al rischio quindi l’utilità attesa di una lotteria sarà sempre minore dell’utilità del valore atteso della lotteria.
Il premio al rischio è la differenza tra il valore atteso di una lotteria e il suo certo equivalente, ovvero la cifra certa che rende l’agente indifferente tra il giocare o no la lotteria. Per un agente avverso al rischio avremo quindi un premio al rischio positivo, che significa che un agente, per non giocare la lotteria, si accontenta di una cifra certa minore del suo valore atteso.
Per avere un indice assoluto di avversione al rischio al rischio Arrow e Pratt definiscono l’ARA come meno derivata seconda della funzione d’utilità divisa per la derivata prima della funzione d’utilità. Il meno serve ad avere un termine crescente nell’avversità al rischio, dato che la derivata prima è sempre maggiore di zero e la derivata seconda minore, come spiegato prima. Questo coefficiente, non influenzato da trasformazioni affini della funzione d’utilità, determina, inoltre il premio al rischio per variazioni infinitesimali del rischio.
Il coefficiente relativo di avversione al rischio è definito come l’ARA moltiplicato per la ricchezza iniziale e misura l’incremento di ricchezza percentuale che un agente richiede per accettare una lotteria rischiosa per un dato livello di ricchezza iniziale.

Question 86

Illustrare brevemente il principio economico alla base della prestazione dei servizi assicurativi.
a) Illustrare la condizione minima che un contratto assicurativo deve verificare per essere coerente con l’obiettivo di massimizzazione del profitto dell’intermediario finanziario.
b) Illustrare le principali condizioni che devono essere verificate dal prezzo di un servizio assicurativo affinché il contratto sia compatibile con la scelta ottimale di un assicuratore neutrale al rischio e di una coorte di assicurati avversi al rischio.

Answer 86

Alla base della prestazione dei servizi assicurativi c’è l’avversità al rischio degli agenti; infatti, essi saranno disposti a pagare un premio maggiore della perdita attesa, perché una ricchezza certa massimizzerebbe la loro utilità. Dal punto di vista dell’intermediario finanziario, perché un contratto assicurativo possa produrre profitto il premio pagato dall’assicurato deve essere maggiore dell’uscita di cassa attesa dell’assicuratore e, perché il profitto venga massimizzato, il premio richiesto dovrebbe essere esattamente pari al premio al rischio dell’assicurato.
Tutto questo è possibile perché l’assicuratore è neutrale al rischio, in quanto assicurando un gran numero di persone la sua perdita attesa è stimabile in modo abbastanza preciso dentro un intervallo di confidenza, mentre gli assicurati sono avversi al rischio

Question 87

Si spieghi come deve essere formulato il problema della selezione del portafoglio in un mercato generico da parte di un investitore razionale avverso al rischio:
a) Consideriamo ora un modello semplificato di mercato con due titoli, uno rischioso e uno privo di rischio, si formuli il problema di selezione del portafogli indicando esplicitamente quale è la variabile decisionale.
b) Enunciare e discutere la condizione che seleziona l’allocazione ottimale in questo mercato semplificato. Qual e il significato di questa condizione?

Answer 87

In un mercato generico il problema di selezione del portafoglio corrisponde ad un problema di massimizzazione dell’utilità attesa data dalla ricchezza futura, sotto un vincolo di bilancio.
Nel caso si consideri un modello con solo un titolo rischioso (che però può anche essere considerato come un portafoglio di titoli rischiosi) e uno risk free il vincolo di bilancio diventa che la ricchezza futura deve essere pari alla ricchezza investita nel titolo certo per il rendimento risk free più la ricchezza investita nel titolo rischioso per il suo rendimento aleatorio. L’utilità attesa, essendo la funzione che devo massimizzare, è la variabile decisionale che decide la mia allocazione di portafoglio.
Ad ogni modo, essendo la funzione d’utilità concava, il punto di massimo sarà dato dalla sua derivata prima, per cui, la condizione che massimizza la mia utilità attesa è che il valore atteso della dell’utilità della ricchezza futura, moltiplicata per l’extra rendimento aleatorio, sia uguale a zero, i.e. E[U’(Y1)(r-rf)] = 0. Il SIGNIFICATO di questa condizione è che noi investiamo nel titolo rischioso finché il suo contributo marginale all’utilità attesa non diventa zero.

guarda esempio pag 23 del libro

Question 88

Descrivere brevemente i principali vantaggi e i principali svantaggi dell’approccio media-varianza alla selezione del portafoglio
a) indicare le condizioni richieste affinché la preferenza di un agente sia coerente con l’approccio media-varianza
b) enunciare il programma di ottimizzazione risolto da un investitore media-varianza.

Answer 88

Il vantaggio dell’approccio media varianza è che fa dipendere il problema di asset allocation dal rendimento atteso e dalla varianza dei titoli piuttosto che da indici di utilità che sono difficili da stimare. Perché l’approccio media varianza sia coerente con le preferenze di un agente che segue il principio dell’utilità attesa è però necessario supporre che i rendimenti seguano una distribuzione normale (cosa abbastanza coerente con i dati empiricamente osservati se non vengono considerati gli outliers). Il problema di questo approccio però è che è solo una semplificazione del modello generale dell’utilità attesa, infatti, applicando lo sviluppo di Taylor ad una funzione di utilità si dimostra che l’utilità attesa dipende non soltanto da valore atteso e varianza, ma anche dal momento terzo (asimmetria, positivamente per un investitore con avversità al rischio decrescente nella ricchezza) e dal momento quarto (curtosi).
Ad ogni modo, secondo l’approccio media varianza un investitore risolve il suo problema di ottimizzazione di portafoglio minimizzando la varianza dello stesso per ogni rendimento atteso target. Così facendo è possibile definire una frontiera di portafogli efficienti che minimizzano la varianza per ogni rendimento atteso target, che sarà una curva nel caso nel mercato siano presenti solo titoli rischiosi (eccetto i casi in cui il coefficiente di correlazione tra i titoli è sempre 1 o -1), mentre sarà una retta nel caso nel mercato sia presente un titolo risk free.

Question 89

Consideriamo prima un mercato con solo titoli rischiosi. Ricordiamo che la soluzione generale può essere ridotta al caso particolare con due soli titoli

a) Descrivere le possibili soluzioni alternative in funzione del coefficiente di correlazione tra i due titoli

b) Supponiamo ora che venga aggiunta un terzo titolo privo di rischio. Spiegare come derivare la frontiera efficiente.

c) Spiegare come determinare l’allocazione ottimale per un agente che massimizza una utilità quadratica

Answer 89

Nel caso di un mercato con solo titoli rischiosi (a cui possiamo ricondurci dal caso generale perché possiamo considerarli portafogli di titoli rischiosi), la soluzione del problema di ottimizzazione dipende dalla correlazione tra i due titoli, infatti la varianza del portafoglio sarebbe (sigma p)^2 = (asigma 1)^2 + ((1-a)sigma 2)^2 + 2a(1-a) sigma1 sigma2* corr(1;2). Se la correlazione risulta pari a 1 otterremo che ogni portafoglio composto dai due titoli avrà deviazione standard pari alla media ponderata della deviazione standard dei due titoli rischiosi e la frontiera efficiente sarà una retta tra il titolo 1 e il titolo 2. Se invece la correlazione è -1 la frontiera efficiente risulterà essere una spezzata con vertice in sigma2/(sigma1 + sigma2) ipotizzando sigma2 maggiore di sigma1. In generale, un portafoglio strettamente meno rischioso dei due titoli si può ottenere se e solo se il coefficiente di correlazione lineare è strettamente minore di sigma1/sigma2, ipotizzando sigma2 maggiore di sigma1.
Se aggiungessimo ora un titolo privo di rischio il problema di ottimizzazione andrebbe ora risolto con una lagrangiana, dalle cui equazioni di prim’ordine OTTENIAMO CHE in un portafoglio efficiente l’extra rendimento atteso diviso per il contributo alla varianza di portafoglio deve essere uguale per ogni titolo. Questa soluzione è coerente con la regola di valutazione fondamentale del modello dell’utilità attesa che dice che in equilibrio il contributo marginale di ogni titolo all’utilità attesa del portafoglio deve essere uguale.

Question 90

Definire il problema discusso talla teoria del ‘Life-cycle investing’
a) Spiegare i principali limiti dell’approccio tradizionale della varianza media che devono essere superati per poterlo applicare efficacemente al problema del life-cycle investing.

b) Spiegare perché un Target Date Fund può essere considerato, secondo la teoria generale del Life-cycle investing, come una buona proxy di un prodotto finanziario che fornisce una semplice soluzione standardizzata al problema dell’allocazione del risparmio pensionistico

Answer 90

Per poter applicare l’approccio media varianza al life-cycle investing è necessario superare due limitazioni dell’approccio standard per avere un outcome realistico, ovvero considerare anche securities parzialmente o totalmente non scambiabili come il capitale umano (generalmente rappresentato dal valore attuale dei futuri guadagni dell’investitore, inclusa una singola somma più consistente liquidata alla pensione) e il real estate, e processi di generazione di rendimenti affidabili su orizzonti temporali di lungo periodo.
Un Target Date Fund è un prodotto dedicato all’investimento pensionistico in quanto l’allocazione è aggiustata annualmente secondo uno schema parametrizzato sull’età dell’investitore, in modo che un investitore di lungo periodo possa ottenere i suoi obiettivi mantenendo un appropriato livello di rischio durante la sua vita. L’inclusione del capitale umano implica un approccio più orientato all’equity per i giovani che va a decrescere con il progredire dell’età.

Question 91

Definire un arbitraggio asintotico ed enunciare il teorema di Ross.

Answer 91

Un portafoglio, per essere considerato un arbitraggio asintotico, deve prevedere un investimento iniziale pari a zero e non essere esposto al rischio sistematico, ovvero avere sensibilità pari a zero verso ogni fattore di rischio. Soddisfatte queste condizioni il portafoglio deve avere un rendimento atteso strettamente positivo anche se il numero di titoli nel portafoglio tende ad infinito. L’ultima condizione è necessaria perché un portafoglio non diversificato potrebbe rispettare le prime due condizioni e comunque avere un rendimento atteso positivo, come remunerazione del suo rischio idiosincratico.

Il teorema di Ross ci dice che, in assenza di arbitraggi asintotici, il rendimento atteso di un asset è combinazione lineare di una costante e di una componente sistematica ottenuta come la sensibilità dell’asset ai vari fattori di rischio, moltiplicata per i fattori stessi. A questo va sommata una componente non sistematica che, però, converge a zero se il numero di titoli nel mercato diverge a più infinito.

Question 92

Si illustrino le principali differenze tra la versione classica del CAPM e quella di Black
Si illustrino le principali caratteristiche del test cross-sezionale del CAPM e i risultati ottenuti da Fama-McBeth
Si enunci la critica di Roll

Answer 92

La versione classica del CAPM prevedere una serie di ipotesi: la selezione del portafoglio secondo un principio media varianza (quindi selezione di portafoglio uniperiodale e preferenze coerenti con l’approccio media varianza), l’equilibrio di mercato (quindi niente costi di transazione e mercato perfettamente liquido, possibilità di indebitarsi illimitatamente al tasso risk free, asset perfettamente divisibili, asset scambiabili al prezzo osservato, investitori price takers e tasse neutrali), aspettative omogenee e assenza di asimmetrie informative. Il Black CAPM, invece, è derivato direttamente dalle condizioni di prim’ordine della soluzione al problema di ottimizzazione di portafoglio di Markowitz. Nel modello sviluppato da Black non è necessario un titolo risk free, perché viene calcolato l’extra rendimento rispetto ad un portafoglio a covarianza zero con il portafoglio usato come proxy del portafoglio di mercato.
Fama e MacBeth attuano un approccio test cross-sectional perché pensano possa mostrare correlazioni più forti di quelle che appaiono con un approccio time series, in cui le correlazioni vengono ridotte dai traders che sfruttano pattern prevedibili per avere un rendimento maggiore. Per svolgere questa analisi hanno però comunque utilizzato una regressione time series sui rendimenti precedenti il periodo di analisi per stimare le sensibilità (i.e. i beta) dei fattori di rischio, in questo caso, essendo un test del CAPM, il mercato. Ottenute le sensibilità Fama e MacBeth mostrano che la relazione tra rendimento dei titoli e il loro beta è lineare, perché il beta elevato al quadrato non è significativo, così come la standard deviation dei residui della regressione time series, che quindi non spiegano il rendimento dei titoli. I risultati di Fama e MacBeth però mostrano un alpha superiore al risk free e un extra rendimento atteso inferiore all’extra rendimento del portafoglio utilizzato come proxy del mercato. Questi risultati tendono quindi a sostenere un Black CAPM a scapito del modello standard.
Roll critica la possibilità di testare empiricamente il CAPM in quanto dimostrare la linearità della relazione di asset pricing non significa dimostrare l’esistenza di un equilibrio di mercato, dato che Black mostra che la linearità deriva direttamente dall’approccio media varianza su un portafoglio efficiente. Ma non essendo possibile stimare il rendimento del portafoglio di mercato, in quanto composto da asset inosservabili come il capitale umano, non si può verificare che questo sia efficiente secondo il principio media varianza e che l’extra rendimento mostrato nelle verifiche empiriche sia davvero quello del portafoglio di mercato.

Question 93

Il modello proposto da Frazzini e Pedersen (2013) ha importanti implicazioni, soprattutto per i rendimenti di equilibrio delle azioni presenti sul mercato e per il rendimento del portafoglio B A B.

1) (2 punti) Si indichi la principale innovazione proposta dagli autori nel vincolo di bilancio degli agenti presenti nel mercato. In che modo tale innovazione influenza il alpha subscript s comma t end subscript di una azione s?

2) (2 punti) Da cosa è composto il portafoglio B A B ?

3) (2 punti) Si spieghi brevemente la metodologia di costruzione delle componenti del portafoglio B A B a partire dai dati empirici.

Answer 93

La principale innovazione introdotta dagli autori è la possibilità che alcuni agenti nel mercato siano soggetti a vincoli all’indebitamento e che quindi per raggiungere un rendimento atteso target debbano acquistare titoli ad alto beta in quantità superiori a quelle efficienti, così facendo però ne aumentano la domanda, quindi i prezzi e, di conseguenza, ne diminuiscono i rendimenti. Al contrario, i titoli a basso beta, che per essere altrettanto profittevoli avrebbero dovuto sfruttare la leva finanziaria. Facendo riferimento in modo specifico al vincolo di bilancio nel problema di ottimizzazione di portafoglio, gli autori introducono il termine m che serve come moltiplicatore dell’investimento, se m è pari a uno l’investitore non può indebitarsi, se m è maggiore di uno deve anche detenere delle riserve cash, con m minore di uno più indebitarsi ma fino ad un certo limite, con m = 0 non ci sono vincoli all’indebitamento.
Il modello che Franzini e Pedersen sviluppano è quindi definito come l’extra rendimento atteso di un titolo rispetto al risk free che uguaglia psi (vincolo all’indebitamento) più beta per lambda, con labda pari all’extra rendimento atteso del mercato meno il vincolo psi (con psi che cresce più i vincoli sono stretti). Il modello così sviluppato mostra un alpha di un’azione pari a (1-beta)*psi, per cui, più sono stretti i vincoli maggiore sarà il valore assoluto dell’alpha del titolo. Il portafoglio BAB è un portafoglio long-short che va lungo sui titoli a basso beta e corto sui titoli a alto beta. Per costruirlo i titoli vengono ordinati secondo il loro beta in modo crescente. Chiamiamo z il vettore che ha come componenti le posizioni dei beta e definiamo i pesi del portafoglio H (quindi quello su cui andremo corti) come K che moltiplica la parte positiva di z -z medio, con K = 2/ (e per valore assoluto di z – z medio) dove e è un vettore di uno. I pesi del portafoglio L (quello con basso beta) sono costruiti allo stesso modo ma prendendo la parte negativa di z – z medio. Essendo per costruzione i pesi dei due portafogli pari a uno, un loro portafoglio long short è quindi autofinanziante.
A questo punto per ogni dollaro investito allochiamo (b_L)^-1 nel portafoglio a basso beta e (-b_H)^-1 nel portafoglio ad alto beta. Il portafoglio long short avrà quindi beta zero. Il rendimento atteso di questo portafoglio sarà crescente nello spread tra i due beta e nel vincolo d’indebitamento psi.

Question 94

Descrivi brevemente le due diverse procedure che possono essere utilizzate per stimare i premi al rischio in un modello APT.

(3 punti) Indica quali sono le procedure utilizzabili per ciascuna delle seguenti scelte dei fattori: i) le caratteristiche
𝑚𝑒i,𝑡; 𝑏𝑚𝑖,𝑡 ; 𝑚𝑜𝑚𝑖,𝑡, in aggiunta all’extra-rendimento di mercato
𝑅𝑚𝑘𝑡,𝑡 − 𝑟𝑓,𝑡, oppure ii) i portafogli long-short SMB,HML, WML, in aggiunta all’extra-rendimento di mercato.

Answer 94

Per stimare i premi al rischio di un modello APT possiamo applicare una procedura cross sectional alla Fama e MacBeth, cioè utilizzare il valore storicamente realizzati dei fattori di rischio che scegliamo e operare una regressione time series per scoprire la sensibilità dei rendimenti ai loro valori, a quel punto si opera una regressione cross sectional sui beta ottenuti così da ottenere i premi al rischio correnti per i vari fattori di rischio del modello. La seconda procedura possibile è utilizzare come fattori di rischio portafogli quotati.

Per le caratteristiche elencate la procedura che andrebbe applicata è quella alla Fama e MacBeth, in quanto i fattori non sono costantemente osservabili e quindi i premi al rischio per l’esposizione a quel fattore andrebbe ricavato secondo una procedura cross sectional descritta sopra. Per i portafogli long short descritti, invece è sufficiente osservare la media campionaria dei loro excess return (rendimenti - tasso riskfree), dato che sono portafogli di titoli quotati.

RISPOSTA DI CHATGPT
Per stimare i premi al rischio in un modello APT (Arbitrage Pricing Theory), possiamo utilizzare due procedure principali:

1) Procedura Fama-MacBeth (Cross-Sectional Regression):

Descrizione: Questa procedura consiste in due passaggi:
Primo passaggio: Per ogni titolo, si esegue una regressione time-series per stimare i coefficienti di sensibilità (Beta) rispetto a ciascun fattore di rischio. Questi Beta rappresentano quanto i rendimenti dei titoli reagiscono alle variazioni nei fattori di rischio.
Secondo passaggio: Una volta stimati i Beta, si esegue una regressione cross-sectional per ogni periodo di tempo (ad esempio, ogni mese), in cui i rendimenti dei titoli sono messi in relazione con i Beta stimati. Questo ci permette di stimare il premio al rischio associato a ciascun fattore per quel periodo. Quindi, si calcola la media di questi premi al rischio su tutti i periodi per ottenere una stima complessiva.
Applicabilità: Questo metodo è utile quando i fattori di rischio non sono direttamente osservabili o quando vogliamo stimare i premi al rischio per fattori specifici e costruiti, come momentum, size o value, che non sono semplicemente misurabili attraverso portafogli predefiniti.

2)Utilizzo di Portafogli Long-Short per Stimare i Premi al Rischio:

Descrizione: In alternativa, si possono utilizzare i rendimenti dei portafogli long-short (come SMB, HML, WML) per stimare direttamente i premi al rischio. Questi portafogli sono costruiti per catturare specifici fattori di rischio (ad esempio, size, value, momentum). Poiché questi portafogli rappresentano già la differenza di rendimento tra posizioni long e short su titoli con caratteristiche opposte (ad esempio, small cap vs. large cap), il loro rendimento eccesso rispetto al tasso privo di rischio può essere utilizzato direttamente come stima del premio al rischio.
Applicabilità: Questo metodo è più semplice da applicare quando i fattori di rischio sono già ben rappresentati da portafogli di titoli quotati, come nel caso dei modelli Fama-French o Carhart. Non richiede stime aggiuntive dei Beta poiché i portafogli stessi riflettono l’esposizione ai fattori di rischio.

Scelta della Procedura in Base ai Fattori:

Caratteristiche me, bm, mom, etc.:
La procedura Fama-MacBeth sarebbe preferibile poiché queste caratteristiche richiedono una stima dei Beta per ciascun titolo rispetto ai fattori di rischio associati (ad esempio, momentum, size, book-to-market). Poiché i fattori di rischio non sono direttamente osservabili attraverso portafogli standard, una regressione time-series seguita da una regressione cross-sectional consente di stimare in modo accurato i premi al rischio per ciascuno di essi.

Portafogli Long-Short (SMB, HML, WML):
Per questi fattori, la procedura che utilizza direttamente i rendimenti dei portafogli long-short è più appropriata. Questi portafogli rappresentano già l’exposizione ai fattori di rischio e il loro rendimento eccesso rispetto al risk-free rate riflette il premio al rischio. Non è necessario stimare i Beta, il che semplifica il processo di stima.

Question 95

Si richiamino brevemente la definizione e le principali proprietà del pricing kernel
𝑚(𝜔) in una arbitrage pricing theory dove vi è un unico fattore corrispondente al rendimento
𝑅𝑝(𝜔) di un portafogli quotato:
𝑚1𝐹(𝜔)=1−𝜓1*(𝑅𝑝(𝜔)−𝜇𝑝)
con
𝜓1=(𝜇𝑝−𝑟𝑓)/𝜎𝑝^2

Answer 95

Un pricing kernel in generale è il rapporto tral’utilità marginale della ricchezza nello stato del mondo omega e l’utilità marginale media tra tutti gli stati del mondo.
In un APT derivare il pricing kernel permette di individuare una probabilità neutrale al rischio che valuta gli investimenti come farebbe il modello di pricing, in modo tale che le due metodologie siano equivalenti. In generale, il pricing kernel in un APT è definito come [1 – (Ft – u)’ V^-1 * lambda], che, in presenza di un solo fattore, diventa la formula mostrata in figura. La valutazione tramite probabilità neutrale al rischio con il pricing kernel APT include in automatico nella valutazione le considerazioni su valore atteso e rendimento aleatorio del portafoglio, nonché sulla sua varianza.

Question 96

Enuncia il teorema di Ross APT e spiega la relazione tra le ipotesi di equilibrio e assenza di opportunità di arbitraggio.

Fornire l’interpretazione finanziaria dei parametri la cui esistenza è garantita dal Teorema APT di Ross

Si riassuma come i fattori lambda possano essere costruiti con titoli negoziati sui mercati.

Answer 96

Il teorema di Ross dice che, se nel mercato non ci sono possibilità di arbitraggio asintotiche, allora, se il numero di asset nel mercato tende ad infinito, il valore atteso dei guadagni dell’asset i, sono la combinazione lineare di una componente costante lambda zero e di una componente sistematica ottenuta moltiplicando la sensibilità al j-esimo fattore di rischio per il suo premio al rischio, più una componente non sistematica che converge a zero quando il numero di titoli tende ad infinito.

Le due ipotesi dell’APT sono che: un modello fattoriale lineare garantisce un modello di rendimento azionario soddisfacente e che gli arbitraggi sono identificati e sfruttati fino a farli scomparire.
Queste due assunzioni garantiscono un equilibrio parziale in cui gli investitori, sfruttando gli arbitraggi, portano i prezzi ad un livello efficiente. Differentemente dal CAPM in cui viene supposta l’esistenza di un equilibrio e quindi si escludono le possibilità di arbitraggio, qui si fa il procedimento inverso presupponendo soltanto l’assenza di arbitraggi, senza implicare l’esistenza di un vero equilibrio.

I parametri la cui esistenza è garantita dal teorema di Ross sono interpretabili come chiamati Factor Mimicking Portfolio perché sono l’extra rendimento di un portafoglio esposto solo ad un fattore di rischio e più essere interpretato come il risk premium che un investitore si aspetta di ricevere per essersi assunto un’unità di rischio dello specifico fattore.

Se come fattori di rischio si assume scelgono gli extra rendimenti di portafogli di azioni scambiate sul mercato allora lambda, risk premium per l’esposizione al fattore di rischio, è pari al valore atteso di quel fattore e, in questo caso, dell’extra rendimento del portafoglio scelto. Il valore atteso dell’extra rendimento del portafoglio altro non è che la media di tutti i suoi rendimenti meno il risk free.

Question 97

Una applicazione immediata del CAPM consiste nella valutazione di investimenti con flussi di cassa stocastici. In un modello uniperiodale, l’equazione di valutazione è data da
….
dove Pt è il valore attuale dell’investimento e E[CF t+1] è il valore atteso del flusso di cassa generato nel periodo successivo.
1) In che modo l’equazione di valutazione si semplifica se il rendimento non è correlato con il rendimento di mercato?
2) Si assuma che il premio al rischio sia positivo e che beta > 1. Che differenza c’è, in questo caso, con un valore attuale calcolato con 0 < beta < 1?
3) La varianza del rendimento dipende linearmente da beta? Se no, perché?

Answer 97

Se il rendimento non è correlato con il rendimento di mercato il suo beta sarà pari a zero e quindi non c’è rischio sistematico che va remunerato. Il flusso di cassa andrà quindi scontato, semplicemente, al tasso risk free.

Se il beta fosse maggiore di uno il valore attuale del flusso di cassa sarebbe minore di quello calcolato con beta tra zero e uno. Questo perché più rischio sistematico andrebbe remunerato e quindi il rendimento richiesto calcolato con il CAPM sarebbe più alto.

La varianza del rendimento non dipende linearmente da beta ma quadratamente; infatti, il rendimento calcolato con il CAPM è risk free più beta che moltiplica l’extra rendimento del mercato. La varianza di questo rendimento sarebbe quindi beta al quadrato per varianza dell’extra rendimento di mercato (che a sua volta è pari alla varianza del rendimento di mercato).

Question 98

Si illustrino brevemente le differenze tra la CML e la SML.
Si indichi quale condizione soddisfatta dal beta è sufficiente a garantire che il ptf sia efficiente
Si illustri la differenza tra rischio idiosincratico e rischio sistematico

Answer 98

In un mercato che rispetta le ipotesi del CAPM la CML è una retta che descrive la frontiera efficiente, ovvero che racchiude, per ogni livello di rendimento atteso target la miglior combinazione tra portafoglio di tangenza e risk free. Questa retta ha a destra dell’equazione il rendimento atteso di un portafoglio efficiente e a sinistra il tasso risk free, che rappresenterà quindi l’intercetta della retta, che somma la deviazione standard del nostro portafoglio efficiente per lo Sharpe ratio del mercato, ovvero quanto extra rendimento otteniamo per ogni unità di rischio sistematico che ci assumiamo. La SML invece descrive la relazione lineare tra l’extra rendimento atteso del mercato e quello di un portafoglio non efficiente. La sua equazione è uguale a quella della CML ma l’extra rendimento di mercato moltiplica un parametro beta calcolato come la covarianza tra il nostro portafoglio e il mercato divisa la varianza di mercato. Bisogna sottolineare però che la CML è una specificazione della SML, in quanto, se calcolassimo la relazione di un portafoglio efficiente ed il mercato tramite la SML ci ricondurremmo alla CML.
Se il portafoglio è efficiente allora è composto solo dal risk free e dal portafoglio di tangenza, che in equilibrio è il portafoglio di mercato. Questo significa che il suo beta non dipende dalla varianza del mercato, (che apparendo sia al numeratore che al denominatore si semplifica) ma dalla quota di portafoglio che investiamo nel portafoglio rischioso.
Il rischio idiosincratico è quello che riguarda un singolo titolo e quindi non è prevedibile tramite un modello. Il rischio sistematico invece coinvolge tutti i titoli proporzionalmente alla loro correlazione con il mercato. Dato che il primo tende a zero in un portafoglio ben diversificato, soltanto il secondo verrà remunerato.

Question 99

Perchè ci dobbiamo attendere che per titoli a beta positivo?

Dove Rt è il vettore dei rendimenti degli N asset sul mercato e Rf è il tasso di rendimento privo di rischio.
Quale è il tasso di sconto corretto secondo il CAPM al quale è opportuno scontare un cash flow generato da una impresa per la quale conosciamo il beta di mercato?
Perchè in generale ci dobbiamo attendere che sussista una relazione inversa tra il prezzo e il rendimento atteso di un titolo?

Answer 99

Se il beta è positivo significa che c’è una correlazione positiva tra il titolo ed il mercato, per cui non possiamo usarlo per stabilizzare il rendimento atteso del nostro portafoglio in caso di movimenti avversi del mercato, come avverrebbe per un titolo con beta negativo, per il quale quindi siamo disposti ad ottenere un rendimento inferiore al risk free, in un’ottica quasi assicurativa. Il nostro titolo invece è positivamente esposto al rischio sistematico, per cui, un investitore avverso al rischio, ci si espone solo se il suo rendimento atteso è maggiore del risk free.
Per un’impresa di cui conosciamo il beta di mercato il cash flow va scontato al risk free più l’extra rendimento del mercato per il beta dell’impresa, questo sempre nell’ottica che solo il rischio sistematico vada remunerato.
La relazione tra prezzo e rendimento atteso di un titolo è inversa perché, a parità di cash flow futuri attesi, per ottenere un rendimento atteso più alto l’unica strategia è pagare meno l’asset oggi.

Question 100

domanda 3 mock exam

Answer 100

Il rendimento realizzato mensilmente da un portafoglio zero beta è più alto in Di Tella che in Frazzini e Pedersen, nel primo esso vale un 1% mensile mentre nel secondo si attesta su uno 0.7% circa mensile.
Con un livello di significatività del 5% sono diversi da zero il tasso risk free, l’extra rendimento dei bond, il termine che rappresenta lo spread sui titoli di stato a dieci anni e la finestra mobile per la stima dell’inflazione, oltre che la costante che rappresenta il portafoglio zero beta. Non risulta invece significativo il tasso di disoccupazione.
Per un aumento dell’1% nel risk free ci si aspetta un aumento del portafoglio zero beta del 2.747%.
Il rendimento mensile nominale del mercato è praticamente pari a quello di un portafoglio con beta zero, questo significa che il mercato non è l’unica variabile a determinare il rendimento di un titolo. Infatti, un portafoglio non esposto al rischio sistematico come quello zero beta dovrebbe avere un rendimento atteso pari a zero secondo il CAPM, invece riesce ad avere un rendimento che, seppur di una differenza non significativa, batte il mercato stesso. Il questo mercato la SML è praticamente piatta e il premio a rischio di mercato leggermente negativo, almeno supponendo un Black CAPM.
Gli autori ritengono che la seconda ipotesi dell’APT sull’efficienza parziale del mercato non venga rispettata a causa dei vincoli al trading fatti dalle istituzioni depositarie, questo fa si che non tutte le possibilità di arbitraggio possano essere sfruttate e quindi scambiate fino a farle scomparire, lasciando a coloro che, invece, possono guadagnarci di ottenere un extra rendimento senza essere esposto a nessun fattore di rischio. Non possiamo quindi applicare il teorema di Ross.