Teorema Spettrale

Question 1

Endo morfismo auto aggiunto rispetto al prodotto scalare g

Answer 1

g(f(v),w)=g(v,f(w))
Viene chiamato simmetrico (rappresentato rispetto a basi ortonormali da matrici simmetriche)
F auto aggiunto rispetto al prodotto scalare G se solo se la matrice rappresenta F rispetto alla base B simmetrica

Question 2

Lemma uno

Answer 2

1.Sia a una matrice simmetrica allora il polinomio caratteristico ha N radici reali
2. Sia (V,g) uno spazio vettoriale euclideo di dimensione n, se f appartiene agli endomorfismi di V è autoaggiunto rispetto a g allora il polinomio caratteristico a n di radici reali 

Question 3

Sia g una forma bilineare simmetrica allora

Answer 3

Esiste una base B di V tale che la matrice che rappresenta g rispetto B è diagonale 

Question 4

Sia f un endomorfismo autoaggiunto rispetto a g, se λ e μ sono due autovalori distinti appartenenti allo spettro allora

Answer 4

Gli auto spazi corrispondenti sono ortogonali tra loro