Geometria Affine Flashcards
Spazio affine
Uno spazio affine su V è un insieme non vuoto i cui elementi si dicono i punti di A.
A spazio affine su V, la funzione AxA ➝V associa ad ogni coppia di punti (PQ) il vettore geometrico PQ
PQ
È il vettore con punto di applicazione P e punto finale Q.il vettore geometrico PQ è la classe di equipollenza di PQ
Insieme dei vettori geometrici
È uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali
QP
È il vettore opposto di PQ (QP=-PQ)
La dimensione di A si definisce come
La dimensione di V
Retta affine
Spazio affine di dimensione uno
Piano affine
Spazio affine di dimensione due
R2
I suoi elementi sono coppie di numeri ordinati
Sistema di coordinate affine
Permette di assegnare ad ogni punto le sue coordinate affini
Riferimento affine con l’origine: riferimento affine canonico
Giacitura di S
Il piano parallelo che passa per l’origine, ci dice le traslazioni che ci permettono di passare da un punto qualsiasi fissato a qualsiasi altro punto
Teorema con i sottospazi
Sia Ax=b un sistema lineare di m equazioni di ordine n a coefficienti nel campo K.se il sistema lineare è compatibile allora l’insieme delle sue soluzioni è un sottospazio affine la cui giacitura è sottospazio vettoriale W formato dalle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato
Equazioni cartesiane
Sistema di equazioni lineari tali che As=b
Equazioni parametriche
Equazioni che dipendono dai parametri (variabili libere)
Geometria in un piano affine di dimensione due
E sottospazi fini di a sono quelli banali: i punti (dim=0), le rette (dim=1) e A stesso (dim=2)
Due rette in un piano affine di dimensione due…
Non possono essere sghembe
Geometria in un piano affine di dimensione tre
I sottospazi affini di A sono quelli banali: i punti (dim=0), le rette (dim=1), i piani (dim=2) e A stesso (spazi: dim=3)
Vettori equipollenti
2 vettori che hanno stessa direzione (giacitura), intensità e verso
Relazione di equipollenza
Relazione di equivalenza che verifica la proprietà simmetrica, riflessiva e transitiva
Vettore geometrico
Classe di equipollenza di vettori applicati, è l’insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti a un segmento orientato assegnato
Rappresentante di A
Ogni vettore applicato che individua il vettore a, dato un punto A ogni vettore a ha un solo rappresentato applicato in A
Somma di due vettori
Regola del parallelogramma
Spazio vettoriale
Sia K un campo uno spazio vettoriale sul campo K è un insieme non vuoto tale che valgono le operazioni di somma e di prodotto per scalare.valgono otto proprietà: associatività della somma e del prodotto, esistenza dell’elemento neutro per la somma e per il prodotto per scalari, l’esistenza dell’opposto, la commutatività, la distributività rispetto alla somma di vettori e di scalari.
Campo
Un campo è un insieme non nullo con le operazioni di somma e prodotto, valgono le 6 proprietà (le prime 5 sono assiomi): commutatività, associatività, esistenza dell’elemento neutro, esistenza dell’opposto dell’inverso, distributività, se ab=0 allora o a=0 o b=0
