Span e Basi Flashcards
Criterio geometrico di compatibilità (o teorema fondamentale dell’algebra)
Sia Ax=b un SL di m equazioni di ordine n a coefficienti in K
Esso è compatibile se e solo se b appartiene allo span dei coefficienti
Cos’è una base?
Una base è un sottoinsieme di V se i vettori che la compongono sono linearmente indipendenti e appartengono allo Span di V
Proposizione del completamento
Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo K
Siano v1,…,vk dei vettori si V l indipendenti, allora esiste una base B di V tc contiene tali vettori
Formula di Grassmann
Dimensione di U+W= dimensione di U + dimensione di W - dimensione dell’Intersezione di U con W
Sottospazi vettoriali
Sottoinsieme di uno spazio vettoriale tale da essere a sua volta uno spazio vettoriale rispetto alle operazioni di somma e prodotto
Esempi di sottospazi vettoriali
L’intersezione di due sottospazi vettoriali (insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo), la somma di due sotto spazi vettoriali (anche somma diretta), il prodotto cartesiano
L’unione di due sottospazi vettoriali NON è un sottospazio vettoriale
Combinazione lineare
Ci fornisce un procedimento per costruire sotto spazi vettoriali. Lo Span è sottoinsieme di V formato da tutte le combinazioni lineare dei rispettivi vettori. Lo span rappresenta l’intersezione di tutti i sotto spazi di che contengono i rispettivi vettori.
Spazio vettoriale finitamente generato
Esiste un numero finito di vettori che generano V.
Insieme di generatori
insieme di vettori che permettono di ricostruire con combinazione lineare tutti i vettori dello spazio
Vettori linearmente dipendenti
Sono proporzionali tra loro
Dimensione
Dim(Kn)=n
Dim(K[d]d)=d+1
Dim(Mm,n(K))=mn
Se V possiede una base finita
V ha dimensione finita
