Stabilità sistemi di controllo a tempo continuo

Question 1

Possibili analisi di stabilità

Answer 1

• Stabilità in condizioni nominali

- Stabilità in condizioni perturbate (stabilità robusta)

Question 2

Caratteristiche stabilità in condizioni nominali

Answer 2

G(s) è una rappresentazione esatta del sistema da controllare

Question 3

Caratteristiche stabilità robusta

Answer 3

G(s) è diversa dal sistema reale, a causa di:

• parametri fisici con valori diversi da quelli nominali
• Dinamiche non modellate per semplificare la descrizione

Incertezze si manifestano su G(s) in vari modi, tra cui:

• variazioni sul guadagno di G(s)
• variazioni di fase di G(s)

Question 4

Def percorso di Nyquist

Answer 4

Il percorso di Nyquist è una curva chiusa nel piano complesso, costituita da tutto l’asse immaginario e da una semicirconferenza di raggio infinito nel semipiano destro, esclusi eventuali poli di H(s) immaginari puri, che sono evitati con semicirconferenze di raggio infinitesimo nel semipiano destro.

Question 5

Def diagramma di Nyquist

Answer 5

Data una FdT H(s), il diagramma di Nyquist di H(jω) (risposta in frequenza associata ad H(s)) è l’immagine, attraverso H(s), del percorso di Nyquist.

Question 6

Come tracciare il diagramma di Nyquist

Answer 6

Operativamente, il diagramma di Nyquist di H(jω) si traccia complementando il diagramma polare con il suo simmetrico rispetto all’asse reale.

Il diagramma è quindi una curva chiussa

Question 7

Criterio di Nyquist

Answer 7

Sia dato un sistema LTI con funzione d’anello L(s)=N(s)/D(s) in retroazione unaria negativa, con N(s) e D(s) primi tra loro.
Sia P il numero di poli di L(s) con Re > 0
Sia N il numero di giri che il diagramma di Nyquist di L(jω) compie attorno al punto (-1,0), contati positivi se in senso antiorario.

CNS perché il sistema in anello chiuso sia as. st. è che:

1) N sia ben definito (il diagramma di Nyquist di L(jω) non passa per il punto (-1,0))
2) N=P

Se N non è ben definito si può solo concludere che il sistema in anello chiuso non è as. st.

Se N è ben definito, ma N ! = P, allora il sistema in a. c. è instabile, e ha P-N poli con parte reale positiva

Question 8

Estensioni del criterio di Nyquist

Answer 8

1) L(s) = a*L’(s) , a app R, diverso da 0
2) Retroazione positiva
3) Presenza di ritardo puro

Question 9

Estensioni del criterio di Nyquist: L(s) = a*L’(s), a app R, diverso da 0

Answer 9

• L’eq. caratteristica è 1+a*L’(s)=0
• P di L è uguale a P di L’
• > applico il criterio di Nyquist a L’(jω), contando i giri attorno a (-1/a,0)

Question 10

Estensioni del criterio di Nyquist: retroazione positiva

Answer 10

• Eq. caratteristica: 1-L(s)=0
• Equivale al caso 1 con a=-1
• > applico il criterio di Nyquist a L(s) contando i giri intorno al punto (+1,0)

Question 11

Estensioni del criterio di Nyquist: presenza di ritardo puro

Answer 11

• L(s) = e^-sτ*L’(s)
• P di L è pari a P di L’
• > applico il criterio di Nyquist a L(s), calcolando la posizione della prima intersezione del diagramma con l’asse reale

Question 12

Corollari del criterio di Nyquist

Answer 12

Sono condizioni sufficienti per affermare che sistemi con P=0 sono as. st. in anello chiuso, cioè sono condizioni che garantiscono N=0

1) corollario del piccolo guadagno
2) corollario della piccola fase

Question 13

Corollario del piccolo guadagno

Answer 13

Dato un sistema retroazionato (negativamente o positivamente) con FdT d’anello L(s) con P=0,
Se |L(jω)| < 1 Vω allora il sistema in anello chiuso è as.st.

Question 14

Corollario della piccola fase

Answer 14

Dato un sistema retroazionato negativamente con FdT d’anello L(s) con P=0,
se |arg L(jω)| < 180° Vω, allora il sistema in anello chiuso è as.st.

Question 15

Def margine di guadagno

Answer 15

Ipotesi: data una FdT d’anello L(s)

• L(s) strettamente propria (diagramma polare tende all’origine)
• L(s) ha P=0
• Diagramma polare di L(jω) attraversa una sola volta il semiasse reale negativo

il margine di guadagno km vale
km = 1/|L(jωpi)| ,
con ωpi tale che arg L(jωpi) = -180°

Question 16

Relazione tra km e stabilità del sistema in anello chiuso

Answer 16

• km > 1 - > N=0=P < - > sistema in a.c. as.st.
• km = 1 - > N non è ben definito - > sistema in a.c. non è as.st.
• km < 1 - > N != 0=P - > sistema in a.c. instabile

Question 17

Interpretazione margine di guadagno

Answer 17

Il margine di guadagno km è la massima variazione del guadagno di L(s) tollerabile dal sistema, perché sia mantenuta l’asintotica stabilità.
km*L(s) passa per (-1,0)

Question 18

Def margine di fase

Answer 18

Data L(s) FdT d’anello
Ipotesi:
- L(s) ha P=0
- L(s) strettamente propria (diagramma polare tende all’origine)
- Diagramma polare di L(jω) attraversa una sola volta la circonferenza unitaria centrata nell’origine

Il margine di fase φm vale
φm = 180° - φc,
dove φc = arg L(jωc) è la fase critica, e
ωc tale che |L(jωc)|=1 è la pulsazione critica

Question 19

Relazione tra margine di fase e stabilità del sistema in anello chiuso

Answer 19

Se φm > 0° - > N=P=0 < - > sistema in a.c. as.st.
Se φm = 0° - > N non è ben definito - > sistema in a.c. non è as.st.
Se φm < 0° - > N ! = 0 = P - > sistema in a.c. instabile

Question 20

Interpretazione margine di fase

Answer 20

Il margine di fase di un sistema retroazionato è una misura del grado di robustezza della stabilità a fronte di incertezza sulla fase della funzione d’anello in corrispondenza della pulsazione critica, o a fronte della presenza di eventuali ritardi di tempo.

Se L(s) soddisfa le condizioni per la valutazione del margine di fase e genera un sistema in a.c. as.st.
 con margine di fase φm , il sistema perderà l'as,st. quando un ritardo puro sarà pari a 
τ=φm /ωc *pi/180°

Question 21

Casi limite km e φm

Answer 21

• Diagramma di Nyquist non interseca semiasse reale negativo - > margine di guadagno infinito
• Diagramma di Nyquist non interseca la circonferenza unitaria - > margine di fase infinito

Question 22

Criterio di Bode

Answer 22

Ipotesi: dato un sistema retroazionato negativamente con FdT d’anello L(s)=N(s)/D(s) strettamente propria, con N e D primi tra loro
Condizioni di applicabilità:
1) L(s) ha P=0
2) Diagramma di Bode del modulo di L(jω) taglia l’asse a 0 dB una sola volta (da sopra perché strettamente propria) (equivale a ωc ben definita)
Il sistema in anello chiuso è as. st. se e solo se μL > 0 e φm > 0°