Prestazioni sistemi di controllo a tempo continuo

Question 1

Ingressi e uscite sistemi di controllo

Answer 1

Ingressi:

• y0 riferimento
• d disturbo in linea d’andata
• n errore di misura o disturbo sulla linea di retroazione

Uscite:

• e errore, e=y0-y
• u variabile di controllo
• y variabile controllata

Question 2

Funzioni di sensitività

Answer 2

• Funzione di sensitività
• Funzione di sensitività complementare
• Funzione di sensitività del controllo

Question 3

Funzione di sensitività

Answer 3

S(s)=1/1+L(s)
agisce tra:
d - > y
-d - > e
y0 - > e

Question 4

Funzione di sensitività complementare

Answer 4

F(s)=L(s)/1+L(s)
agisce tra
-n - > y
n - > e
y0 - > y

Question 5

Funzione di sensitività del controllo

Answer 5

Q(s)=R(s)/1+L(s)
agisce tra
y0 - > u
-n - > u
d - > u

Question 6

Vincoli generali funzioni di sensitività

Answer 6

Idealmente si vorrebbe
F(s)=1 per avere y=y0 (impossibile)
F(s)=0 per avere effetti nulli di n su y ed e
Si cerca di avere F(jω) circa 1 per frequenze in cui serve inseguire y0, F(jω) circa 0 nelle frequenze alte, in cui di solito è presente il disturbo n

S(s)=0 per avere effetti nulli di d (impossibile)
Si cerca di avere S(jω) piccola per la banda di frequenze in cui è presente il disturbo d

inoltre F(s)+S(s)=1 per ogni pulsazione

Q(s) dovrebbe essere più piccola possibile per tutte le frequenze, in modo da ridurre le sollecitazioni per la variabile di controllo u

Question 7

Tipi di analisi di precisione

Answer 7

• Statica (a regime): valuta uscite a regime a fronte di variazioni degli ingressi y0,d,n
• Dinamica: valuta forma e durata dei transitori del sistema in a.c. (tempo di assestamento e sovraelongazione relativa massima)

Question 8

Sensitività complementare: analisi statica con ingressi canonici (generale e n - > e)

Answer 8

lim(s - > 0) F(s) = μ/(μ + s^g), μ guadagno di L, g tipo di L

Quindi in base a g:

lim(s - > 0) F(s) =
μ/(μ+1) se g=0
1 se g > 0
0 se g < 0

Quindi ad esempio effetto di n a scalino sull’errore:
einf = lim(s - > 0) sF(s)A/s = lim(s - > 0) AF(s) =
Aμ/(μ+1) se g=0
A se g > 0
0 se g < 0

n a rampa
einf = inf indipendentemente da g

Question 9

Sensitività complementare: risposta in frequenza

Answer 9

|F(jω)| =
1 se ω < ωc
|L(jω)| se ω > ωc

F(jω) è quindi simile a un filtro passa basso con guadagno unitario, con banda passante circa pari a [0, ωc]

Quindi il sistema in anello chiuso sarà in grado di:

1) inseguire y0 nella banda [0,ωc]
2) attenuare n per ω > ωc

Question 10

Sensitività complementare: approssimazione poli dominanti

Answer 10

Regola approssimata:

• Se 0° < φm < = 75°: F(s) possiede coppia di poli dominanti complessi coniugati, con pulsazione naturale ωn=ωc e smorzamento ξ=φm/100
• Se φm > 75°: F(s) ha un polo dominante reale con costante di tempo T = 1/ωc

Question 11

Sensitività complementare: analisi dinamica

Answer 11

ξ=φm/100, ωn=ωc

Se 0° < φm < = 75°:
- Tempo di assestamento 
Ta = 5/ξωc
- Sovraelongazione:
S% = 100*e^ξπ/rad(1-ξ^2)

Se φm > 75°
- Tempo di assestamento
Ta = 5/ωc
- Sovraelongazione
S% = 0

Question 12

Sensitività: analisi statica con ingressi canonici (generale e y0 - > e)

Answer 12

lim(s - > 0) S(s) = s^g/(μ + s^g), μ guadagno di L, g tipo di L

Quindi al variare di g:
lim(s - > 0) S(s) = 
1/(1+μ) , se g=0
0 se g > 0
1 se g < 0

Quindi ad esempio effetto di y0 a scalino su errore e:
einf = llim(s - > 0) ss^g/(μ + s^g)A/s=
A/(1+μ) se g=0
0 se g > 0
A se g < 0

Se invece y0 a rampa 
einf = lim(s - > 0) s^g/(μ + s^g)*A/s =
inf se g < 1
A/μ se g = 1
0 se g > 1

In generale: tipo g della funzione d’anello almeno pari al grado relativo dell’ingresso, per avere errore a regime nullo

Question 13

Principio del modello interno

Answer 13

In un sistema di controllo, se considero l’effetto che hanno sull’errore gli ingressi y0 e d, e quindi la funzione di sensitività S(s), se l’ingresso ha tipo r > 0, avrò einf = 0 solo se g > = r, dove g è il tipo di L(s)

Question 14

Sensitività: risposta in frequenza

Answer 14

|S(jω)| =
1/|L(jω) se ω < = ωc
1 se ω > ωc

S(s) è quindi un filtro passa alto, con banda passante circa [ωc, inf)

Dunque il sistema retroazionato sarà in grado di:
1) Attenuare l’effetto del disturbo d su errore e uscita fino a ω=ωc, tanto più quanto maggiore è il modulo di L(jω) nella banda di frequenze in cui agisce il disturbo d.

Question 15

Sensitività: approssimazione a poli dominanti e analisi dinamica

Answer 15

S(s) ha gli stessi poli di F(s), quindi si applicano le stesse regole per poli, tempo di assestamento e sovraelongazione

Question 16

Sensitività del controllo: risposta in frequenza

Answer 16

|Q(jω)|=
1/|G(jω)| se ω < = ωc
|R(jω)| se ω > ωc

Tipicamente: G è un passa basso, R è propria, non strettamente

Con il controllo (R) allargo la banda passante del sistema (G). Si rischia però di avere |Q| > 1 per qualche intervallo di frequenza, il che andrebbe evitato.