Sistemi dinamici a tempo discreto: funzione di trasferimento

Question 1

Def trasformata Zeta

Answer 1

Dato un segnale a tempo discreto v(k), con v(k)=0, k < 0
La sua trasformata Zeta è definita come
V(z) = Σ(k=0,inf) v(k)*z^k , z app C

Question 2

Impulso a tempo discreto

Answer 2

v(k)= 0 se k != 0, 1 se k=0
V(z) = 1

Question 3

Esponenziale a tempo discreto

Answer 3

v(k)=a^k, a app R

V(z)=z/(z-a)

Question 4

Scalino a t.d.

Answer 4

v(k)=0 se k < 0, 1 se k > = 0

V(z)=z/(z-1) (esponenziale con a=1)

Question 5

Proprietà della trasformata Z

Answer 5

1) Linearità

2) Anticipo nel tempo: v2(k)=v1(k+1)
V2(z)=z[V1(z)-v1(0)]
Se v1(0)=0, moltiplicare per z coincide con anticipare di un passo il segnale

3) Ritardo nel tempo: v2(k)=v1(k-1)
V2(z)=V1(z)/z
Dividere per z coincide con ritardare di un passo il segnale

Question 6

Teorema del valore iniziale

Answer 6

Data V(z) razionale fratta
se V(z) = Z[v(k)], allora v(0)=lim(s - > inf) V(z)

Question 7

Teorema del valore finale

Answer 7

Data V(z) razionale fratta tale che V(z)=Z[v(k)], se V(z) ha poli con |z| < 1 o in z=1, allora
vinf=lim(z - > 1) (z-1)V(z)

Question 8

Antitrasformata

Answer 8

Esiste def formale

uso metodo lunga divisione

Question 9

Funzione di trasferimento a t.d.

Answer 9

Dato un sistema a td LTI
Posto x(0)=0, G(z)=Y(z)/U(z)
G(z)=C(zI-A)^-1B+D è la funzione di trasferimento

Question 10

Def guadagno

Answer 10

Se G(z) ha tipo g=0 (nessuno zero o polo in z=1), il guadagno vale
μ=G(1)=C(I-A)^-1B+D
Se G(z) ha tipo g diverso da 0, guadagno generalizzato:
μ=lim(z - > 1) (z-1)^g*G(1)

Question 11

Movimenti stato e uscita nel dominio della trasformata Zeta

Answer 11

X(z)=z(zI-A)^-1*x0 + (zI-A)^-1BU(z)

Y(z)=Cz(zI-A)^-1*x0 + [C(zI-A)^-1B+D]U(z)

Entrambi i movimenti sono composti da una parte libera (dipendente solo dalla condizione iniziale x0) e da una parte forzata (dipendente solo dall’ingresso u)

Question 12

Sistemi non causali

Answer 12

I sistemi con grado relativo > 0 sono non causali, perché l’uscita al passo k dipende da ingresso al passo successivo (k+1), cioè il sistema non rispetta in rapporto causa effetto

Question 13

Risposta all’impulso

Answer 13

Risposta all’impulso è l’antitrasformata di G(z)

Se il sistema è as.st. - > 0 per k - > +inf

Question 14

Risposta allo scalino

Answer 14

Y(z)=G(z)*z/(z-1)
yinf=G(1)=μ se tipo di G(z)=0
y(0)=b0/a0 se m=n, 0 se m < n
Il primo campione y(k) ! = 0 sarà quello con k=n-m=ν grado relativo

Question 15

Tempo di latenza

Answer 15

kl = ν -1

Ultimo istante k per cui y(k)=0

Question 16

Risposta allo scalino sistema del primo ordine senza zeri

Answer 16

y(k)=μ(1-λ^k), k > = 0
Se 0 < = λ < 1 no oscillazioni
Se -1 < λ < 0 oscillazioni

Question 17

Tempo di assestamento

Answer 17

ka=ceil(-5/ln|λ|)

Se k circa 1 sistema lento
Se k circa 0 sistema veloce

Question 18

Poli dominanti

Answer 18

Polo/i più vicino a 1 in modulo

Question 19

Approx poli dominanti

Answer 19

• Seleziono polo/i dominanti
• Lascio invariato il guadagno
• Lascio invariato il tempo di latenza (grado relativo)
• Poli mancanti si aggiungono in z=0

Question 20

Sistemi FIR: definizione

Answer 20

I sistemi a t.d. con tutti i poli nell’origine si chiamano sistemi FIR (Finite Impulse Response): la loro risposta all’impulso va a 0 in un numero finito di passi (non per k - > +inf come in un generico sistema as.st.)

Question 21

Risposta all’impulso sistema FIR

Answer 21

Risposta si annulla in un numero finito di passi, pari al numero di poli in z=0

Question 22

Risposta allo scalino sistema FIR

Answer 22

Risposta diventa uguale a μ in un numero finito di passi, pari al numero di poli in z=0

Question 23

Teorema della risposta in frequenza a tempo discreto

Answer 23

Dato un sistema LTI a TD ASINTOTICAMENTE STABILE
Dato u(k)=Usin(θk+φ) , k > = 0
A transitorio esaurito l'uscita sarà:
yinf=Ysin(θk+Ψ),
dove
Y=U*|G(e^jθ)| e
Ψ=φ+arg(G(e^jθ))

G(ejθ) è la risposta in frequenza, G(z) valutata in z=e^jθ, θ app [0,π]