Sistemi dinamici a tempo discreto: variabili di stato

Question 1

Tipi di sistemi descrivibili con modelli discreti

Answer 1

• Sistemi dinamici che evolvono a tempo discreto

- Implementazione digitale dei regolatori a tempo continuo

Question 2

Rappresentazione di stato

Answer 2

• Equazione di stato:
  x(k+1)=f(x(k),u(k),k) (equazione alle differenze)
• Trasformazione di uscita:
  y(k)=g(x(k),u(k),k) (equazione algebrica)

Question 3

Classificazione

Answer 3

• Tempo variante/tempo invariante
• Lineare/non lineare
• Ordine del sistema
• SISO/MIMO
• Strettamente proprio/proprio

Question 4

Rappresentazione sistemi LTI

Answer 4

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)
y(k)=Cx(k)+Du(k)

A,B,C,D matrici di coefficienti costanti, di dimensione opportuna

Question 5

Def stato di equilibrio

Answer 5

Fissato u(k)=u_ costante Vk, lo stato di equilibrio x_, se esiste, è tale che x(k+1)=x(k)=x_.
è soluzione di x_=f(x_,u_)

Question 6

Equilibrio in sistemi LTI

Answer 6

Fissato u(k)=u_ costante
(I-A)x_=Bu_
Esistenza e unicità dello stato di equilibrio sono legate all’invertibilità di (I-A), che a sua volta dipende dalla presenza di autovalori di A unitari.
Se (I-A) è invertibile
x_=(I-A)^-1Bu_ è lo stato di equilibrio e
y_=[C(I-A)^-1B+D]u_ è l’uscita di equilibrio e
[C(I-A)^-1B+D] si dice guadagno statico

Se (I-A) non è invertibile possono esistere infiniti stati di equilibrio o nessuno

Question 7

Linearizzazione

Answer 7

dato un sistema non lineare TI:
x(k+1)=f(x(k),u(k))
y(k)=g(x(k),u(k))

Fissato u(k)=u_ costante, sia x_ e y_ il corrispondente stato e uscita di equilibrio

Si può linearizzare il sistema in un intorno dell’equilibrio ponendo
δx(k)=x(k)-x_
δu(k)=u(k)-u_
δy(k)=y(k)-y_

Il corrispondente sistema linearizzato è:
δx(k+1)=Alinδx(k)+Blinδu(k)
δy(k)=Clinδx(k)+Dlinδu(k)
dove Alin=… Blin=… Clin=… Dlin=…

Question 8

Sistemi LTI: movimento libero

Answer 8

Si ottiene con u(k)=0 Vk, x(0)=x0

Movimento libero dello stato:
xL(k)=A^k *x0

Movimento libero dell’uscita:
yL(k)=CA^k *x0

Question 9

Sistemi LTI: movimento forzato

Answer 9

Si ottiene con x(0)=0, u(k)

Movimento forzato dello stato:
xF(k)=Σ(h=0,k-1) A^(k-1-n)Bu(h)

Movimento forzato dell’uscita:
yF(k)=C*Σ(h=0,k-1) A^(k-1-n)Bu(h) + Du(k)

Question 10

Sistemi LTI: movimento dello stato e dell’uscita

Answer 10

Per il PSE:
x(k)=xL(k)+xF(k)
y(k)=yL(k)+yF(k)

Question 11

Sistemi LTI: stabilità e autovalori

Answer 11

Criterio degli autovalori
Dato un sistema LTI a TD, siano λi gli autovalori della matrice A; il sistema è:
- Asintoticamente stabile se e solo se |λi| < 1 Vi
- Semplicemente stabile se e solo se |λi| < = 1 Vi, esiste i : |λi| = 1 e λi è regolare
- Instabile se e solo se esiste i : |λi| > 1 oppure |λi| < = 1 Vi, esiste i : |λi| = 1 e λi non è regolare

Question 12

Stabilità dell’equilibrio in sistemi non lineari

Answer 12

• Condizione sufficiente per l’asintotica stabilità del movimento di equilibrio del sistema non lineare è che |λi(Alin)| < 1
• Condizione sufficiente per l’instabilità del movimento di equilibrio del sistema non lineare è che Ei : |λi(Alin)| > 1
• Se |λi(Alin)| < = 1 e Ei : |λi| = 1, non si può concludere nulla sulla stabilità del movimento del sistema non lineare

Question 13

Sistemi LTI: Stabilità e traccia/determinante di A

Answer 13

1) Condizione necessaria perché il sistema sia as.st. è |tr(A)| < n
2) condizione necessaria perché il sistema sia as.st. è |det(A)| < 1

Question 14

Sistemi LTI: stabilità e polinomio caratteristico

Answer 14

Sia Δ(λ)=det(λI-A)=φ0λ^n +φ1λ^(n-1) +…+φn il polinomio caratteristico di un sistema LTI a TD

1) Condizione necessaria per l’as.st.: |φn/φ0| < 1
2) condizione necessaria per l’as.st.: φ0*Δ(1) > 0
3) condizione sufficiente per l’as.st.: φ0 > φ1 > … > φn > 0

Question 15

Metodo della trasformazione bilineare

Answer 15

Dato Δ(λ)=det(λI-A)=φ0λ^n +φ1λ^(n-1) +…+φn il polinomio caratteristico di un sistema LTI a TD

Sostituisco λ=(1+s)/(1-s) (trasformazione bilineare)

Ottengo Δ(s) polinomio di grado n:
|λ| < 1 se e solo se Re(s) < 0