Sistemi dinamici a tempo continuo: funzione di trasferimento Flashcards
Trasformata di Laplace
- Permette di trasformare una funzione del tempo, di variabile reale f(t) in una funzione complessa di variabile complessa F(s), s=σ+jω
- Permette di operare con equazioni algebriche lineari anziché con equazioni differenziali
- F(s) è la trasformata di Laplace di f(t) se esiste per qualche valore di s:
int(0, +inf) e^-st*f(t)dt
Segnali canonici a tempo continuo
0) Impulso: 0, t ! = 0; int(-inf +inf) imp(t)dt = 1
1) Scalino (unitario): 1, t > = 0
2) Rampa: t, t > = 0
3) Parabola: t^2/2, t > = 0
Proprietà della trasformata di Laplace
1) Linearità
2) Traslazione nel dominio del tempo:
L[f(t-a)]=e^-asF(s)
3) Traslazione nel dominio della frequenza:
L[e^atf(t)]=F(s-a), a app C
4) Derivazione nel dominio della frequenza:
L[tf(t)]=-dF(s)/ds
5) Derivazione nel dominio del tempo:
L[f’(t)]=sF(s)-f(0-)
L[f’‘(t)]=s^2F(s)-sf(0)-f’(0)
6) Integrazione nel dominio del tempo:
L[int(0,t)f(τ)dτ]=F(s)/s
Caratteristiche trasformate
- In generale, funzioni razionali di s: F(s)=N(s)/D(s)
- Zeri di F(s): m radici di N(s)
- Poli di F(s): n radici di D(s)
- Singolarità di F(s): unione di zeri e poli
- Grado relativo: r=m-n
Antitrasformata di Laplace
- Esiste una definizione
- Esiste corrispondenza biunivoca tra f(t) e F(s)
Teorema del valore iniziale
Se L[f(t)]=F(s) e F(s) è razionale e ha grado relativo r > 0, allora f(0) = lim(s - > +inf) sF(s)
Teorema del valore finale
Se L[f(t)]=F(s) e F(s) è razionale e ha poli tutti con Re < 0 o nulli, allora finf = lim(s - > 0) sF(s)
Trasformate notevoli
L[imp(t)] = 1 L[sca(t)] = 1/s L[ramp(t)] = 1/s^2 L[par(t)] = 1/s^3 L[sin(t)*sca(t)] = ω/s^2+ω^2 L[cos(t)*sca(t)] = s/s^2+ω ^2
Funzione di trasferimento
Rapporto tra trasformata di Laplace dell’uscita e dell’ingresso per condizioni iniziali nulle
G(s)=Y(s)/U(s)=C(sI-A)^-1B+D
La FdT è la trasformata di Laplace della risposta forzata del sistema con u(t)=imp(t), o equivalentemente la risposta all’impulso con condizioni iniziali nulle
Risposta all’impulso sistemi as. stabili
Y(s)=G(s)*1=G(s)
yf(t)=L^-1[G(s)]
Se un sistema è as. st. , la sua risposta all’impulso a regime tende a 0 (nella risposta all’impulso si vedono i modi)
Grado relativo della FdT
Se D=0, sistemi strettamente propri, grado relativo r > 0
Se D ! = 0, sistemi propri, grado relativo r = 0
Relazione poli di G(s) e autovalori, e studio della stabilità dalla G(s)
- Nel calcolo della G(s) possono avvenire delle cancellazioni polo/zero
- Non sempre quindi i poli di G(s) coincidono con i poli del sistema
- per studiare la stabilità del sistema dalla sola G(s) occorre, in generale, che il grado del denominatore di G(s) sia pari all’ordine del sistema. Questa è una condizione necessaria e sufficiente affinché i poli siano tutti e soli gli autovalori
- Se, dopo eventuali cancellazioni, G(s) ha ancora poli con Re(pi) > 0, allora esiste un autovalore con parte reale positiva, e si può quindi concludere che il sistema è instabile
Cause delle cancellazioni
Le cancellazioni sono il risultato di proprietà strutturali del sistema, che determinano l’effetto che le variabili di stato hanno sul legame I/O
I due motivi che portano ad avere cancellazioni nella FdT sono :
1) il sistema non è completamente raggiungibile: non tutte le variabili di stato sono influenzate dall’ingresso
2) il sistema non è completamente osservabile: non tutte le variabili di stato sono visibili dall’uscita
Tipi di cancellazioni
Se una cancellazione riguarda una coppia zero/polo con Re > = 0, si dice cancellazione critica; viceversa si dice non critica
Rappresentazione FdT con numeratore e denominatore
G(s) = N(s)/D(s) = …
Rappresentazione della FdT con poli e zeri
G(s)=…
zi e pi sono zeri e poli cambiati di segno
ρ è la costante di trasferimento
FdT con guadagno e costanti di tempo, smorzamenti e pulsazioni naturali
G(s)=…
g = numero di poli in s=0 - numero di zeri in s=0, tipo della FdT
τi = 1/zi costanti di tempo degli zeri Ti = 1/pi costanti di tempo dei poli
μ = ρ* Πzi/Πpi guadagno della FdT
ζi e ξi smorzamento di zeri e poli
αni e ωni pulsazione naturale di zeri e poli
Guadagno
- se g=0: μ = G(0) (coincide con il guadagno statico)
Se g ! = 0: si chiama guadagno generalizzato la quantità μgen = lim(s - > 0) s^g*G(s)
Tipo e risposta allo scalino
- se un sistema as. St. Ha tipo g=0, la risposta allo scalino tende al guadagno a regime
- se un sistema as. St. Ha guadagno g < 0, la risposta allo scalino a regime tende a 0: il sistema ha un comportamento derivativo
Risposta allo scalino per sistemi asintoticamente stabili: sistemi del primo ordine
Risposta esponenziale, valore iniziale nullo, derivata prima in 0 diversa da 0, valore a regime pari al guadagno, tempo di assestamento pari a circa 5 volte la costante di tempo dell’unico polo
Presenza dello zero:
- modifica valore iniziale
- se coincide col polo: uscita costante pari al guadagno
- se minore del polo: valore iniziale minore del guadagno
- se maggiore del polo e minore di zero: valore iniziale maggiore del guadagno
- se maggiore di zero: valore iniziale di segno opposto al guadagno, risposta inversa
Risposta allo scalino per sistemi asintoticamente stabili: sistemi del secondo ordine con poli coincidenti
Risposta simile a quella del primo ordine, cambia derivata prima in 0, che in questo caso è pari a 0
Grado relativo della FdT e derivata nell’origine
Per un sistema LTI con FdT G(s), la prima derivata della risposta allo scalino non nulla nell’origine è quella di ordine r, dove r è il grado relativo di G(s)
Risposta allo scalino per sistemi asintoticamente stabili: sistemi del secondo ordine con poli distinti
- se un polo è molto minore dell’altro, la risposta è molto simile a quella del primo ordine, con costante di tempo pari a quella dominante (maggiore)
- se i poli sono vicini, il sistema è analogo a quello con due poli coincidenti
Presenza di uno zero:
- derivata prima diversa da 0
- se zero positivo: risposta inversa
- zero vicino all’asse immaginario, lontano dai poli: sovraelongazione
- zero vicino a un polo: deriva, simile al primo ordine
- zero tra i poli: derivata prima nell’origine diversa da zero, crescita più veloce
Risposta allo scalino per sistemi asintoticamente stabili: sistemi del secondo ordine, con poli complessi coniugati
Risposta sinusoidale, governata da smorzamento e pulsazione naturale dei poli
Ta=51/xiomegan
Tosc=2pi/omegan*rad(1-xi^2)
Sovraelongazione massima percentuale, dipende solo dallo smorzamento xi
Presenza di uno zero:
- derivata prima nell’origine diversa da zero
- zero positivo: risposta inversa
- zero negativo: salita più veloce, sovraelongazione
Sistemi di ordine n > 2
Per rappresentare in modo qualitativo a risposta di un sistema di ordine elevato, si ricorre alla approssimazione a poli dominanti
L’approssimazione deve mantenere: valore iniziale, valore finale, tempo di assestamento, presenza/assenza di oscillazioni, eventuale risposta inversa, eventuale sovraelongazione
Per mantenere valore iniziale: se G(s) ha r > 0, anche Ga(s) deve avere r > 0; se G(s) ha r=0, Ga(s) deve includere un numero di zeri sufficiente a preservare il valore iniziale
Per mantenere valore finale: stesso guadagno, o mantenere zero in s=0
Per mantenere tempo di assestamento: mantenere poli dominanti, con costante di tempo maggiore
Per mantenere oscillazioni: poli immaginari o reali
Per mantenere sovraelongazione: mantenere zero vicino all’origine, maggiore dei poli dominanti
Per mantenere risposta inversa: mantenere zero positivo
Se aggiungendo questi zeri si ha esigenza di riportare G(s) ad avere grado relativo maggiore di 0, si aggiunge un polo con costante di tempo molto veloce, almeno di un fattore 10
Problema della realizzazione di sistemi LTI SISO
Data G(s), trovare una quaterna (A,B,C,D) tale che C(sI-A)^-1B+D=G(s)
Il problema è risolubile, e in generale ammette infinite soluzioni, perché:
- data una scelta (A,B,C,D), tutte quelle ottenute con rappresentazioni equivalenti portano alla stessa G(s)
- per effetto delle cancellazioni polo zero, sistemi con diverse (A,B,C,D) possono avere la stessa G(s)
Un metodo per trovare la quaterna è usare la forma canonica di controllo
Forma canonica di controllo
Posto G(s) = N(s)/D(s) + d, con N(s)/D(s) di grado relativo maggiore di zero
A = 0 1 0 0 ... 0
0 0 1 0 ... 0
...
0 0 0 0 ... 1
-a1 -a2 ... -an
B= [0 0 ... 1]
C = [b1 b2 ... bn]
D = d
- > x’ = Ax + Bu, y = Cx + Du
La realizzazione è minima:
Il numero degli autovalori di A equivale al numero di poli di G(s): no cancellazioni
Movimenti nel dominio di Laplace (sistemi LTI)
- Movimento dello stato:
X(s)=(sI-A)^-1x(0) + (sI-A)^-1B*U(s) - Movimento dell’uscita:
Y(s)=C(sI-A)^-1x(0) + [C(sI-A)^-1B+D]*U(s)
Tipi di interconnessione
- Serie
- Parallelo
- Retroazione
Interconnessione in serie
- FdT del sistema complessivo è il prodotto delle singole FdT
- Proprietà di stabilità non vengono alterate
- Non cambiano zeri e poli
- CNS per asintotica stabilità del sistema è che siano as. st. tutti i sottosistemi
Interconnessione in parallelo
- FdT del sistema complessivo è la somma delle singole FdT
- Proprietà di stabilità non vengono alterate
- Cambiano zeri e poli
- Il sistema complessivo è as st se e solo se lo sono i suoi componenti
Interconnessione in retroazione
- FdT complessiva: FdT in linea di andata/1+L(s)
(per retroazione negativa),
L(s) : FdT d’anello, si trova percorrendo l’anello di retroazione
FdT in linea d’andata: si trova andando da u a y - A priori, non esiste un legame tra asintotica stabilità del sistema e asintotica stabilità dei singoli componenti
- Retroazione viene usata per modificare le proprietà di stabilità del sistema
