Risposta in frequenza

Question 1

Teorema della risposta esponenziale

Answer 1

Dato un sistema LTI 
x' = Ax + Bu
y = Cx + Du
con FdT G(s) e ingresso u(t)=e^λt, t > = 0, con λ non autovalore di A, 
se pongo x(0) = (λI-A)^-1*B,
il movimento dello stato è pari a 
x(t)=(λI-A)^-1*B*e^λt, t > = 0
e il movimento dell'uscita vale
y(t)=G(λ)*e^λt, t > = 0.
x(t) e y(t) sono puramente esponenziali Vt > = 0.
Se il sistema è asintoticamente stabile, per ogni condizione iniziale,
x(t) - > (λI-A)^-1*Be^λt
y(t) - > G(λ)e^λt
per t - > inf

Question 2

Proprietà bloccante degli zeri

Answer 2

Dato un sistema LTI 
x' = Ax + Bu
y = Cx + Du
con FdT G(s) e ingresso u(t)=e^λt, t > = 0, con λ zero di G(s), allora:
- Se x(0)=(λI-A)^-1*B, 
y(t)=0 Vt > = 0
- Se il sistema è asintoticamente stabile, per ogni condizione iniziale 
y(t) - > 0 Vt > = 0

Question 3

Teorema della risposta in frequenza

Answer 3

Dato un sistema LTI asintoticamente stabile con FdT G(s) alimentato da un ingresso sinusoidale del tipo
u(t)=Usin(ωt+φ), t > = 0,
a regime l’uscita del sistema avrà la forma
y(t)=Ysin(ωt+ψ)
con ω uguale alla pulsazione di ingresso, Y=U*|G(jω)|, ψ=φ+arg(G(jω))

Question 4

Risposta in frequenza

Answer 4

G(jω)=G(s)|s=jω è detta risposta in frequenza del sistema

Question 5

Ritardo di tempo

Answer 5

Se un sistema LTI è affetto da ritardo puro, la sua FdT 
G'(s)=G(s)*e^-sτ 
dove G(s) è la FdT del sistema senza ritardo, e^-sτ è la FdT di un ritardo puro