Sistemi dinamici a tempo continuo: variabili di stato Flashcards
Sistemi dinamici: caratteristiche
Legame dinamico tra u e y: y dipende non solo da u ma anche dallo stato x
Per determinare l’uscita, occorre conoscere, oltre all’ingresso, la condizione iniziale dello stato
Classificazione sistemi
1) Sistema statico o dinamico, in base alla dipendenza di y da x
2) Lineare: f e g sono funzioni lineari di x e u
Non lineare: f e g sono funzioni non lineari di x e u
3) Tempo invariante: né f né g sono funzioni esplicite del tempo
Tempo variante: f o g sono funzioni esplicite del tempo
4) Ordine del sistema, in base al numero di variabili di stato
5) SISO: u e y sono scalari
MIMO: u e/o y sono vettoriali
6) Strettamente proprio: g non dipende direttamente da u
Proprio: g è funzione di u
Rappresentazione di stato
Equazione di stato: x’(t)=f(x(t),u(t),t)
Trasformazione di uscita: y(t)=g(x(t),u(t),t)
Rappresentazione sistemi LTI
x'(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
x app R^n
y app R^p
u app R^m
A, B, C, D sono matrici a coefficienti costanti
A nxn, B nxm, C pxn, d pxm
Scelta delle variabili di stato: criterio generale
x1=y
x2=y’
…
xn=y(n-1)
- > Equazioni di stato: x1’=x2, x2’=x3,…, xn’=y(n)=phi
Dove phi è l’equazione differenziale di ordine n che descrive il sistema
Variabili di stato associate in questo modo a fenomeni di accumulo
Movimento di un sistema dinamico
Noti u(t), Vt > = 0 e x0=x(t0) condizione inziale, Si chiama movimento dello stato la corrispondente soluzione dell'equazione di stato Si chiama movimento dell'uscita la soluzione della trasformazione di uscita ottenuta sostituendo x e u
In sistemi TI si può sempre porre t0=0, x0=x(0)
Movimento di equilibrio (sistemi TI)
Fissati x0=x_ costante e u(t)=u_ costante Vt > = 0
Se esiste un corrispondente movimento dello stato x(t)=x_ cost. e un movimento dell’uscita y(t)=y_ cost., x_ e y_ sono lo stato e l’uscita di equilibrio associati a u(t)=u_ e x0=x_
Calcolo dell’equilibrio (sistemi TI)
Se esiste x_ di equilibrio, deve essere soluzione di:
0=f(x_,u_), perché x’=0
L’uscita è y_=g(x_,u_)
Equilibrio nei sistemi LTI
0=Ax_+Bu_ - > Ax_=-Bu_
- > x_ = -A^-1 B u_
y_=Cx_+Du_=(-CA^-1B+D)u_
Esistenza di x_ dipende dalla matrice A:
- Se A è invertibile - > x_ esiste ed è unico
- Se A non è invertibile - > Ax_=-Bu_ può avere nessuna soluzione (zero stati di equilibrio) o infinite soluzioni (infiniti stati di equilibrio)
Studio del movimento per sistemi LTI
Dato il sistema LTI:
x’(t)=Ax(t)+Bu(t)
y(t)=Cx(t)+Du(t)
Dati u(t) Vt > = 0 e x(0) = x0 Calcolare x(t) e y(t) Vt > = 0
Si usano formule di Lagrange:
Movimento dello stato:
x(t) = e^Atx0 + int(0,t) (e^A(t-tau)Bu(tau)dtau)
Movimento dell’uscita:
y(t) = Ce^Atx0 + Cint(0,t) (e^A(t-tau)Bu(tau)dtau) + Du(t)
Entrambe le equazioni sono formate da due parti:
- Movimento libero: dipende solo dalla condizione iniziale
- Movimento forzato: dipende solo dall’ingresso
Principio di sovrapposizione degli effetti per sistemi dinamici LTI
Se dati x(0)=x0’ e u(t)=u’(t) si ottiene x’(t) e y’(t)
e dati x(0)=x0’’ e u(t)=u’‘(t) si ottiene x’‘(t) e y’‘(t)
Allora dati x(0)=ax0’+bx0’’ e u(t)=au’(t)+bu’‘(t) si ottiene
x(t)=ax’(t)+bx’‘(t) e y(t)=ay’(t)+by’‘(t)
In particolare, il movimento libero si ottiene da una condizione iniziale generica con ingresso nullo, il movimento forzato da un ingresso generico con condizione inziale nulla
Linearizzazione
Dato un sistema non lineare tempo invariante, il sistema linearizzato approssima linearmente il sistema di partenza in un intorno di una condizione di equilibrio x_,u_,y_
Il sistema non lineare x'(t)=f(x(t),u(t)) y(t)=g(x(t),u(t)) diventa: δx'(t)=Alin δx(t) + Blin δu(t) δy(t) = Clin δx(t) + Dlin δu(t)
Dove
δx(t) = x(t)-x_
δu(t) = u(t)-u_
δy(t) = y(t)-y_
E se il sistema è SISO: Alin = dfi/dxj |x_,u_ Blin = dfi/du |x_,u_ Clin = dg/dxi |x_,u_ Dlin = dg/du |x_,u_
Esponenziale di matrice
Definizione non operativa:
e^At = Σ(k=0, +inf) (At)^k/k!
Se A è diagonale:
e^At = diag(e^λit) , dove λi sono gli autovalori
Se A è diagonalizzabile:
e^At = T^-1 e^Adt T
dove T^-1 è formata dagli autovalori di A, e Ad è la diagonalizzata di A
- > Modi del tipo e^λt
Se A non è diagonalizzabile:
- > Modi del tipo e^λt e t^k*e^λt , k > = 1 legato alla differenza tra molteplicità algebrica e geometrica
Se A ha autovalori complessi e coniugati:
- > Modi del tipo e^(σ +- jω)t - > andamento oscillatorio
Oscillazioni crescenti all’infinito per σ > 0;
Oscillazioni smorzate per σ < 0
Oscillazioni di ampiezza costante per σ = 0
Se A ha autovalori complessi coniugati non regolari:
- > compaiono inoltre modi del tipo t^k*e^(σ +- jω)t
Rappresentazioni equivalenti sistemi LTI
Se A è diagonalizzabile, esiste T matrice di trasformazione tale che T A T^-1 = Ad diagonale
Mediante questa matrice si può effettuare un cambio di coordinate equivalente dal punto di vista input/output, cioè trasformare il sistema originale in un sistema che con lo stesso ingresso produce la stessa uscita.
Si ottiene ponendo:
A* = TAT^-1 = Ad B* = TB C* = CT^-1 D* = D
Il movimento dello stato invece:
x(0) - > x(t)
x*(0) - > Tx(t)
Stabilità: definizione generale
La stabilità è la proprietà per cui un movimento del sistema, a fronte di una perturbazione dello stato (delle condizioni iniziali), tende a ritornare nella condizione di partenza
Movimento stabile
Il movimento si dice stabile se
Vε > 0 Eδ(ε) > 0 tale che se || x0p - x0n || < δ allora || xp(t) - xn(t) || < ε Vt > = 0
Movimento instabile
Il movimento si dice instabile se non è stabile, cioè se xp(t) si discosta da xn(t) in norma tanto o più di ε per almeno una condizione iniziale perturbata appartenente a un intorno di raggio δ centrato in x0n
Movimento asintoticamente stabile
Il movimento si dice asintoticamente stabile se
1) è stabile
2) è convergente, cioè lim(t - > inf) || xp(t) - xn(t) || = 0 Vx0p app Bδ(x0n)
Regione di attrazione
Per stati di equilibrio asintoticamente stabili si definisce regione di attrazione l’insieme di condizioni iniziali che generano movimenti stabili e convergenti al movimento di equilibrio x_
Se la regione di attrazione R coincide con R^n, l’equilibrio si dice globalmente asintoticamente stabile
Stabilità in sistemi LTI: proprietà
1) La stabilità non dipende dall’ingresso
2) La stabilità è una proprietà del sistema, non del singolo movimento, in relazione ai modi del sistema
3) La stabilità è funzione del solo movimento libero
Stabilità in sistemi LTI e movimento libero
Un sistema LTI è
- Asintoticamente stabile se e solo se tutti i movimenti liberi, al variare della condizione iniziale, tendono a 0 per t - > inf, cioè xp(t) - > xn(t) per t - > inf. (La linearità impedisce che ci sia convergenza senza stabilità)
- Semplicemente stabile se e solo se tutti i movimenti liberi, al variare della condizione iniziale, sono limitati per t - > inf
- Instabile se e solo se esiste almeno una condizione iniziale tale che il movimento libero diverge per t - > inf
Stabilità in sistemi LTI e matrice A
- A diagonalizzabile
Modi e^λit , λi app C per t - > inf : tendono a 0 se Re(λi) < 0; tendono a una costante se Re(λi)=0; tendono a inf se Re(λi) > 0 - A non diagonalizzabile:
Modi e^λit come prima
Modi t^k*e^λit per t - > inf : tendono a 0 se Re(λi) < 0; tendono a inf se Re(λi) < = 0
Stabilità in sistemi LTI e autovalori
Criterio degli autovalori:
Un sistema dinamico LTI con equazioni
x’=Ax+Bu
y=Cx+Du
si dice:
1) Asintoticamente stabile se e solo se Re(λi) < 0 Vi
2) Semplicemente stabile se e solo se Re(λi) > = 0 Vi e Vi : Re(λi)=0 λi è regolare
3) Instabile se e solo se Ei : Re(λi) > 0 oppure Re(λi) < = 0 Vi e Ei : Re(λi)=0 e λi non è regolare
Stabilità del movimento di equilibrio in sistemi non lineari TI: proprietà
1) A parità di u_ = cost., un sistema non lineare può ammettere un numero finito > 1 di punti di equilibrio
2) Ogni movimento di equilibrio ha la propria caratteristica in termini di stabilità, quindi non ha senso parlare di stabilità di un sistema non lineare
Stabilità del movimento di equilibrio in sistemi non lineari TI: relazione con λi(Alin)
- Teorema 1: Se Re(λi(Alin)) < 0 Vi, allora il movimento di equilibrio del sistema non lineare è asintoticamente stabile (condizione solo sufficiente, non necessaria)
- Teorema 2: Se Ei : Re(λi(Alin)) > 0, allora il movimento di equilibrio del sistema non lineare è instabile (condizione sufficiente)
- Se Re(λi(Alin)) < = 0 Vi e Ei : Re(λi(Alin))=0 non si può concludere nulla sulle proprietà di stato del movimento di equilibrio del sistema non lineare, perché non è adeguata l’approssimazione lineare al primo ordine.
Analisi di stabilità in sistemi LTI senza calcolare gli autovalori
- Condizione necessaria perché un sistema LTI è asintoticamente stabile è tr(A) < 0
- Condizione necessaria perché un sistema LTI è asintoticamente stabile è det(A) ! = 0
Criterio di Routh-Hurwitz
Data una matrice A, le radici del suo polinomio caratteristico hanno tutte parte reale negativa se e solo se:
1) I coefficienti del polinomio sono concordi e non nulli (condizione necessaria)
2) Gli elementi della prima colonna della tabella di Routh sono concordi e non nulli (condizione sufficiente)
Nel caso n=1 o n=2 la prima condizione è necessaria e sufficiente
Costruzione tabella di Routh
La tabella ha n+1 righe
formula…
Traiettorie (sistemi LTI di ordine 2)
Traiettorie: proiezione del movimento sullo spazio di stato Rn, n ordine del sistema
Se n=2: traiettoria x2(x1)
Autovettore è una retta nel piano x2,x1
Verso di percorrenza dipende dal segno della parte reale dell’autovalore
Autovalore dominante
Autovalore associato al polo che tende a 0 più lentamente
Costante di tempo
Dato un autovalore λ, si chiama costante di tempo associata a λ : tau = 1/|Re(λ)|
Piani invarianti
I piani X su cui evolvono le traiettorie sono detti piani invarianti
Classificazione autovalori
Se ho un sistema LTI di ordine n si può scomporre
n = n- + n+ + n0
Con n- autovalori stabili, con Re < 0
n+ autovalori instabili, con Re > 0
n0 autovalori critici, con Re = 0
Scomposizione Rn
Si può scomporre Rn in tre sottospazi invarianti
n- - > X- varietà stabile
n+ - > X+ varietà instabile
n0 - > X0 varietà centro
le tre varietà sono disgiunte, e la loro unione coincide con Rn
Classificazione sistema LTI in base alla varietà
Se in un sistema LTI:
X- coincide con R^n (n=n-) il sistema si dice attrattore
X+ coincide con R^n (n=n+) il sistema si dice repulsore
X- unito X+ coincide con R^n il sistema si dice sella
Forma delle traiettorie per n=2 in sistemi LTI
- Autovalori reali distinti, negativi: nodo stabile, sistema attrattore
- Autovalori reali distinti, positivi: nodo instabile, sistema repulsore
- Autovalori complessi coniugati, parte reale negativa: fuoco stabile, sistema attrattore
- Autovalori complessi coniugati, parte reale positiva: fuoco instabile, sistema repulsore
- Autovalori con parte reale nulla: centro (movimento sinusoidale)
- Autovalori reali, uno positivo, uno negativo: sella
Riassunto: proprietà dei sistemi LTI asintoticamente stabili
1) Fissato u(t) = u_ cost. , lo stato di equilibrio è unico.
Infatti gli autovalori hanno tutti parte reale negativa, quindi nessuno è nullo, quindi A è non singolare e invertibile
2) Il movimento dello stato e dell’uscita dipende, a regime, solo dall’ingresso u(t).
Infatti, la parte libera tende a 0 per t - > inf; parte forzata comprende modi che tendono a 0, e termini della stessa forma della forzante
2A) Se u(t) = 0, allora x(t) e y(t) tendono a 0 per t - > inf
2B) Se u(t) diverge, allora x(t) e y(t) possono anche divergere per t - > inf (la stabilità riguarda solo il movimento libero)
2C) Se u(t) è una funzione del tempo limitata, allora l’uscita è limitata: proprietà di stabilità BIBO (Buonded Input Buonded Output)
3) Se u(t) = u_ cost. , allora l’uscita a regime vale:
y_ = (CA^-1B+D)u_
μ=CA^-1B+D si chiama guadagno statico
