Spazi e sottospazi vettoriali Flashcards
cos’è uno spazio vettoriale
è un insieme V non vuoto i cui elementi sono chiamati vettori con al suo interno due operazioni possibili: la somma (tra due vettori) e il prodotto (tra un vettore e un numero)
chi è V^2
insieme di tutti i vettori geometrici liberi del piano
Vettore geometrico applicato ad un punto O
fissato un punto O nel piano, un vettore geometrico applicato in O è un segmento orientato che unisce O ad un secondo punto P
def di vettori equipollenti (vettori liberi)
hanno la stessa lunghezza, hanno la stessa direzione (giacciono su rette parallele), hanno stesso verso di percorrenza
Il vettore nullo appartiene a tutti i sottospazi vettoriali, DIM
poichè un sottospazio vettoriale W non è vuoto ha almeno un elemento w. Allora 0xw appartiene a W. Ma 0xw=0
Def. Sottospazio vettoriale
un sottoinsieme non vuoto W di uno spazio vettoriale V si dice sottospazio vettoriale se è chiuso rispetto alla somma e rispetto al prodotto, unite queste due proprietà si può dire che il sottospazio vettoriale è chiuso rispeto a prendere combinazioni lineari.
L’insieme S delle soluzioni di un sistema lineare mxn omogeneo AX=0 è un sottospazio vettoriale di R^n, dim
dimostro che (a partire dalle soluzioni X) è chiuso rispetto alla somma e rispetto al prodotto
SPan (v1, v2…vk) è un sottospazio vettoriale, dim
dim che non è vuoto, chiuso rispetto a somma e rispetto a prodotto
cosa significa dire che W è il più piccolo sottospazio vettoriale che contiene V1, V2, … Vk?
1- W è un sottospazio vettoriale
2- W contienete i vettori V1…
3_ se W’ è un sottospazio vettoriale che contiene V1, Vk allora W è contenuto in W’
dimostrare che lo Span (V1, Vk) è il più piccolo sottospazio vettoriale che contiene V1, Vk
dim quaderno
dimostrare che se V è combinazione lineare di V1, Vk allora Span (V1, Vk, V) = Span (V1, Vk)
def di V come spazio vettoriale
def di base
def di base canonica
prop. se V1, V2 appartengono a v sono dipendenti se e solo se almeno uno di essi è combinazione lineare degli altri
spazio vettoriale dei polinomi
v ∈ V si scrive come combinazione lineare di v1, v2, vk perchè questi generano V, dim
dimostriamo che esistono due diverse combinazioni dei vettori generatori che mi danno il vettore generico v.
sottraggo uno all’altro e vedo che mi deve portare il vettore nullo, e tutti i coefficienti sottratti uno all’altro dovranno essere uguale a zero per forza perché l’unica combinazione lineare che dà il vettore nullo è quello con tutti i coefficienti uguale a zero.
Segue che i coefficienti delle due combinazioni lineari iniziali sono uguali tra loro.
Quindi esiste una sola combinazione lineare.
L’immagine di una combinazione lineare coincide con la combinazione lineare delle immagini con gli stessi coefficienti, dim
quando due spazi vettoriali si dicono isomorfi?
sia T: V –> V’ applicazione lineare, se i vettori di V sono dipendenti allora lo sono anche le sue immagini (che appartengono a V’), DIM
visto che sono dipendenti esiste almeno una solo combinazione lineare co i coefficienti diversi da zero.
costruisco l’immagine della combinazione lineare che mi darà sempre il vettore nullo, quindi anche le immagini dei vettori sono dipendenti.
Sia B una base di V composta da n-vettori. Allora k vettori w1, w2, wk con k>n sono linearmente dipendenti. DIM
Sia B una base di V con n vettori. Ogni altra base ha lo stesso numero di n vettori.
Sia B’ un’altra base con m vettori. Essendo questi vettori linearmente indipendenti m≤ n.
Ma anche i vettori della base B (n vettori) sono linearmente indipendenti, quindi n≤ m.
n=m
cos’è la dimensione di uno spazio vettoriale? come si trova?
Teorema del completamento di base. DIM
il caso in cui ci siano n vettori nella base e che p vettori generano v indipendenti. Allora esistono n-p vettori di B che insieme ai p vettori formano una base di V.
Sia W un sottospazio vettoriale di V (con dimV=n) allora:
-dimW ≤ dimV
-dimW = dimV allora W=V
