Spazi e sottospazi vettoriali

Question 1

cos’è uno spazio vettoriale

Answer 1

è un insieme V non vuoto i cui elementi sono chiamati vettori con al suo interno due operazioni possibili: la somma (tra due vettori) e il prodotto (tra un vettore e un numero)

Question 2

chi è V^2

Answer 2

insieme di tutti i vettori geometrici liberi del piano

Question 3

Vettore geometrico applicato ad un punto O

Answer 3

fissato un punto O nel piano, un vettore geometrico applicato in O è un segmento orientato che unisce O ad un secondo punto P

Question 4

def di vettori equipollenti (vettori liberi)

Answer 4

hanno la stessa lunghezza, hanno la stessa direzione (giacciono su rette parallele), hanno stesso verso di percorrenza

Question 5

Il vettore nullo appartiene a tutti i sottospazi vettoriali, DIM

Answer 5

poichè un sottospazio vettoriale W non è vuoto ha almeno un elemento w. Allora 0xw appartiene a W. Ma 0xw=0

Question 6

Def. Sottospazio vettoriale

Answer 6

un sottoinsieme non vuoto W di uno spazio vettoriale V si dice sottospazio vettoriale se è chiuso rispetto alla somma e rispetto al prodotto, unite queste due proprietà si può dire che il sottospazio vettoriale è chiuso rispeto a prendere combinazioni lineari.

Question 7

L’insieme S delle soluzioni di un sistema lineare mxn omogeneo AX=0 è un sottospazio vettoriale di R^n, dim

Answer 7

dimostro che (a partire dalle soluzioni X) è chiuso rispetto alla somma e rispetto al prodotto

Question 8

SPan (v1, v2…vk) è un sottospazio vettoriale, dim

Answer 8

dim che non è vuoto, chiuso rispetto a somma e rispetto a prodotto

Question 9

cosa significa dire che W è il più piccolo sottospazio vettoriale che contiene V1, V2, … Vk?

Answer 9

1- W è un sottospazio vettoriale
2- W contienete i vettori V1…
3_ se W’ è un sottospazio vettoriale che contiene V1, Vk allora W è contenuto in W’

Question 10

dimostrare che lo Span (V1, Vk) è il più piccolo sottospazio vettoriale che contiene V1, Vk

Answer 10

dim quaderno

Question 11

dimostrare che se V è combinazione lineare di V1, Vk allora Span (V1, Vk, V) = Span (V1, Vk)

Question 12

def di V come spazio vettoriale

Question 13

def di base

Question 14

def di base canonica

Question 15

prop. se V1, V2 appartengono a v sono dipendenti se e solo se almeno uno di essi è combinazione lineare degli altri

Question 16

spazio vettoriale dei polinomi

Question 17

v ∈ V si scrive come combinazione lineare di v1, v2, vk perchè questi generano V, dim

Answer 17

dimostriamo che esistono due diverse combinazioni dei vettori generatori che mi danno il vettore generico v.
sottraggo uno all’altro e vedo che mi deve portare il vettore nullo, e tutti i coefficienti sottratti uno all’altro dovranno essere uguale a zero per forza perché l’unica combinazione lineare che dà il vettore nullo è quello con tutti i coefficienti uguale a zero.
Segue che i coefficienti delle due combinazioni lineari iniziali sono uguali tra loro.
Quindi esiste una sola combinazione lineare.

Question 18

L’immagine di una combinazione lineare coincide con la combinazione lineare delle immagini con gli stessi coefficienti, dim

Question 19

quando due spazi vettoriali si dicono isomorfi?

Question 20

sia T: V –> V’ applicazione lineare, se i vettori di V sono dipendenti allora lo sono anche le sue immagini (che appartengono a V’), DIM

Answer 20

visto che sono dipendenti esiste almeno una solo combinazione lineare co i coefficienti diversi da zero.
costruisco l’immagine della combinazione lineare che mi darà sempre il vettore nullo, quindi anche le immagini dei vettori sono dipendenti.

Question 21

Sia B una base di V composta da n-vettori. Allora k vettori w1, w2, wk con k>n sono linearmente dipendenti. DIM

Question 22

Sia B una base di V con n vettori. Ogni altra base ha lo stesso numero di n vettori.

Answer 22

Sia B’ un’altra base con m vettori. Essendo questi vettori linearmente indipendenti m≤ n.
Ma anche i vettori della base B (n vettori) sono linearmente indipendenti, quindi n≤ m.
n=m

Question 23

cos’è la dimensione di uno spazio vettoriale? come si trova?

Question 24

Teorema del completamento di base. DIM

Answer 24

il caso in cui ci siano n vettori nella base e che p vettori generano v indipendenti. Allora esistono n-p vettori di B che insieme ai p vettori formano una base di V.

Question 25

Sia W un sottospazio vettoriale di V (con dimV=n) allora:
-dimW ≤ dimV
-dimW = dimV allora W=V