Prodotto Scalare Flashcards
Prodotto scalare canonico di Rn
il prodotto scalare significa che come risultato avrò uno scalare, cioè un numero.
Lo scalare di V (x1, x2, x3) e di W (y1, y2, y3)
< V, W > = trasposta di V per W
quando due vettori si dicono ortogonali
quando il loro prodotto scalare è uguale a zero
proprietà:
- bilineare
-simmetrica
-definito positivo
-non degenere
quad
cos’è la norma (o lunghezza di un vettore)
||v||= √(v,v) = √ x1^2 + x2^2 + Xn^2
Teorema DISUGUAGLIANZA DI COUCHY-SCHWARTZ
|< v, w >| ≤ ||v||,||w|| ovvero -||v||, ||w|| ≤ <v,w> ≤ ||v||,||w||
Vale solo se v e w sono dipendenti (proporzionali)
coseno dell’angolo tra due vettori
cos vw = <v,w> / ||v||*||w||
disuguaglianza triangolare
in un triangolo la lunghezza di un lato è sempre minore della somma delle lunghezze degli altri due
Se ho v1…Vk non nulli e a due a due ortogonali (cioè che se ne scelgo due sono ortogonali) allora sono indipendenti tra loro
non ho capito la dimostrazione, GV
definizione di versore
è un vettore di norma 1, se appartiene a Rn esistono due vettori proporzionali (paralleli) a v:
v/||v|| e -v/||v||
definizione di base ortonormale
se la base è composta da tutti i vettori di norma 1 ( es base canonica Rn)
coefficiente di Fourier
<v, vi> / <vi, vi> coefficiente di fourier di v rispetto a vi
Le coordinate di un vettore v rispetto a una base ortogonale sono i suoi coefficienti di fourier
dimostrazione
come si scrive la proiezione di v su v1?
Pv1(V)=<v, v1> / <v1, v1> * v1
modo di scrivere v come somma di un vettore parallelo a v e uno perpendicolare a v, tale scomposizione è:
v=Pv1(v)+ (V- Pv1(v))
