Prodotto Scalare Flashcards
Prodotto scalare canonico di Rn
il prodotto scalare significa che come risultato avrò uno scalare, cioè un numero.
Lo scalare di V (x1, x2, x3) e di W (y1, y2, y3)
< V, W > = trasposta di V per W
quando due vettori si dicono ortogonali
quando il loro prodotto scalare è uguale a zero
proprietà:
- bilineare
-simmetrica
-definito positivo
-non degenere
quad
cos’è la norma (o lunghezza di un vettore)
||v||= √(v,v) = √ x1^2 + x2^2 + Xn^2
Teorema DISUGUAGLIANZA DI COUCHY-SCHWARTZ
|< v, w >| ≤ ||v||,||w|| ovvero -||v||, ||w|| ≤ <v,w> ≤ ||v||,||w||
Vale solo se v e w sono dipendenti (proporzionali)
coseno dell’angolo tra due vettori
cos vw = <v,w> / ||v||*||w||
disuguaglianza triangolare
in un triangolo la lunghezza di un lato è sempre minore della somma delle lunghezze degli altri due
Se ho v1…Vk non nulli e a due a due ortogonali (cioè che se ne scelgo due sono ortogonali) allora sono indipendenti tra loro
non ho capito la dimostrazione, GV
definizione di versore
è un vettore di norma 1, se appartiene a Rn esistono due vettori proporzionali (paralleli) a v:
v/||v|| e -v/||v||
definizione di base ortonormale
se la base è composta da tutti i vettori di norma 1 ( es base canonica Rn)
coefficiente di Fourier
<v, vi> / <vi, vi> coefficiente di fourier di v rispetto a vi
Le coordinate di un vettore v rispetto a una base ortogonale sono i suoi coefficienti di fourier
dimostrazione
come si scrive la proiezione di v su v1?
Pv1(V)=<v, v1> / <v1, v1> * v1
modo di scrivere v come somma di un vettore parallelo a v e uno perpendicolare a v, tale scomposizione è:
v=Pv1(v)+ (V- Pv1(v))
procedimento di Gran Schmit
da capire sugli esercizi
completamento ortogonale di un sottospazio vettoriale
proiezione ortogonale di un vettore nel sottospazio
cambiamento di base ortonormali
Matrici ortogonali
Endomorfismi simmetrici
un endomorfismo si dice simmetrico se tT=T ovvero se <T(v), w> = <v, T(w)>
forma quadratica di un endomorfismo simmetrico
Teorema spettrale
SIa T da Rn a Rn un endomorfismo. Esiste una base ortonormale di Rn composta da autovettori fi T se e solo se T è simmetrico
