Endomorfismi Flashcards
cos’è la controimmagine di un vettore?
se b appartiene a V’ allora la controimmagine di b è l’insieme di tutti i vettori v che hanno come immagine b.
Sia T: V –> V’ e G: V’–> V’’ app. lineari e B, B’ e B’’ basi allora la matrice associata alla composta di G(T) è il prodotto delle matrici associate di G e di T
dimostrazione quaderno
cos’è un endomorfismo?
un’applicazione lineare del tipo T: V –> V (dominio=codominio)
Un’applicazione lineare T: V –> W è un isomorfismo se e solo se dim V= dim W e se detA è diverso da 0 dove A è la matrice associata rispetto a qualsiasi scelta di base
Se T è un isomorfismo e la matrice associata a T è A allora l’inversa della matrice associata è l’inversa di A.
quando due matrici si dicono simili?
Due matrici A e A’ si dicono simili se esiste una matrice invertibile B tale che: A’= ABB^-1
quando una matrice è diagonalizzabile?
Una matrice A è diagonizzabile se è simile ad una matrice diagonale.
Un endomorfismo è diagonalizzabile se la matrice associata a T rispetto a qualsiasi base è diagonalizzabile, ovvero
se esiste una base B per cui la matrice associata è diagonale.
Def di autovettore (rispetto ad una applicazione lineare)
sia una certa app lineare un endomorfismo, un vettore v di V si dice autovettore di T se la sua immagine è proporzionale a v
T(v)=λv
Def di autovettore (rispetto ad una matrice)
Sia A una matrice un vettore v appartenente a Rn, diverso da zero, si dice autovettore di A se è un autovettore dell’applicazione lineare La: Rn –> Rn
Av=λv
definizione di autovalore
λ (si dice che λ è autovalore e v è autovettore di autovalore λ)
definizione di autospazio
Sia λ un autovalore di T(o di A ). L’autospazio relativo a λ è l’insieme degli autovettori relativi a λ con aggiunto 0.
Sia v1, vk-1 autovettori indipendenti di autovalori λ1, λk-1 e sia vk un autovettore di autovalore λk (diverso da tutti gli altri autovalori). Allora v1, vk-1, vk sono indipendenti
dim
Sia T: V–>V un endomorfismo e B una base di V. B è composta da autovettori se e solo se la matrice associata a T è diagonale
dim
Se un endomorfismo di uno spazio di dimensione n (o di una matrice quadrata n) ha n autovalori reali e distini allora è diagonalizzabile.
dim, se so che ci sono λn vettori (distinti). Prendiamo un autovalore per ogni autovettore, per un risultato precedente essi sono indipendenti, quindi essendo n costituiscono una base.
criterio di diagonalizzabilità (equivalgono 3 affermazioni)
Se T è un endomorfismo, dimV=n le seguenti affermazioni sono equivalenti :
-T è diagonalizzabile
-esistono gli autovalori in quanto reali e distinti e per ognuno di essi la ma =mg
-ogni autovalore è reale e la somma delle loro mg è n
