Applicazioni lineari

Question 1

def applicazione lineare

Answer 1

siano V e V’ due spazi vettoriali. Una funzione T: V –> V’ si dice applicazione lineare se è additiva e omogenea

Question 2

L’immagine di una combinazione lineare coincide con la combinazione lineare delle immagini con gli stessi coefficienti, dim

Answer 2

chiarire

Question 3

isomorfismo

Answer 3

applicazione lineare biunivoca T: V –> V’ (di cui V e V’ sono detti isomorfi)

Question 4

sia T: V –> V’ app. lineare. Se V1, V2 ∈ V sono dipendenti, anche T(V1), T(V2) T(Vk) ∈ V’ lo sono, dim

Question 5

Sia B una base di V composta da n-vettori. Allora k vettori w1,w2,wk son k>n sono linearmente dipendenti. dim

Question 6

V ha dimensione finita n se una base di V ha n vettori. Altrimenti ha dimensione infinita

Question 7

Teorema del completamento delle basi

Question 8

eq parametriche

Question 9

eq cartesiane

Question 10

Formula di Grassman

Answer 10

dati due sottospazi vettoriali U e W di V definiamo
1. sottospazio intersezione
2. sottospazio somma

Question 11

Teorema collegato alla formula di Grassman

Answer 11

dim(U ∩ W) + dim (U + W) = dim U + dim W

Question 12

sottospazi supplementari

Answer 12

se U ∩ W = o, allora U+ W si dice somma diretta e si scrive U ⊕ W ( se rispetta queste due regola allora U e W sono sottospazi supplementari

Question 13

Se U e W sono sottospazi supplementari ogni v che appartiene a V si scrive in modo unico come somma di un vettore di U e uno di W

Answer 13

dimostro con unicità del vettore, per assurdo faccio che un vettore di V è la somma di due diversi vettori di W e U.

Question 14

Sottospazi affini

Answer 14

Sia W un sottospazio vettoriale di V. Un sottospazio affine di giacitura W è un sottoinsieme del tipo L contenuto in V:
-L = v0 + W (per ogni w appartenente a W) dove v0 è un vettore qualsiasi di V
dim L = dim W

Question 15

Sia S l’insieme di soluzioni di un sistema lineare AX=B. Se non è vuoto e S è un sottospazio affine di Rn allora
S= v0 + w dove v0 è una soluzione del sistema e w è l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato. DIM

Question 16

Matrice associata a T

Answer 16

Si T: V–>V’ un’applicazione lineare, dimV=n, dimV’=m.
Fissiamo una base B con n vettori e una base B’ con m vettori. La matrice associata rispetto alle basi all’applicazione lineare è formata dalle colonne di FB’(T(vn)).

Question 17

In coordinate T agisce come moltiplicazione della matrice associata rispetto alle basi quad dim

Question 18

cos’è il nucleo di un’applicazione lineare

Answer 18

Sia T un’applicazione lineare dimV=n. Il nucleo di T è quel vettore di V che ha come immagine un vettore nullo.

Question 19

KerT è un sottospazio vettoriale di V di dimKerT=n-rgA (dove A è una qualsiasi matrice associata rispetto alle basi scelte)

Answer 19

dimostrazione con il fatto che il KerT non è vuoto, quindi contiene il vettore nullo per il fatto che l’immagine del vettore nullo è il vettore nullo. dimostro che KerT è chiuso rispetto a somma e rispetto a prodotto.

Question 20

T è iniettiva se e solo se il KerT= 0 DIM

Question 21

Sottospazio immagine

Answer 21

Sia T un’applicazione lineare. L’immagine di T è il sottospazio vettoriale T(v): ImT=T(v)…
In parole povere ImT è il sottospazio vettoriale formato dalle immagini di V.

Question 22

Teorema nullità + rango ( della dimensione)

Answer 22

dim KerT + dim ImT = dimV