Slide lezione 3: Indici di posizione Flashcards
Indicatore o indice di posizione
Una volta organizzati i dati, sorge la necessità di individuare un valore che da solo sia in grado di riassumere la distribuzione invariata dei dati ed identificare l’ordine di grandezza del carattere.
Come può essere l’indicatore o indice di posizione?
- una delle modalità osservate che risulta privilegiata, perché più frequente o perché occupa una posizione particolare;
- il risultato di una manipolazione dei dati, e quindi anche non coincidente con nessuna delle modalità osservate.
Principio di Cauchy o Proprietà di internalità
In entrambi i casi il requisito che l’indicatore deve soddisfare è detto Principio di Cauchy o Proprietà di Internalità: Un indicatore di posizione deve essere necessariamente compreso tra il più piccolo ed il più grande valore osservato.
Medie di posizione e medie analitiche
- Medie di posizione: non richiedono operazioni algebriche sulle modalità.
*Sia per caratteri qualitativi che quantitativi. - Medie analitiche: sono calcolate con operazioni algebriche sulle modalità.
*Solo per caratteri quantitativi.
La media aritmetica
La media aritmetica di un insieme di n valori x1, x2 , …, xn d un carattere quantitativo X è data da: xa = 1/n(x1 +x2 +… +xn)
Se il carattere X è quantitativo discreto e conosciamo la sua distribuzione di frequenza.
Non e’ un indice robusto
Quando media aritmetica e media ponderata coincidono?
La media aritmetica e quella ponderata coincidono nel caso in cui i pesi sono tutti uguali.
Proprietà della media aritmetica
- La somma dei valori osservati è uguale al valore medio moltiplicato per il numero di unità.
- La somma delle differenze tra i valori e la loro media aritmetica, è pari a zero.
- La somma dei quadrati degli scarti delle modalità da una costante c è minima quando c è uguale alla media aritmetica.
- Se un collettivo viene suddiviso in L sottoinsiemi disgiunti di numerosità n1, n2,… nL, dove sommatoria L con h=1nh = n, allora la media aritmetica generale si può ottenere come media ponderata delle medie dei sottoinsiemi, con pesi uguali alle loro numerosità.
La mediana
Il calcolo della mediana è possibile solo per caratteri quantitativi o qualitativi ordinabili. Restano dunque escluse le variabili qualitative sconnesse.
- La mediana è la modalità associata all’unità statistica che occupa la posizione centrale nella popolazione, dopo aver ordinato le unità in senso crescente rispetto alle modalità.
- La mediana divide la popolazione in due sottoinsiemi di uguale numerosità: una parte formata dalle unità che presentano una modalità precedente o uguale a quella dell’unità centrale e una parte formata dalle unità che presentano una modalità successiva o uguale a quella dell’unità centrale.
Il calcolo della mediana
- Si ordinano le n unità in senso crescente rispetto alle modalità.
- Si individua l’unità in posizione centrale: *se n è dispari la posizione è n + 1/2
*se n è pari si hanno due unità centrali con posizione n/2 e n/2 + 1. - Si osserva la modalità posseduta dall’unità centrale:
- se n è dispari la mediana è Me = xn+1/2
*se n è pari
- Caso qualitativo- Se la modalità posseduta dalle unità è la stessa, quella è la mediana.- Se la modalità posseduta dalle unità NON è la stessa, la mediana non esiste!
- Caso quantitativo discreto
*Se la modalità posseduta dalle unità è la stessa, quella è la mediana. - Se la modalità posseduta dalle unità NON è la stessa, ogni valore compreso tra le due modalità è mediana, anche se di solito si sceglie il valore centrale.
La moda
- La moda è la modalità del carattere che presenta la massima frequenza (assoluta, relativa o percentuale).
- Non si può calcolare per dati singoli non ripetuti.
- L’indice perde significato quando tutte le frequenze assumono valori prossimi a n K . - Qualora esistano due o più modalità associate alle frequenze più alte si parla di caratteri bimodali o plurimodali.
- Si può calcolare per variabili qualitative (sconnesse e ordinali) che quantitative.
Mediana per un carattere suddiviso in classi
- Se il carattere è quantitativo (continuo) ed è suddiviso in classi non è possibile individuare esattamente la mediana, perché di ogni unità conosciamo solo la classe a cui appartiene ma non la sua modalità.
- In pratica disponiamo solo delle classi e delle rispettive frequenze ma non sappiamo nulla della distribuzione delle unità all’interno delle classi.
- Facendo ricorso all’ipotesi di equidistribuzione delle unità statistiche entro ogni classe, si può considerare come Mediana il valore centrale della classe individuata come Classe Mediana.
Considerazioni sulla moda
- Se le modalità sono suddivise in classi si ricerca la classe modale definita come quella a cui corrisponde la densità di frequenza più alta.
- Come valore rappresentativo della classe si sceglie quello che corrisponde al valore centrale della classe (ipotesi di equidistribuzione nelle classi).
Altre considerazioni sulla moda
- Se rappresentiamo la distribuzione di frequenze in termini grafici, mediante un istogramma di frequenze, la moda rappresenta il picco della distribuzione.
- Se c’è un unico picco la distribuzione si dice unimodale.
- Se la distribuzione presenta due picchi di uguale altezza, ovvero due modalità che presentano uguale frequenza massima, la distribuzione si dice bimodale.
I percentili
- La mediana divide in due parti uguali l’insieme delle unità statistiche ordinate per grandezza.
- Definiamo percentili quei valori che dividono la distribuzione in cento parti di uguale numerosità.
- La mediana corrisponde quindi al 50 esimo percentile.
- I percentili di uso più frequente sono il 25 esimo e il 75 esimo, detti anche primo, Q1 e terzo quartile, Q3 che insieme alla mediana (secondo quartile) dividono la distribuzione in quattro parti uguali.
- Il primo e il terzo quartile individuano un intervallo centrale che contiene circa il 50% delle unità statistiche (e che viene considerato una misura di dispersione dei dati).
