Slide 7: le variabili casuali binomiale e di Poisson Flashcards
La variabile di Bernoulli
In numerose applicazioni pratiche le osservazioni che raccogliamo sono binarie, ossia può presentarsi solo uno fra due esiti.
In questi casi quello che ci interessa è appurare se un dato evento si è o meno verificato.
* La v.c. X =l’evento si è verificato, assumerà per convenzione valore uno in caso positivo e valore 0 altrimenti.
* Tale v.c. prende il nome di v.c. di Bernoulli.
La variabile casuale di Bernoulli è un modello per tutti gli esperimenti casuali di tipo bernoulliano per cui gli esiti possano essere classificati in due categorie successo e insuccesso.
La distribuzione di Bernoulli
Una v.c. di Bernoulli, indicata con X ∼ Bernoulli(π), assume il valore uno con probabilità π e il valore zero con probabilità 1 − π. La sua funzione di probabilità può essere espressa come:
P(X =x) =πx (1−π)1−x per x =0,1 e 0≤π ≤1 * Si ha quindi: E(X) = 1·π+0·(1−π) =π
e
Var(X) = (12 ·π +02 ·(1−π))−π2 = π−π2 = π(1−π)
La distribuzione binomiale
Una v.c. Binomiale, indicata con X∼Binomiale (π,n),rappresenta il numero di successi che si presentano in una sequenza di n sottoprove Bernoulliane indipendenti nelle quali è costante la probabilità di successo π.
La variabile casuale Binomiale è un modello di riferimento nel caso in cui si abbiano n esperimenti casuali di tipo bernoulliano aventi stessa probabilità di successo e insuccesso ad ogni prova, come ad esempio n estrazioni indipendenti di palline colorate da un’urna, n estrazioni indipendenti di carte da un mazzo ecc.
Una variabile casuale di Poisson
Una v.c. di Poisson, indicata con X ∼ Poisson(λ), è una v.c. discreta che può assumere qualsiasi valore intero x ≥ 0.
La variabile casuale di Poisson è un modello di riferimento per tutti quegli esperimenti casuali che prevedono si possa fare un qualche tipo di conteggio visto che ha supporto positivo. Fare attenzione che la v.c. di Poisson sta ad indicare il numero di arrivi in un intervallo temporale di lunghezza t quando il numero medio di arrivi in una unità di tempo è η. Il parametro effettivo è perciò λ = η · t.
Equidispersione
Caso in cui la media e la varianza sono uguali tra loro
Condizioni per applicare la v.c. di Poisson
Si suddivide l’intervallo in tanti sotto-intervalli e si verificano le seguenti condizioni:
1. la probabilità di osservare esattamente un successo nel sotto-intervallo è costante e non varia;
2. la probabilità di osservare più di un successo nel sotto-intervallo è pari a 0;
3. il fatto che si verifichi un arrivo in un sotto-intervallo è statisticamente indipendente dal fatto che si verifichi un arrivo in un altro qualsiasi sotto-intervallo
