Slide 6: Distribuzioni di probabilità e variabili casuali Flashcards
Variabile casuale
Definiamo variabile casuale X, una funzione definita sullo spazio campionario Ω che associa ad ogni evento elementare ωi un numero reale.
Variabile casuale discreta
Una v.c. discreta può assumere un insieme discreto (finito o numerabile) di numeri reali (p.e. numero dei componenti una famiglia, numero di stanze in un appartamento, …).
La funzione di probabilità di una v.c. discreta X associa a ognuno dei possibili valori xi la corrispondente probabilità P(X = xi).
Variabile casuale continua
Una v.c. continua può assumere tutti gli infiniti valori compresi in un intervallo reale (p.e. statura, peso, reddito, … )
Funzione di ripartizione
In alcune situazioni, potremmo essere interessati alla probabilità che la v.c. X assuma valori minori o uguali ad un dato valore xi.
* Ci interessano quindi le probabilità cumulate P(X ≤ xi)
* Data una v.c. discreta X, la funzione che fa corrispondere ai valori x le probabilità cumulate P(X ≤ x) viene detta funzione di ripartizione: è una funzione che ha per dominio la retta reale, assume valori nell’intervallo [0,1], si indica con F(x) ed è così definita F(x) = P(X ≤x) = sommatoria ω≤x di P(X =ω) x ∈R
Funzione di densità
Chiameremo funzione di densità della v.c. continua X la funzione matematica f(x) per cui l’area sottesa alla funzione, corrispondente ad un certo intervallo, è uguale alla probabilità che X assuma un valore in quell’intervallo.
Funzione di ripartizione
Data una v.c. continua X, la funzione che fa corrispondere ai valori x le probabilità cumulate P(X ≤ x) viene detta funzione di ripartizione e indicata con: F(x) = P(X ≤x) = integrale x −∞ di f (ω)dω
* La funzione di ripartizione per una v.c. continua gode delle stesse proprietà della funzione di ripartizione per una v.c. discreta.
Il valore atteso
Associato ad una v.c. X troviamo il concetto di valore atteso o speranza matematica che viene definito come segue: (vedi slide)
* Il valore atteso è una misura del centro di gravità o baricentro della distribuzione di X ovvero misura dove i valori tendano a concentrarsi.
La Varianza
(Vedi slide 21 ppt6)
Per avere una misura della variabilità del fenomeno, abbiamo bisogno di calcolarne la varianza , che è una misura della dispersione di una v.c. attorno al suo baricentro.
Quindi la varianza misura la differenza quadratica tra i possibili valori della v.c. e il suo valore atteso, con pesi dati dalle probabilità di osservare tali valori.
I valori standardizzati
Essi esprimono la distanza tra le osservazioni e la media in termini di deviazioni standard.
