Slide 8: la variabile casuale normale Flashcards
variabile casuale normale o Gaussiana
La v.c. Normale X, indicata con X ∼ N(µ,σ2), è una v.c. continua che può assumere valori su tutto l’asse reale.
In questo caso si può dimostrare che:
E(X) = µ e Var(X)=σ^2.
Funzione di densità normale
La funzione di densità Normale ha una forma a campana, unimodale e simmetrica rispetto al valore atteso µ, in corrispondenza del quale la funzione raggiunge il suo massimo valore.
* Di conseguenza µ è anche moda e mediana della distribuzione.
* µ determina la posizione della curva sull’asse delle ascisse
* σ determina quanto i valori sono dispersi attorno alla media.
Distribuzione normale standardizzata
Se X∼N (µ,σ2)allora Z=X−µ/σ èunav.c.Normalestandardizzatadimedianullaevarianzaunitaria,chesi indica con Z∼N(0,1).
E’ simmetrica rispetto all’asse z=0, quindi f(z)= f(-z)
Proprietà di una distribuzione normale
- Ogni trasformazione lineare di una v.c. Normale è ancora una v.c. Normale, in particolare se X ∼ N(0,1) allora
Y =a+bX ∼N(a,b^2) - La somma di due v.c. Normali indipendenti è ancora una v.c. Normale con media pari alla somma delle medie e varianza pari alla somma delle varianze:
X1 ∼N(µ1,σ1^2)
X2 ∼N(µ2,σ2^2) ⇒
(X1 +X2) ∼ N(µ1 +µ2,σ1^2 +σ2^2)
Distribuzione/Variabile casuale chi-quadrato
La v.c. Chi-quadrato ovvero X ∼ χg^2 è una distribuzione asimmetrica, continua e definita per valori reali non negativi
Caratteristiche della vc chi-quadrato
- La sua funzione di densità dipende da un solo parametro, g ∈ N+, chiamato gradi di libertà.
- All’aumentare di g la distribuzione tende ad una Normale e per g > 80 l’approssimazione è abbastanza buona.
- Valore Atteso e Varianza E(X) = g e Var(X)=2g
- Al variare del parametro g la forma della distribuzione cambia, per piccoli valori di g la distribuzione si concentra sull’estremo inferiore del supporto di X, mentre al crescere di g la distribuzione tende a distendersi su tutti i valori positivi.
