Slide 5: Fondamenti di calcolo delle probabilità Flashcards
Come possiamo definire la probabilità?
Probabilità come il grado di incertezza connesso al risultato scaturito da una prova.
Concetti primitivi di probabilità
I concetti primitivi rappresentano le nozioni originarie e intuitive (assiomi) su cui viene costruita la teoria probabilistica.
* La probabilità è un concetto primitivo e misura.
Vi sono tre entità fondamentali che rappresentano i concetti primitivi della teoria della probabilità:
- la prova: esperimento che ha 2 o più risultati;
- l’evento: uno dei possibili risultati;
- la probabilità: numero compreso tra 0 e 1 che misura il grado di incertezza sul verificarsi di un evento.
Gli eventi
Si possono distinguere due tipi di eventi:
▶ evento elementare, indicato con ωi, che è uno dei possibili risultati della prova
▶ evento non-elementare, cioè un evento che può essere a sua volta scomposto in più eventi elementari
- Esempio: nella prova “lancio di un dado” i possibili eventi elementari sono {1,2,3,4,5,6}, mentre un evento non-elementare è A=esce un numero pari che equivale a A = {2,4,6}.
- Tutti gli eventi saranno indicati con le lettere maiuscole dell’alfabeto
- Per poter analizzare le relazioni esistenti fra gli eventi, è necessario postulare un’algebra degli eventi.
Lo spazio campionario
L’insieme di tutti i possibili eventi elementari, ωi, viene chiamato Spazio Campionario e viene indicato con il simbolo Ω.
L’Algebra degli eventi: l’algebra di Boole
Indichiamo con Ei, i = 1,2,…,p, un evento definito a partire dagli eventi elementari e con E = (E1,E2,…,Ep) una collezione di eventi.
POSTULATO 1: gli eventi formano un’algebra di Boole.
L’algebra di Boole è una struttura matematica sui cui elementi sono definite le seguenti operazioni:
* La negazione di un evento A, ossia ¯ A ; ovvero A non si verifica.
* L’intersezione fra due eventi A e B, ossia A ∩ B ; ovvero A e B si verificano contemporaneamente.
* L’unione fra due eventi A e B, ossia A ∪ B; ovvero almeno uno degli eventi A e B si verifica.
Evento impossibile
è l’evento che non può mai verificarsi e può essere definito come l’intersezione fra un qualsiasi evento e la sua negazione: A∩¯ A = B∩ ¯ B =∅.
Evento certo
è l’evento che si verifica sempre in quanto comprende tutti i possibili risultati dell’esperimento. Può essere definito come la negazione dell’evento impossibile ¯ ∅ =Ω.
Eventi incompatibili
Due eventi A e B si dicono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente, quindi A∩B =∅ ovvero se il verificarsi di A automaticamente esclude il verificarsi di B.
Unione di un evento e del suo complemento
L’unione di un evento e del suo complemento costituisce l’evento certo: A∪¯ A = B∪ ¯ B =Ω
Proprietà distributiva degli eventi
- A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
- A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
Proprietà assiomatiche della probabilità
- Ad una generica prova è associato uno spazio campionario Ω e ad esso una collezione di eventi E = {E1,E2,…,Ep} la cui struttura matematica è quella di un’algebra di Boole.
- Definiamo probabilità una funzione di insieme (funzione che applica un’operazione di conteggio di elementi all’interno del dominio) che associa ad ogni evento Ei ∈ E un numero reale.
- La probabilità sarà indicata con P(Ei).
I postulati degli eventi e teorema
Siano A e B degli eventi qualsiasi appartenenti ad E.
* POSTULATO2: P(A) ≥ 0
* POSTULATO3: P(Ω) = 1
* POSTULATO4: se A∩B =∅ ⇒P(A∪B)=P(A)+P(B)
Utilizzando tali postulati è possibile dimostrare il seguente Teorema:
* In una prova, dati due eventi A e B, non a intersezione nulla, si ha:
P(A∪B) =P(A)+P(B)−P(A∩B)
Esempio teorema
Si estrae una carta da un mazzo che ne contiene 52. Calcolare la probabilità che la carta sia un asso o una carta di picche. La carta può essere sia di picche sia un asso di qualunque seme. Si definiscono gli eventi A = La carta è di picche e B =La carta è un asso. Perciò la probabilità corretta si calcola come P(A ∪ B). I due eventi però non hanno intersezione nulla, quindi P(A∪B) =P(A)+P(B)−P(A∩B) = 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 =0,31 Togliere l’intersezione dei due eventi equivale dunque a eliminare gli eventi elementari che verrebbero conteggiati due volte.
Altre proprietà degli eventi
0≤P(A)≤1
* P(∅) = 0
* se B ⊂A⇒P(B)≤P(A)
* P(¯ A) = 1−P(A)
* se P(B) = 1⇒P(B∩A)=P(A)
* se P(B) = 0⇒P(B∪A)=P(A)
Definizione classica di probabilità
Una definizione intuitiva di probabilità quando gli eventi elementari siano perfettamente noti, in numero finito e tutti equipossibili, è la seguente:
* La probabilità è data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento e il numero dei casi possibili. P(E) = n. di casi favorevoli/n. di casi possibili.
Nel caso del lancio di un dado vi sono 6 eventi elementari, tutti egualmente possibili. In questo caso, se A =si presenta il numero 5, abbiamo P(A) = 1/6, se B =si presenta un numero pari, P(B) = 3/6
Probabilità condizionata
Supponiamo di voler calcolare la probabilità dell’evento A sapendo che si è già verificato l’evento B collegato ad A.
* Useremo la probabilità condizionata di A dato B : P(A | B) = n. di casi favorevoli ad A ∩B n. di casi favorevoli a B = P(A∩B) P(B) , P(B)>0
* Si definisce probabilità condizionata di A dato B, il rapporto tra la probabilità dell’evento (A ∩ B) e la probabilità dell’evento B.
* Ha senso parlare di probabilità condizionata quando i due eventi sono in qualche modo collegati ovvero quando il verificarsi dell’uno influenza l’altro
Principio delle probabilità composte
La probabilità che due eventi A e B accadano contemporaneamente è la probabilità che accada B dato che è già accaduto A per la probabilità che accada A, e (eventualmente) viceversa.
P(A∩B) =P(B|A)P(A) = P(A|B)P(B)
dati due eventi A e B tali che P(A) > 0 e P(B) > 0
Indipendenza fra eventi
Due eventi A e B si dicono indipendenti se il verificarsi di B non influenza la probabilità di A e, viceversa, se il verificarsi di A non influenza la probabilità di B.
* Questo significa che: P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)
* Di conseguenza, due eventi si dicono indipendenti, se e solo se: P(A∩B) =P(A)P(B)
La regola del prodotto
La probabilità che due eventi A e B si verifichino contemporaneamente è uguale al prodotto tra la probabilità che si verifichi l’evento A e la probabilità che si verifichi l’evento B dato che si è verificato l’evento A. P(A∩B) =P(A)P(B|A).
Nel caso in cui i due eventi siano indipendenti, la regola del prodotto si semplifica e perciò la probabilità che si verifichino entrambi è data semplicemente dal prodotto delle loro rispettive probabilità. P(A∩B) =P(A)P(B)
Teorema delle probabilità totali
Questo teorema mostra che la probabilità di un qualunque evento B si può calcolare come somma delle probabilità di tutti i possibili modi che si escludono a vicenda in cui si può ottenere l’evento stesso.
Un esempio di questo tipo è dato da tipologie di esperimenti che si conducono in più fasi.
Il teorema di Bayes
Il Teorema di Bayes è una formula fondamentale della probabilità che consente di aggiornare la probabilità di un evento alla luce di nuove informazioni. È ampiamente utilizzato in statistica, apprendimento automatico, medicina, finanza e molti altri campi.
P(A∣B)= P(B∣A)P(A)/P(B)
- P(A∣B) è la probabilità a posteriori di A dato che B è vero.
- P(B∣A) è la probabilità condizionata di
B dato che A è vero. - P(A) è la probabilità priori di A (prima di osservare B)
- P(B) è la probabilità totale di B, che può essere calcolata come:
P(B)=P(B∣A)P(A)+P(B∣¬A)P(¬A)
Probabilità a priori, verosimiglianze e probabilità a posteriori
priori: P(Ai), i=1,2,…,K.
verosimiglianze: P(B|Ai), i=1,2,…,K.
posteriori: P(Ai|B), i= 1,2,…,K
Quali sono le concezioni della probabilità?
Le concezioni della probabilità sono 3:
- Frequentista
- Soggettivista
- Soggettiva
La concezione Frequentista della probabilità
Basata sul Postulato empirico del caso. In un gruppo di prove, ripetute più volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili compare con una frequenza quasi eguale alla sua probabilità; generalmente l’approssimazione migliora quando il numero delle prove cresce.
